# AP Calculus Unidade 7: revisão de equações diferenciais (AB e BC)

> Revisão da Unidade 7 de AP Calculus AB e BC: campos de direções, separação de variáveis, modelos exponenciais e, no BC, método de Euler e modelo logístico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/ap-calculus/unidade-7-equacoes-diferenciais
Atualizado: 2026-11-06

## Visão geral

- **Peso na prova AB:** 5–10%
- **Peso na prova BC:** 5–10%
- **Ideias centrais:** Campos de direções, separação de variáveis, soluções particulares, modelos exponenciais
- **Só no BC:** Método de Euler, modelos logísticos
- **Vem antes de:** Unidade 8, aplicações da integral
- **Pratique aqui:** [Cálculo 2: Equações diferenciais](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields)

## Pontos principais

- A Unidade 7 vale de 5 a 10 por cento das provas AB e BC, e uma questão de equações diferenciais aparece na maioria das partes dissertativas.
- Separe as variáveis, integre os dois lados, acrescente $C$ na hora e depois use a condição inicial para encontrar $C$.
- Toda solução de $\frac{dy}{dt} = ky$ tem a forma $y = Ce^{kt}$.
- Os alunos do BC também precisam do método de Euler e do modelo logístico $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$.

**A Unidade 7 de AP Calculus, Equações diferenciais (Differential Equations)**, junta derivadas e integrais. Uma equação diferencial diz como uma grandeza varia, como $\frac{dy}{dx} = xy$, e sua tarefa é encontrar a própria grandeza. É uma unidade pequena na parte de múltipla escolha, mas tem sua própria questão dissertativa na maioria das provas.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso na prova | 5–10% | 5–10% |
| Tópicos extras | nenhum | Método de Euler, modelos logísticos |

## O que a Unidade 7 cobre

O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

| Tópico | O que você aprende | Prática |
| --- | --- | --- |
| Modelagem com equações diferenciais | Transformar "a taxa é proporcional a" em uma equação | [Crescimento e decaimento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Verificação de soluções | Substituir uma função na equação | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Esboço de campos de direções | Desenhar pequenos segmentos com inclinação $\frac{dy}{dx}$ | [Campos de direções](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Raciocínio com campos de direções | Associar campos a equações e traçar soluções | [Campos de direções](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Método de Euler (BC) | Avançar ao longo de retas tangentes para estimar uma solução | [Método de Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method) |
| Soluções gerais por separação | Separar variáveis e integrar | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Soluções particulares | Usar uma condição inicial para encontrar $C$ | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Modelos exponenciais | $\frac{dy}{dt} = ky$ e $y = y_0 e^{kt}$ | [Crescimento e decaimento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Modelos logísticos (BC) | Crescimento que se estabiliza na capacidade de suporte | [Crescimento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) |

## As ideias principais

**Uma solução é uma função, não um número.** Para verificar se $y = Ce^{3x}$ resolve $y' = 3y$, derive: $y' = 3Ce^{3x} = 3y$. Funciona para todo $C$, então existe uma família inteira de soluções. Uma condição inicial escolhe uma delas.

**Campos de direções mostram todas as soluções de uma vez.** Em cada ponto $(x, y)$, desenhe um pequeno segmento com inclinação $\frac{dy}{dx}$. Uma curva solução segue os segmentos como uma folha levada pela correnteza. Onde $\frac{dy}{dx}$ depende só de $x$, os segmentos de uma mesma coluna são paralelos.

**A separação de variáveis resolve a equação exatamente.** Leve todo $y$ para um lado com $dy$ e todo $x$ para o outro com $dx$, depois integre os dois lados.

```graph
title: 'A solução particular y = 2e^(x²/2)'
caption: 'Esta curva resolve $\frac{dy}{dx} = xy$ com $y(0) = 2$. Sua inclinação é 0 em $x = 0$ e cresce à medida que $x$ e $y$ crescem.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-1, 16]
functions:
  - expr: 2exp(x^2/2)
    label: y = 2e^(x²/2)
points:
  - [0, 2, 'condição inicial (0, 2)']
```

**Crescimento exponencial é uma equação diferencial.** "A taxa de variação de $y$ é proporcional a $y$" significa $\frac{dy}{dt} = ky$, e suas soluções são $y = y_0 e^{kt}$. No crescimento $k > 0$, no decaimento $k < 0$.

**BC: o crescimento logístico se estabiliza.** Em $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$, a população se aproxima da capacidade de suporte $L$ e cresce mais rápido quando $P = \frac{L}{2}$.

## Questões de exemplo

**1. Separação de variáveis.** Resolva $\frac{dy}{dx} = xy$ com $y(0) = 2$. Separe e integre:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

Em $(0, 2)$, $C = \ln 2$. Como $y > 0$, $y = 2e^{x^2/2}$.

**2. Decaimento exponencial.** Uma amostra de 100 g tem meia-vida de 5 anos. Depois de 15 anos, passaram três meias-vidas, então restam $100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5$ g. Na forma $y = 100e^{kt}$, $k = -\frac{\ln 2}{5}$.

**3. Leitura de um campo de direções.** Para $\frac{dy}{dx} = x - y$, a inclinação em $(1, 0)$ é $1$ e a inclinação em $(2, 2)$ é $0$. Todo ponto da reta $y = x$ tem um segmento horizontal.

**4. BC: método de Euler.** Para $\frac{dy}{dx} = x + y$ com $y(0) = 1$, use dois passos de tamanho $0.5$ para estimar $y(1)$:

| Ponto | Inclinação $x + y$ | Próximo $y$ |
| --- | --- | --- |
| $(0, 1)$ | $1$ | $1 + 0.5(1) = 1.5$ |
| $(0.5, 1.5)$ | $2$ | $1.5 + 0.5(2) = 2.5$ |

Então $y(1) \approx 2.5$. A solução exata é $y = 2e^x - x - 1$, que dá $y(1) = 2e - 2 \approx 3.44$. A solução tem concavidade para cima, então o método de Euler subestima.

**5. BC: modelo logístico.** Para $\frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right)$, a capacidade de suporte é 500 e a população cresce mais rápido quando $P = 250$.

## Como estudar a Unidade 7

- **Acrescente $C$ no momento em que integrar.** Acrescentá-lo depois de isolar $y$ dá uma família de soluções errada e custa pontos.
- **Use a condição inicial logo.** Substituir antes de isolar $y$ muitas vezes facilita a álgebra.
- **Pratique esboçar campos de direções à mão.** A questão dissertativa costuma pedir segmentos em 6 a 9 pontos.
- **Ligue com a Unidade 5.** As questões muitas vezes perguntam se uma solução tem concavidade para cima em um ponto. Encontre $\frac{d^2y}{dx^2}$ derivando a equação implicitamente.
- **Resolva listas de exercícios.** Experimente os [exercícios de equações diferenciais](/practice-problems/differential-equations), cada um com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o [guia de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou o [guia de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.

## Perguntas frequentes

### Sobre o que é a Unidade 7 de AP Calculus?

A Unidade 7 trata de equações que envolvem uma derivada. Você monta equações diferenciais a partir de enunciados, verifica se uma função é solução, esboça e interpreta campos de direções, resolve equações separáveis com condição inicial e usa modelos de crescimento e decaimento exponencial.

### Quanto da prova de AP vale a Unidade 7?

A Unidade 7 vale de 5 a 10 por cento da nota de múltipla escolha tanto no AP Calculus AB quanto no BC. Uma questão dissertativa sobre campos de direções e separação de variáveis aparece na maioria das provas, então ela vale mais do que o peso sugere.

### Qual é a diferença da Unidade 7 entre AB e BC?

Os dois cursos cobrem campos de direções, separação de variáveis e modelos exponenciais. O BC acrescenta o método de Euler para aproximar soluções e modelos de crescimento logístico com capacidade de suporte.

### Por que perco pontos ao resolver equações separáveis?

Os motivos mais comuns são acrescentar $+C$ tarde demais, depois de isolar $y$, e esquecer de separar antes de integrar. Os corretores não dão crédito ao restante de uma solução que nunca separa as variáveis.