# Definição de derivada por limite, passo a passo

> Aprenda a definição de derivada por limite: o quociente de diferenças, retas secantes virando tangentes e exemplos resolvidos para x², 1/x e √x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/definicao-de-derivada-por-limite
Atualizado: 2026-08-31

## Pontos principais

- A derivada é o limite do quociente de diferenças: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
- O quociente de diferenças é a inclinação de uma reta secante. Quando $h \to 0$, a reta secante vira a reta tangente.
- Substituir $h = 0$ logo de cara sempre dá $\frac{0}{0}$, então é preciso simplificar até o $h$ do denominador se cancelar.
- Polinômios pedem expansão, frações pedem denominador comum e raízes quadradas pedem o conjugado.

Inclinação é fácil numa reta: variação vertical sobre variação horizontal. Mas uma curva como $y = x^2$ fica mais íngreme conforme você anda para a direita, então o que significa "a inclinação em $x = 1$"? A **definição de derivada por limite** responde isso com precisão, e é a base sobre a qual toda regra de derivação é construída.

## O que é a derivada? A definição em linguagem simples

A **derivada** de uma função num ponto é a inclinação da reta tangente ali: a taxa de variação instantânea. Nós a encontramos calculando a inclinação entre dois pontos da curva e deixando o segundo ponto deslizar em direção ao primeiro.

Formalmente, a derivada de $f$ é

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

sempre que esse limite existir. A fração dentro do limite se chama **quociente de diferenças**.

Num ponto específico $x = a$, a mesma definição costuma ser escrita numa forma alternativa equivalente:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

## Das retas secantes à reta tangente

Uma **reta secante** passa por dois pontos de uma curva. Tome os pontos $(x, f(x))$ e $(x + h, f(x + h))$. A variação vertical é $f(x+h) - f(x)$ e a horizontal é $h$, então a inclinação da reta secante é exatamente o quociente de diferenças:

$$\text{inclinação da secante} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Agora diminua $h$. O segundo ponto desliza pela curva em direção ao primeiro, e a reta secante gira. No limite, os dois pontos se fundem e a reta secante se torna a **reta tangente**. Sua inclinação é a derivada.

Veja $f(x) = x^2$ em $x = 1$:

| $h$ | Segundo ponto | Inclinação da secante $\frac{(1+h)^2 - 1}{h}$ |
| --- | --- | --- |
| $1$ | $(2, 4)$ | $3$ |
| $0.5$ | $(1.5, 2.25)$ | $2.5$ |
| $0.1$ | $(1.1, 1.21)$ | $2.1$ |
| $0.01$ | $(1.01, 1.0201)$ | $2.01$ |

As inclinações se aproximam de $2$. Então a inclinação da reta tangente a $y = x^2$ em $x = 1$ é $2$.

```graph
title: 'Retas secantes de y = x² por (1, 1) se aproximando da reta tangente y = 2x − 1'
caption: 'As retas secantes com $h = 1$ (inclinação $3$) e $h = 0.5$ (inclinação $2.5$) giram em direção à reta tangente em $x = 1$, que tem inclinação $2$.'
x: [-1, 3]
y: [-2, 6]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 3x - 2
    label: secante, h = 1
    dashed: true
  - expr: 2.5x - 1.5
    label: secante, h = 0.5
    dashed: true
  - expr: 2x - 1
    label: tangente, inclinação 2
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [2, 4, '(2, 4)']
  - [1.5, 2.25, '']
```

## Como usar a definição por limite: o método geral

Todo problema com a definição por limite segue os mesmos quatro passos.

1. **Escreva $f(x + h)$** trocando cada $x$ da fórmula por $(x + h)$.
2. **Monte o quociente de diferenças** $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. **Simplifique** até o $h$ do denominador se cancelar. (Substituir $h = 0$ logo de cara sempre dá $\frac{0}{0}$.)
4. **Faça $h \to 0$** substituindo $h = 0$ no que sobrou.

A álgebra do passo 3 depende da função. São as mesmas técnicas usadas para [calcular limites](/blog/how-to-evaluate-limits):

| Tipo de função | Técnica de simplificação |
| --- | --- |
| Polinômio | Expandir e cancelar |
| Fração (como $\frac{1}{x}$) | Juntar num denominador comum |
| Raiz quadrada | Multiplicar pelo conjugado |

## Exemplo resolvido 1: a derivada de x²

Encontre $f'(x)$ para $f(x) = x^2$ usando a definição por limite.

**Passo 1. Escreva $f(x + h)$.**

$$f(x + h) = (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$

**Passo 2. Monte o quociente de diferenças.**

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}$$

**Passo 3. Coloque $h$ em evidência e cancele.**

$$\frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)$$

**Passo 4. Faça $h \to 0$.**

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

Em $x = 1$ isso dá $f'(1) = 2$, como na tabela. A reta tangente ali é $y - 1 = 2(x - 1)$, ou seja, $y = 2x - 1$.

## Exemplo resolvido 2: a derivada de 1/x

Encontre $f'(x)$ para $f(x) = \frac{1}{x}$.

**Passo 1. Escreva $f(x + h)$.** $f(x + h) = \frac{1}{x + h}$.

**Passo 2. Monte o quociente de diferenças.**

$$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$$

**Passo 3. Junte o numerador num denominador comum.**

$$\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

Dividir por $h$ o cancela:

$$\frac{-h}{x(x+h)} \cdot \frac{1}{h} = \frac{-1}{x(x + h)}$$

**Passo 4. Faça $h \to 0$.**

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}$$

A derivada é negativa para todo $x \neq 0$, o que combina com o gráfico de $\frac{1}{x}$: ele desce nos dois ramos. Em $x = 1$ a inclinação é $-1$, então a reta tangente é $y = -x + 2$.

```graph
title: 'Gráfico de y = 1/x com sua reta tangente y = −x + 2 no ponto (1, 1)'
caption: 'Pela definição por limite, a derivada de $\frac{1}{x}$ é $-\frac{1}{x^2}$, então a inclinação em $x = 1$ é $-1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -x + 2
    label: tangente em x = 1
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Exemplo resolvido 3: a derivada de √x

Encontre $f'(x)$ para $f(x) = \sqrt{x}$.

**Passo 1. Escreva o quociente de diferenças.**

$$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Substituir $h = 0$ dá $\frac{0}{0}$, e não há nada para expandir. Uma diferença de raízes quadradas pede o conjugado.

**Passo 2. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo.**

$$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)}$$

**Passo 3. Simplifique e cancele.** O numerador é apenas $h$:

$$\frac{h}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

**Passo 4. Faça $h \to 0$.**

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Isso vale para $x > 0$. Em $x = 0$ a inclinação explode: o gráfico de $\sqrt{x}$ começa com uma tangente vertical. Em $x = 4$, $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$, então a reta tangente ali é $y = \frac{1}{4}x + 1$.

## Exemplo resolvido 4: a forma alternativa num ponto

Encontre $f'(3)$ para $f(x) = x^2 - 4x$ usando $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

**Passo 1. Calcule $f(3)$.** $f(3) = 9 - 12 = -3$.

**Passo 2. Monte o limite.**

$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x - (-3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}$$

**Passo 3. Fatore e cancele.** $x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)$, então o limite vira $\lim_{x \to 3} (x - 1)$.

**Passo 4. Substitua.** $f'(3) = 3 - 1 = 2$.

Confira com a [regra da potência](/blog/power-rule): $f'(x) = 2x - 4$, e $f'(3) = 2$.

## O que a derivada diz

Depois que você tem $f'(x)$, ela faz mais do que dar a inclinação num ponto. É uma nova função que informa a inclinação em cada ponto, e essa inclinação tem significado no contexto.

- **Inclinação da reta tangente.** $f'(a)$ é a inclinação da reta que apenas toca o gráfico em $x = a$. A reta tangente é $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
- **Taxa de variação instantânea.** Se $s(t)$ é a posição no instante $t$, o quociente de diferenças é uma velocidade média num intervalo de tempo de comprimento $h$. Seu limite, $s'(t)$, é a velocidade no instante $t$.
- **Crescente ou decrescente.** Onde $f'(x) > 0$ o gráfico sobe; onde $f'(x) < 0$ ele desce. Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$ é negativa para $x < 0$ e positiva para $x > 0$, que é exatamente o formato da parábola.

A notação varia de livro para livro, mas todas estas significam a mesma coisa:

$$f'(x) \qquad \frac{dy}{dx} \qquad \frac{d}{dx} f(x) \qquad y'$$

A forma de Leibniz $\frac{dy}{dx}$ lembra de onde a derivada vem: uma pequena variação em $y$ dividida por uma pequena variação em $x$, no limite.

## Quando a derivada não existe

O limite da definição pode falhar. Para $f(x) = |x|$ em $x = 0$, o quociente de diferenças é $\frac{|h|}{h}$, que vale $1$ para $h > 0$ e $-1$ para $h < 0$. Os limites laterais não coincidem, então $f'(0)$ não existe. Graficamente, o bico na origem não tem uma única reta tangente. Funções também deixam de ser diferenciáveis em saltos, buracos e tangentes verticais, então uma função precisa ser [contínua](/blog/continuity) para ter derivada.

## Erros comuns com a definição por limite

1. **Escrever $f(x) + h$ em vez de $f(x + h)$.** Para $f(x) = x^2$, $f(x + h)$ é $(x + h)^2$, não $x^2 + h$.
2. **Expandir $(x + h)^2$ como $x^2 + h^2$.** O termo do meio, $2xh$, é a derivada inteira. Nunca o descarte.
3. **Substituir $h = 0$ cedo demais.** Se ainda houver um $h$ sozinho num denominador, continue simplificando.
4. **Perder o sinal de menos em $f(x+h) - f(x)$.** Coloque $f(x)$ entre parênteses: $-(x^2 - 4x)$ se distribui pelos dois termos.
5. **Deixar de escrever o $\lim$.** Escreva $\lim_{h \to 0}$ em todas as linhas até realmente fazer $h \to 0$.

## Resumo rápido

| $f(x)$ | Passo algébrico principal | $f'(x)$ |
| --- | --- | --- |
| $x^2$ | Expandir $(x+h)^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | Expandir $(x+h)^3$ | $3x^2$ |
| $\frac{1}{x}$ | Denominador comum | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | Conjugado | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $mx + b$ | Cancelar direto | $m$ |

## A prática constrói a álgebra

A definição por limite é, em grande parte, álgebra cuidadosa: expandir, juntar frações e multiplicar pelo conjugado sem perder nenhum termo. A lição interativa abaixo conduz você pelos quocientes de diferenças um passo de cada vez, confere cada linha na hora e mostra exatamente onde um sinal ou um $2xh$ se perdeu. Quando a ideia fizer sentido, as regras práticas vão ficar completamente claras.

## Perguntas frequentes

### O que é a definição de derivada por limite?

A derivada de $f$ em $x$ é $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. É o limite das inclinações das retas secantes que passam por $(x, f(x))$ e por um ponto próximo, o que dá a inclinação da reta tangente.

### O que é o quociente de diferenças?

O quociente de diferenças é $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. É a inclinação da reta que passa por dois pontos do gráfico separados por uma distância horizontal $h$, então mede a taxa de variação média nesse intervalo.

### Por que precisamos da definição por limite se existem regras de derivação?

As regras, como a regra da potência, são demonstradas a partir da definição por limite. Aprendê-la mostra por que as regras são verdadeiras, e alguns cursos e provas pedem que você calcule uma derivada "pela definição" para mostrar que entende o que é uma derivada.

### Qual é a forma alternativa da definição de derivada?

Num ponto específico $a$, você pode escrever $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$. É a mesma ideia, com o segundo ponto escrito como $x$ em vez de $a + h$.

### Por que substituir h = 0 não funciona?

Porque o numerador e o denominador viram $0$, o que dá a forma indeterminada $\frac{0}{0}$. O limite pergunta o que acontece quando $h$ se aproxima de $0$, então você simplifica algebricamente até o fator $h$ se cancelar e só então faz $h \to 0$.