# Área entre curvas: a de cima menos a de baixo, passo a passo

> Calcule a área entre duas curvas passo a passo: a de cima menos a de baixo, pontos de interseção, curvas que se cruzam e quando integrar em relação a y.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/area-entre-curvas
Atualizado: 2026-10-14

## Pontos principais

- A área entre duas curvas é $\int_a^b \big[\text{cima}(x) - \text{baixo}(x)\big]\,dx$.
- Os limites $a$ e $b$ costumam ser os valores de $x$ em que as curvas se interceptam, encontrados igualando as funções.
- Se as curvas se cruzam dentro do intervalo, divida a integral em cada cruzamento para que cada parte seja a de cima menos a de baixo.
- Quando a região é limitada à esquerda e à direita, integre em $y$: $\int_c^d \big[\text{direita}(y) - \text{esquerda}(y)\big]\,dy$.

Você já sabe calcular a área sob uma curva. Mas e a área presa entre uma parábola e uma reta, ou entre $\sin x$ e $\cos x$? A ideia é simples (subtrair a de baixo da de cima), e o trabalho de verdade está em encontrar onde as curvas se encontram e acompanhar qual delas está em cima.

## A fórmula da área entre duas curvas

Se $f(x) \ge g(x)$ em $[a, b]$, a área da região entre elas é

$$A = \int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx$$

Em palavras: **a de cima menos a de baixo**, integrada da esquerda para a direita.

Por que funciona? Fatie a região em faixas verticais finas. Cada faixa tem largura $dx$ e altura igual à distância entre as curvas, $f(x) - g(x)$. Somar todas as faixas é exatamente o que a integral faz. Não importa se as curvas estão acima ou abaixo do eixo $x$: a distância entre elas continua a mesma.

## Como calcular a área entre curvas em 5 passos

1. **Esboce** as curvas, mesmo que de forma grosseira.
2. **Encontre as interseções** igualando as duas funções e resolvendo. Elas geralmente são os seus limites.
3. **Decida qual curva está em cima** usando um ponto de teste entre as interseções.
4. **Monte** $\int_a^b (\text{cima} - \text{baixo})\,dx$.
5. **Integre** e calcule com o [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Exemplo resolvido 1: uma reta e uma parábola

Encontre a área entre $y = x$ e $y = x^2$.

**Passo 1. Interseções.** Faça $x = x^2$, então $x^2 - x = 0$, $x(x - 1) = 0$, o que dá $x = 0$ e $x = 1$.

**Passo 2. Qual está em cima?** Teste $x = \frac{1}{2}$: a reta dá $0.5$, a parábola dá $0.25$. A reta está em cima.

**Passo 3. Monte e integre.**

$$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

## Exemplo resolvido 2: uma parábola voltada para baixo e uma reta

Encontre a área da região limitada por $y = 4 - x^2$ e $y = x + 2$.

```graph
title: 'Região limitada pela parábola y = 4 − x² e pela reta y = x + 2, que se encontram em x = −2 e x = 1'
caption: 'As curvas se interceptam em $(-2, 0)$ e $(1, 3)$. Entre esses pontos, a parábola está em cima.'
x: [-3.5, 2.5]
y: [-2, 5]
functions:
  - expr: 4 - x^2
    label: y = 4 − x²
  - expr: x + 2
    label: y = x + 2
shade: {expr: 4 - x^2, below: x + 2, from: -2, to: 1}
points:
  - [-2, 0, '(−2, 0)']
  - [1, 3, '(1, 3)']
```

**Passo 1. Interseções.** Faça $4 - x^2 = x + 2$:

$$x^2 + x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x + 2)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -2,\ x = 1$$

**Passo 2. Qual está em cima?** Teste $x = 0$: a parábola dá $4$, a reta dá $2$. A parábola está em cima.

**Passo 3. Monte.** Primeiro simplifique a de cima menos a de baixo:

$$(4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2$$

**Passo 4. Integre.**

$$A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}$$

Em $x = 1$: $2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$.

Em $x = -2$: $-4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.

$$A = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

O gráfico abaixo mostra a mesma ideia de outro jeito. A área entre duas curvas é igual à área sob a **diferença** $f(x) - g(x)$, que aqui é a parábola $y = 2 - x - x^2$.

```graph
title: 'Área sob a função diferença y = 2 − x − x² de −2 a 1, igual à área entre as curvas'
caption: 'Integrar a de cima menos a de baixo é o mesmo que encontrar a área sob $y = 2 - x - x^2$. As duas valem $\frac{9}{2}$.'
x: [-3, 2]
y: [-1.5, 3]
functions:
  - expr: 2 - x - x^2
    label: y = 2 − x − x²
shade: {expr: 2 - x - x^2, from: -2, to: 1}
points:
  - [-2, 0, '−2']
  - [1, 0, '1']
```

## Exemplo resolvido 3: curvas que se cruzam

Encontre a área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ de $x = 0$ até $x = \frac{\pi}{2}$.

**Passo 1. Interseções.** $\sin x = \cos x$ quando $\tan x = 1$, então $x = \frac{\pi}{4}$ neste intervalo. As curvas **se cruzam** dentro do intervalo.

**Passo 2. Qual está em cima, parte por parte?**

- Em $[0, \frac{\pi}{4}]$: em $x = 0$, $\cos 0 = 1 > \sin 0 = 0$. O cosseno está em cima.
- Em $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$: em $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin = 1 > \cos = 0$. O seno está em cima.

**Passo 3. Divida e integre.**

$$\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx = \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/2} = (0 - 1) - \left(-\sqrt{2}\right) = \sqrt{2} - 1$$

**Passo 4. Some.**

$$A = 2(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0.828$$

Se você tivesse integrado $\cos x - \sin x$ no intervalo inteiro sem dividir, as duas partes se cancelariam e você obteria $0$, que claramente não é a área.

> **Dica:** uma forma compacta de escrever isso é $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$. O módulo serve de lembrete para dividir onde quer que as curvas se cruzem.

## Integrando em relação a y

Algumas regiões são difíceis de fatiar na vertical. Se a região é limitada à **esquerda e à direita** por curvas da forma $x = h(y)$, fatie na horizontal:

$$A = \int_c^d \big[\text{direita}(y) - \text{esquerda}(y)\big]\,dy$$

em que $c$ e $d$ são valores de $y$.

### Exemplo resolvido 4: uma parábola deitada e uma reta

Encontre a área entre $x = y^2$ e $y = x - 2$.

```graph
title: 'Região entre a parábola deitada x = y² e a reta y = x − 2'
caption: 'A metade de cima $y = \sqrt{x}$ e a metade de baixo $y = -\sqrt{x}$ formam a parábola $x = y^2$. Ela encontra a reta em $(1, -1)$ e $(4, 2)$.'
x: [-1, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: -sqrt(x)
    label: y = −√x
  - expr: x - 2
    label: y = x − 2
points:
  - [1, -1, '(1, −1)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

**Passo 1. Reescreva as duas como $x$ em função de $y$.** A parábola é $x = y^2$ e a reta é $x = y + 2$.

**Passo 2. Interseções.** $y^2 = y + 2$ dá $y^2 - y - 2 = 0$, então $(y - 2)(y + 1) = 0$ e $y = -1$ ou $y = 2$.

**Passo 3. Qual está à direita?** Teste $y = 0$: a reta dá $x = 2$, a parábola dá $x = 0$. A reta está à direita.

**Passo 4. Integre.**

$$A = \int_{-1}^{2} \big[(y + 2) - y^2\big]\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$

Em $y = 2$: $2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$. Em $y = -1$: $\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$.

$$A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Em $x$, a fronteira de baixo muda em $x = 1$ (de $-\sqrt{x}$ para a reta), então você precisaria de duas integrais: $\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}$. Mesma resposta, o dobro de trabalho.

## Referência rápida: dx ou dy?

| Situação                                            | Fatia      | Fórmula                                     |
| --------------------------------------------------- | ---------- | ------------------------------------------- |
| Uma curva em cima, uma embaixo                      | Vertical   | $\int_a^b (\text{cima} - \text{baixo})\,dx$ |
| Uma curva à direita, uma à esquerda                 | Horizontal | $\int_c^d (\text{direita} - \text{esquerda})\,dy$ |
| A de cima ou a de baixo muda no meio do caminho     | Tente $dy$, ou divida a integral em $dx$ | |
| As curvas se cruzam dentro do intervalo             | Qualquer   | Divida em cada cruzamento                   |

## Erros comuns com área entre curvas

1. **A de baixo menos a de cima.** Você obtém o tamanho certo com o sinal errado. Se uma área deu negativa, essa é a primeira coisa a conferir.
2. **Não dividir nos cruzamentos.** As partes se cancelam e a resposta fica pequena demais, às vezes zero.
3. **Usar limites em $x$ numa integral em $dy$.** Ao integrar em $y$, os limites devem ser os valores de $y$ dos pontos de interseção.
4. **Perder um sinal ao simplificar.** $(4 - x^2) - (x + 2)$ é $2 - x - x^2$. Distribua o sinal de menos em todos os termos da curva de baixo.
5. **Chutar os limites.** Os limites vêm de resolver $f(x) = g(x)$, e não de onde as curvas cortam os eixos, a menos que o enunciado diga isso.

## Pratique o cálculo de áreas entre curvas

Esses problemas seguem os mesmos cinco passos toda vez, e a parte difícil costuma ser a álgebra para encontrar as interseções. A prática cria o hábito de esboçar primeiro. A lição interativa abaixo confere cada montagem e cada resposta na hora, para você aprender a perceber uma troca entre a curva de cima e a de baixo antes que ela custe pontos. Em seguida, a mesma ideia de fatiar leva aos [volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution).

## Perguntas frequentes

### Como calcular a área entre duas curvas?

Encontre onde as curvas se interceptam para obter os limites, decida qual curva está em cima e integre a de cima menos a de baixo entre esses limites. O resultado é sempre positivo se você subtraiu na ordem certa.

### Como saber qual curva está em cima?

Escolha qualquer ponto de teste entre os pontos de interseção e substitua nas duas funções. O maior valor indica a curva de cima em todo aquele trecho, desde que as curvas não se cruzem no meio. Um esboço rápido também ajuda.

### E se as curvas se cruzarem no meio do intervalo?

Divida a integral em cada ponto de cruzamento. Em cada parte, use a curva que estiver em cima ali. Somando as partes, você obtém a área total. Integrar sem dividir faz as partes se cancelarem, o que dá a resposta errada.

### Quando integrar em relação a y?

Integre em $y$ quando a região for mais fácil de descrever da esquerda para a direita, por exemplo quando uma das fronteiras é uma parábola deitada $x = y^2$, ou quando integrar em $x$ exigiria duas ou mais integrais separadas. Nesse caso, use a da direita menos a da esquerda, com limites em $y$.

### A área entre curvas pode ser negativa?

Não. Área é sempre positiva. Se você obteve um número negativo, subtraiu as curvas na ordem errada ou as curvas se cruzam dentro do intervalo e você precisa dividir a integral.