# Continuidade em cálculo: definição, descontinuidades e o TVI

> Aprenda as três condições de continuidade, como classificar descontinuidades removíveis, de salto e infinitas, e como usar o Teorema do Valor Intermediário.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/continuidade
Atualizado: 2026-11-01

## Pontos principais

- Uma função é contínua em $a$ quando $f(a)$ existe, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe e os dois são iguais.
- Uma descontinuidade removível é um buraco: o limite existe, mas $f(a)$ não existe ou tem o valor errado.
- Uma descontinuidade de salto acontece quando os limites laterais existem, mas são diferentes.
- Uma descontinuidade infinita é uma assíntota vertical, onde a função cresce sem limitação.
- O Teorema do Valor Intermediário garante que uma função contínua em $[a, b]$ assume todos os valores entre $f(a)$ e $f(b)$.

De forma informal, uma função contínua é aquela que você consegue desenhar sem tirar o lápis do papel. Essa imagem é um ótimo começo, mas as questões de prova pedem que você *prove* a continuidade, encontre o valor de $k$ que torna uma função contínua ou classifique uma descontinuidade pelo tipo. Para isso você precisa da definição precisa, e ela se resume a três verificações curtas.

## A definição de continuidade: três condições

Uma função $f$ é **contínua em $x = a$** quando as três condições abaixo valem:

1. $f(a)$ está **definida**.
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ **existe** (os limites à esquerda e à direita coincidem).
3. O limite é **igual** ao valor da função:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Em linguagem simples: o gráfico se aproxima de certa altura conforme você chega perto de $a$, e o ponto em $a$ está exatamente nessa altura.

Uma função é **contínua em um intervalo** se é contínua em todos os pontos do intervalo (com limites laterais nas extremidades fechadas). Uma função é chamada simplesmente de **contínua** quando é contínua em todos os pontos do seu domínio.

### Quais funções são contínuas?

A boa notícia é que quase todas as funções que você conhece são contínuas onde estão definidas:

- polinômios, em todos os pontos
- funções racionais, em todos os pontos exceto onde o denominador é $0$
- $\sqrt{x}$ para $x \ge 0$, e outras raízes em seus domínios
- $\sin x$ e $\cos x$ em todos os pontos; $\tan x$ exceto nos múltiplos ímpares de $\frac{\pi}{2}$
- $e^x$ em todos os pontos, e $\ln x$ para $x > 0$

Somas, diferenças, produtos, quocientes (onde o denominador não é $0$) e composições de funções contínuas também são contínuas. Então, na prática, as descontinuidades aparecem em poucos lugares: zeros de denominadores, pontos de quebra de funções definidas por partes e bordas do domínio.

## Tipos de descontinuidade

Quando uma das três condições falha, a forma como ela falha indica o **tipo** de descontinuidade.

| Tipo | O que o gráfico mostra | Limite em $a$ | Condição que falha |
| --- | --- | --- | --- |
| Removível | Um buraco (talvez com um ponto solto em outra altura) | Existe | 1 ou 3 |
| De salto | O gráfico salta entre duas alturas | Não existe (os lados discordam) | 2 |
| Infinita | Uma assíntota vertical | Não existe (ilimitado) | 2 |
| Oscilante | Oscilação sem fim, como $\sin(1/x)$ em $0$ | Não existe | 2 |

As descontinuidades removíveis são as únicas que você pode consertar mudando um único ponto. As outras são chamadas de **não removíveis** (ou essenciais, em alguns livros).

### Descontinuidades removível e infinita no mesmo gráfico

Considere

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$$

Fatore o numerador e o denominador:

$$f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)}$$

O denominador é $0$ em $x = 2$ e em $x = -1$, então $f$ é descontínua nos dois pontos. Mas são tipos diferentes.

- Em $x = 2$, o fator $(x - 2)$ se cancela. Para $x \neq 2$, $f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$, então $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}$. O limite existe, mas $f(2)$ não: uma descontinuidade **removível**, um buraco em $\left(2, \frac{4}{3}\right)$.
- Em $x = -1$, o fator $(x + 1)$ continua no denominador enquanto o numerador $x + 2$ se aproxima de $1$, um valor diferente de zero. A função explode: uma descontinuidade **infinita**, uma assíntota vertical $x = -1$.

```graph
title: 'Gráfico de y = (x² − 4)/(x² − x − 2) com um buraco em (2, 4/3) e uma assíntota vertical em x = −1'
caption: 'O fator cancelado $(x-2)$ deixa um buraco removível em $\left(2, \frac{4}{3}\right)$. O fator $(x+1)$, que não se cancela, cria uma descontinuidade infinita em $x = -1$.'
x: [-5, 5]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: (x^2-4)/(x^2-x-2)
    label: y = (x² − 4)/(x² − x − 2)
points:
  - [2, 1.3333, 'buraco (2, 4/3)', open]
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = −1'}
```

> **Dica:** numa função racional, fatore tudo. Fatores que se cancelam geram buracos. Fatores que sobram no denominador geram assíntotas verticais.

### Descontinuidades de salto

Os saltos vêm de funções definidas por partes (e de expressões como $\frac{|x|}{x}$). Aqui está um exemplo:

$$g(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ x + 2 & x \geq 1 \end{cases}$$

O limite à esquerda em $1$ é $1^2 = 1$ e o limite à direita é $1 + 2 = 3$. Os dois existem, mas não coincidem, então o gráfico salta da altura $1$ para a altura $3$.

```graph
title: 'Descontinuidade de salto em x = 1: y = x² à esquerda e y = x + 2 à direita'
caption: 'O limite à esquerda em $x = 1$ é $1$ e o limite à direita é $3$. O gráfico salta, então nenhum ponto isolado consegue torná-lo contínuo.'
x: [-2, 3]
y: [-1, 6]
functions:
  - expr: x^2*sqrt(1-x)/sqrt(1-x)
    label: y = x² para x < 1
  - expr: (x+2)*sqrt(x-1)/sqrt(x-1)
    label: y = x + 2 para x ≥ 1
points:
  - [1, 1, '(1, 1)', open]
  - [1, 3, 'g(1) = 3']
```

## Exemplos resolvidos

### Exemplo 1: verificando as três condições

A função $h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases}$ é contínua em $x = 3$?

**Passo 1. $h(3)$ está definida?** Sim, $h(3) = 5$.

**Passo 2. O limite existe?** Para $x \neq 3$, $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$, então $\lim_{x \to 3} h(x) = 6$.

**Passo 3. São iguais?** $6 \neq 5$. A condição 3 falha.

**Conclusão.** $h$ tem uma descontinuidade **removível** em $x = 3$. Redefinir $h(3) = 6$ a tornaria contínua.

### Exemplo 2: encontrando k para tornar contínua uma função definida por partes

Encontre $k$ de modo que $f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ seja contínua em todos os pontos.

**Passo 1. Identifique o único ponto de risco.** Cada parte é um polinômio, então o único problema possível é a quebra em $x = 2$.

**Passo 2. Calcule cada lado.** À esquerda: $\lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1$. À direita: $\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$. Valor da função: $f(2) = 4$.

**Passo 3. Iguale e resolva.**

$$2k + 1 = 4 \quad \Longrightarrow \quad k = \frac{3}{2}$$

**Verificação.** Com $k = \frac{3}{2}$, a parte da esquerda dá $\frac{3}{2}(2) + 1 = 4$. Os dois lados se encontram na altura $4$.

### Exemplo 3: classificando uma descontinuidade

Classifique a descontinuidade de $p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25}$ em $x = 5$ e em $x = -5$.

**Passo 1. Fatore.** $p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}$.

**Passo 2. Em $x = -5$:** o fator $(x + 5)$ se cancela, sobrando $\frac{1}{x - 5}$, que se aproxima de $-\frac{1}{10}$. **Removível** (um buraco em $\left(-5, -\frac{1}{10}\right)$).

**Passo 3. Em $x = 5$:** depois do cancelamento, $\frac{1}{x - 5}$ ainda tem $x - 5$ no denominador, e o numerador é $1 \neq 0$. Descontinuidade **infinita**, uma assíntota vertical $x = 5$.

## O Teorema do Valor Intermediário (TVI)

A continuidade tem uma consequência poderosa. Se você caminha de forma contínua de uma altura para outra, precisa passar por todas as alturas no meio do caminho.

**Teorema do Valor Intermediário.** Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $N$ é qualquer número entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um número $c$ em $(a, b)$ com

$$f(c) = N$$

O uso mais comum é mostrar que uma equação tem solução, tomando $N = 0$: se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela tem uma raiz ali.

### Exemplo 4: provando que existe uma raiz

Mostre que $x^3 + x - 1 = 0$ tem uma solução entre $0$ e $1$.

**Passo 1. Verifique a continuidade.** $f(x) = x^3 + x - 1$ é um polinômio, então é contínua em $[0, 1]$.

**Passo 2. Calcule nas extremidades.** $f(0) = -1$ e $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$.

**Passo 3. Aplique o TVI.** $0$ está entre $-1$ e $1$, então existe algum $c$ em $(0, 1)$ com $f(c) = 0$.

O TVI diz que uma raiz *existe*, não onde ela está. (Aqui ela vale cerca de $0.68$.) Repare que ele exige continuidade: $\frac{1}{x}$ é negativa em $x = -1$ e positiva em $x = 1$, mas nunca vale $0$, porque não é contínua em $[-1, 1]$.

## Continuidade e diferenciabilidade

A continuidade é o requisito mínimo para uma função ter derivada. Se $f$ é diferenciável em $a$, ela precisa ser contínua em $a$. Um gráfico com buraco, salto ou assíntota não pode ter reta tangente nesse ponto.

A recíproca é falsa. Uma função contínua pode, ainda assim, não ser diferenciável em um ponto:

- **Um bico.** $|x|$ é contínua em $0$, mas sua inclinação é $-1$ à esquerda e $1$ à direita, então não existe uma única inclinação tangente.
- **Uma tangente vertical.** $\sqrt[3]{x}$ é contínua em $0$, mas sua reta tangente ali é vertical, com inclinação indefinida.
- **Uma cúspide.** $x^{2/3}$ é contínua em $0$, mas forma uma ponta afiada.

Então, ao estudar derivadas, lembre a cadeia de implicações: diferenciável implica contínua, mas contínua não implica diferenciável.

## Erros comuns com continuidade

1. **Verificar só o limite.** Um limite pode existir enquanto o valor da função não existe ou é diferente. Você precisa verificar as três condições.
2. **Chamar todo zero do denominador de assíntota.** Fatore primeiro. Um fator que se cancela gera um buraco, não uma assíntota.
3. **Comparar só um lado de uma função definida por partes.** No ponto de quebra, compare o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função.
4. **Usar o TVI sem continuidade.** O teorema não diz nada sobre funções com saltos ou assíntotas no intervalo.
5. **Esperar que o TVI dê o valor de $c$.** Ele só garante que $c$ existe.

## Pratique a identificação de descontinuidades

Classificar descontinuidades e resolver para $k$ estão entre as questões de prova mais comuns sobre limites, e as duas seguem uma receita fixa. A lição interativa abaixo traz gráficos e fórmulas para analisar, confere na hora cada condição que você afirma e explica qualquer passo que você deixar passar. A continuidade também prepara você para a próxima grande ideia, [a derivada](/blog/limit-definition-of-the-derivative), já que toda função diferenciável é contínua.

## Perguntas frequentes

### Quais são as três condições de continuidade?

Uma função $f$ é contínua em $x = a$ se (1) $f(a)$ está definida, (2) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe e (3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Se qualquer uma das condições falhar, $f$ é descontínua em $a$.

### Qual é a diferença entre uma descontinuidade removível e uma não removível?

Numa descontinuidade removível o limite existe, então você poderia consertar a função redefinindo um único ponto. Numa descontinuidade de salto ou infinita o limite não existe, então nenhum ponto isolado consegue consertar o gráfico.

### Como tornar contínua uma função definida por partes?

Iguale o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função no ponto de quebra, e depois resolva para a constante desconhecida. Por exemplo, $kx + 1$ para $x < 2$ e $x^2$ para $x \geq 2$ é contínua quando $2k + 1 = 4$, ou seja, $k = \frac{3}{2}$.

### O que diz o Teorema do Valor Intermediário?

Se $f$ é contínua no intervalo fechado $[a, b]$ e $N$ é qualquer número entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um $c$ em $(a, b)$ com $f(c) = N$. Ele é muito usado para provar que uma equação tem solução em um intervalo.

### Uma função com assíntota vertical é contínua?

Ela não é contínua na própria assíntota, porque a função não está definida ali e o limite não existe. Mesmo assim, ela pode ser contínua em todos os pontos do seu domínio, como acontece com $\frac{1}{x}$.