# Antiderivadas: potência inversa, +C e problemas de valor inicial > Aprenda a encontrar antiderivadas: a regra da potência inversa, uma tabela de integrais básicas, por que somar +C e como resolver problemas de valor inicial. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/antiderivadas Atualizado: 2026-10-30 ## Pontos principais - Uma antiderivada de $f$ é uma função $F$ com $F'(x) = f(x)$; a integral indefinida $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ reúne todas elas. - Regra da potência inversa: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$, e $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. - O $+C$ existe porque constantes têm derivada zero, então toda antiderivada pode ser deslocada para cima ou para baixo. - Um problema de valor inicial dá um ponto da curva, e esse ponto determina o valor exato de $C$. - Sempre confira uma antiderivada derivando-a. Você deriva $x^3$ até dormindo. Agora a pergunta vai no sentido contrário: qual função tem derivada $3x^2$? Essa pergunta inversa é o começo do cálculo integral, e as respostas, chamadas **antiderivadas** (ou primitivas), vêm de aplicar ao contrário as regras de derivação que você já conhece. ## O que é uma antiderivada? Uma função $F$ é uma **antiderivada** de $f$ se $$F'(x) = f(x)$$ Por exemplo, $F(x) = x^3$ é uma antiderivada de $f(x) = 3x^2$, porque $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$. Mas $x^3 + 1$ e $x^3 - 8$ também servem. Qualquer constante desaparece quando você deriva. Por isso escrevemos a **integral indefinida**, que reúne todas as antiderivadas de uma vez: $$\int 3x^2\,dx = x^3 + C$$ O sinal $\int$ e o $dx$ funcionam juntos como parênteses: o $dx$ diz que a variável é $x$, e tudo o que está entre eles é a função que você está integrando (o **integrando**). ## Por que somamos +C? Se $F'(x) = f(x)$, então $(F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)$ para toda constante $C$. Assim, uma antiderivada gera infinitas outras, todas deslocamentos verticais umas das outras. (O [teorema do valor médio](/blog/mean-value-theorem) prova que, em um intervalo, não existem outras: duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante.) ```graph title: 'Antiderivadas de 2x: as parábolas y = x² + C são deslocamentos verticais com a mesma inclinação em cada x' caption: 'Toda curva $y = x^2 + C$ tem derivada $2x$. Em $x = 1$ todas têm inclinação $2$, então suas retas tangentes são paralelas.' x: [-3, 3] y: [-3, 9] functions: - expr: x^2 + 3 label: C = 3 - expr: x^2 label: C = 0 - expr: x^2 - 2 label: C = −2 points: - [1, 4, ''] - [1, 1, ''] - [1, -1, ''] ``` Esquecer o $+C$ não é um detalhe de estilo. Significa que você encontrou apenas um membro da família e, em um problema de valor inicial, torna impossível acertar a resposta. ## A regra da potência inversa A regra da potência diz que $\frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n$. Divida os dois lados por $n + 1$ e leia ao contrário: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)$$ Em palavras: **some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente.** A regra falha em $n = -1$ porque você dividiria por zero. Esse caso tem resposta própria: $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$ O módulo faz a fórmula funcionar também para $x$ negativo. Mais duas regras tornam a maioria dos problemas rotineira. Constantes saem da integral, e somas se separam: $$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$ ## Tabela de antiderivadas básicas Cada linha é uma regra de derivação lida ao contrário. Confira qualquer linha derivando o lado direito. | Função $f(x)$ | Antiderivada $\int f(x)\,dx$ | | ------------------------ | ------------------------------ | | $k$ (uma constante) | $kx + C$ | | $x^n$, $n \ne -1$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | | $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | | $\cos x$ | $\sin x + C$ | | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | | $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | | $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ | | $\frac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x + C$ | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | Atenção aos sinais nas linhas trigonométricas. A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$, então a antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$. ## Exemplo resolvido 1: um polinômio Calcule $\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$. **Passo 1. Separe em termos.** Integre $3x^2$, $-4x$ e $5$ separadamente. **Passo 2. Regra da potência inversa em cada um.** - $\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$ - $\int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$ - $\int 5\,dx = 5x$ **Passo 3. Some uma única constante.** $$\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$$ **Verificação:** $\frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5$. Um único $+C$ no final basta, já que várias constantes somadas formam uma só constante. ## Exemplo resolvido 2: raízes e frações Calcule $\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$. **Passo 1. Reescreva como potências.** $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$. **Passo 2. Regra da potência inversa.** - $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$ - $\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$ **Passo 3. Junte tudo.** $$\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$$ Dividir por uma fração como $\frac{3}{2}$ é o mesmo que multiplicar por $\frac{2}{3}$. Esse passo confunde muita gente. ## Exemplo resolvido 3: simplifique primeiro Calcule $\int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx$. Não existe regra do quociente para integrais, então **simplifique antes de integrar**. Divida cada termo por $x$: $$\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$$ Agora integre termo a termo: $$\int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$$ ## Exemplo resolvido 4: trigonométricas e exponenciais Calcule $\int (2\cos x - 3e^x)\,dx$. Pela tabela, $\int \cos x\,dx = \sin x$ e $\int e^x\,dx = e^x$: $$\int (2\cos x - 3e^x)\,dx = 2\sin x - 3e^x + C$$ **Verificação:** $\frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x$. Mais duas linhas da tabela em ação: calcule $\int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx$. Cada termo é uma linha da tabela com uma constante na frente: $$\int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx = 4\arctan x + \tan x + C$$ ## Como conferir qualquer antiderivada Integrar é difícil; derivar é fácil. Por isso toda antiderivada vem com uma verificação de graça: derive a sua resposta e veja se você recupera o integrando. Se $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$, você acertou, não importa o método usado. Isso pega quase todos os deslizes. Suponha que você escreveu $\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}$ e depois simplificou para $\frac{1}{2}\sqrt{x}$. Derivando, você obtém $\frac{1}{4}x^{-1/2}$, que não é $x^{-1/2}$, então sabe que algo deu errado (a resposta correta é $2\sqrt{x} + C$). Faça dessa verificação um hábito em todo exercício até as regras ficarem automáticas. ## Problemas de valor inicial: encontrando o C exato Um **problema de valor inicial** dá uma derivada e um ponto da função original. O ponto escolhe exatamente uma curva da família $F(x) + C$. ### Exemplo resolvido 5: encontre f a partir de f' e de um ponto Encontre $f(x)$ se $f'(x) = 6x^2 - 2x$ e $f(1) = 4$. **Passo 1. Integre.** $$f(x) = 2x^3 - x^2 + C$$ **Passo 2. Use o ponto.** Substitua $x = 1$ e $f(1) = 4$: $$2(1)^3 - (1)^2 + C = 4 \quad\Rightarrow\quad 1 + C = 4 \quad\Rightarrow\quad C = 3$$ **Passo 3. Escreva a resposta.** $$f(x) = 2x^3 - x^2 + 3$$ ### Exemplo resolvido 6: movimento a partir da aceleração Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do chão a 48 ft/s. Sua aceleração é $a(t) = -32$ ft/s². Encontre a altura $s(t)$ e a altura máxima. **Passo 1. Velocidade.** $v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1$. No lançamento, $v(0) = 48$, então $C_1 = 48$ e $v(t) = -32t + 48$. **Passo 2. Posição.** $s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2$. Ela parte do chão, $s(0) = 0$, então $C_2 = 0$: $$s(t) = -16t^2 + 48t$$ **Passo 3. Altura máxima.** A bola atinge o ponto mais alto quando $v(t) = 0$, em $t = 1.5$ s. Então $s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36$ ft. Cada antiderivada precisou de sua própria constante, e cada uma foi determinada por sua própria condição inicial. ### Exemplo resolvido 7: partindo da segunda derivada Encontre $f(x)$ se $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 1$ e $f(0) = 2$. **Passo 1.** $f'(x) = 6x^2 + C_1$. Como $f'(0) = 1$, $C_1 = 1$, então $f'(x) = 6x^2 + 1$. **Passo 2.** $f(x) = 2x^3 + x + C_2$. Como $f(0) = 2$, $C_2 = 2$. $$f(x) = 2x^3 + x + 2$$ **Verificação:** $f'(x) = 6x^2 + 1$ e $f''(x) = 12x$, com $f'(0) = 1$ e $f(0) = 2$. Duas integrações sempre precisam de duas condições. ## Erros comuns com antiderivadas 1. **Esquecer o $+C$.** Custa pontos nas integrais indefinidas e arruína os problemas de valor inicial. 2. **Usar a regra da potência inversa em $\frac{1}{x}$.** $\frac{x^0}{0}$ não está definido. A resposta é $\ln|x| + C$. 3. **Integrar produtos ou quocientes parte por parte.** $\int x \cdot x^2\,dx$ não é $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}$. Multiplique primeiro para obter $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. 4. **Erros de sinal com trigonométricas.** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, e não $\cos x + C$. 5. **Não reescrever raízes e frações.** $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ parece difícil até você escrever como $\int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C$. Quando o integrando é uma função composta, como $(3x + 1)^5$, a tabela básica não basta. Esse é o trabalho da [substituição (mudança de variável)](/blog/u-substitution). E as antiderivadas são exatamente o que você precisa para calcular áreas com o [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). ## Pratique até ficar automático As antiderivadas são a base de todas as integrais que você vai calcular, então ganhar velocidade aqui compensa pelo resto do curso. Faça a lição interativa abaixo: cada resposta é corrigida na hora, constantes esquecidas são apontadas e toda resolução é mostrada passo a passo. ## Perguntas frequentes ### O que é uma antiderivada? Uma antiderivada (ou primitiva) de $f(x)$ é qualquer função cuja derivada é $f(x)$. Por exemplo, $x^3$ é uma antiderivada de $3x^2$, e $x^3 + 7$ também é. Encontrar antiderivadas é o processo inverso de derivar. ### Por que se soma +C a uma antiderivada? Porque a derivada de qualquer constante é zero: $x^2$, $x^2 + 5$ e $x^2 - 100$ têm todas derivada $2x$. O $+C$ representa todas as constantes possíveis, então a resposta inclui todas as antiderivadas, e não apenas uma. ### O que é a regra da potência inversa? Para integrar $x^n$, some um ao expoente e divida pelo novo expoente: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Ela vale para todo $n$ real exceto $n = -1$, caso em que o resultado é $\ln|x| + C$. ### Antiderivada é a mesma coisa que integral indefinida? Quase. Uma antiderivada é uma única função, como $x^3$. A integral indefinida $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$ é a família inteira de antiderivadas. Na prática, os dois termos são usados quase como sinônimos. ### Como resolver um problema de valor inicial? Encontre a antiderivada geral com $+C$, depois substitua o ponto dado, como $f(1) = 4$, e resolva para $C$. Escreva a função final com esse número no lugar de $C$.