# Derivação implícita: método passo a passo e exemplos > Aprenda derivação implícita passo a passo: encontre dy/dx em circunferências e curvas em que não dá para isolar y, retas tangentes e a segunda derivada. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/derivacao-implicita Atualizado: 2026-09-16 ## Pontos principais - A derivação implícita encontra $\frac{dy}{dx}$ sem isolar $y$: derive os dois lados em relação a $x$ e depois resolva para $\frac{dy}{dx}$. - Toda vez que você deriva um termo com $y$, a regra da cadeia acrescenta um fator $\frac{dy}{dx}$, então $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$. - Termos como $xy$ são produtos e precisam da regra do produto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$. - Para a circunferência $x^2 + y^2 = 25$, a inclinação é $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, e a segunda derivada é $-\frac{25}{y^3}$. Nem toda curva vem na forma $y = f(x)$. A circunferência $x^2 + y^2 = 25$ nem sequer é uma função, e uma equação como $x^3 + y^3 = 6xy$ não pode ser resolvida para $y$ de nenhum jeito razoável. Mesmo assim, as duas curvas têm retas tangentes perfeitamente definidas. A **derivação implícita** encontra as inclinações delas sem nunca isolar $y$. ## O que é derivação implícita? Uma equação como $y = x^2 + 1$ define $y$ **explicitamente**: $y$ está sozinho de um lado. Uma equação como $x^2 + y^2 = 25$ define $y$ **implicitamente**: a relação entre $x$ e $y$ está ali, mas emaranhada. Derivar implicitamente significa derivar os dois lados dessa equação em relação a $x$, tratando $y$ como uma função desconhecida de $x$. O resultado é uma equação que você pode resolver para $\frac{dy}{dx}$. A única ideia nova é como derivar um termo que contém $y$. Como $y$ é função de $x$, a [regra da cadeia](/blog/chain-rule) se aplica: $$\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\cdot\frac{dy}{dx}$$ Então $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ e $\frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}$. Compare com $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, em que nenhum fator extra aparece porque a derivada de $x$ em relação a $x$ é 1. ## Como fazer derivação implícita, passo a passo 1. **Derive os dois lados** em relação a $x$, termo a termo. 2. **Acrescente $\frac{dy}{dx}$** toda vez que derivar algo que contenha $y$. Use a regra do produto em termos como $xy$ ou $x^2y$. 3. **Junte** todos os termos com $\frac{dy}{dx}$ de um lado e todo o resto do outro. 4. **Coloque $\frac{dy}{dx}$ em evidência.** 5. **Divida** para isolar $\frac{dy}{dx}$. Para encontrar a inclinação num ponto específico, substitua $x$ e $y$ no final. ## Exemplo resolvido 1: a inclinação de uma circunferência Encontre $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + y^2 = 25$ e a reta tangente em $(3, 4)$. **Passo 1. Derive os dois lados.** $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ **Passo 2. Acrescente $\frac{dy}{dx}$ ao termo com $y$.** A constante 25 tem derivada 0. $$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ **Passo 3. Resolva.** Subtraia $2x$ e divida por $2y$: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ **Passo 4. Calcule em $(3, 4)$.** Primeiro confira que o ponto está na circunferência: $9 + 16 = 25$. A inclinação é $-\frac{3}{4}$. **Passo 5. Reta tangente.** Usando a equação da reta por ponto e inclinação: $$y - 4 = -\tfrac{3}{4}(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{25}{4}$$ ```graph title: 'Circunferência x² + y² = 25 com sua reta tangente no ponto (3, 4)' caption: 'A derivação implícita dá inclinação $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{4}$ em $(3, 4)$, então a reta tangente é $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$. Ela é perpendicular ao raio, que tem inclinação $\frac{4}{3}$.' x: [-9, 11] y: [-6, 6.5] functions: - expr: sqrt(25 - x^2) label: metade de cima da circunferência - expr: -sqrt(25 - x^2) label: metade de baixo da circunferência - expr: -0.75x + 6.25 label: tangente em (3, 4) dashed: true points: - [3, 4, '(3, 4)'] ``` A resposta passa numa verificação geométrica. O raio até $(3, 4)$ tem inclinação $\frac{4}{3}$, e a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio, então sua inclinação deve ser o oposto do inverso, $-\frac{3}{4}$. E é. Repare que $-\frac{x}{y}$ funciona nas **duas** metades da circunferência ao mesmo tempo. Em $(3, -4)$, ela dá $+\frac{3}{4}$, o valor correto para a metade de baixo. Isolar $y$ primeiro teria obrigado você a tratar $y = \sqrt{25-x^2}$ e $y = -\sqrt{25-x^2}$ separadamente. ## A derivação implícita dá a mesma resposta que isolar y? Sim, sempre que for possível isolar $y$. Pegue a metade de cima da circunferência, $y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}$. A regra da cadeia dá $$\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}(25 - x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{25 - x^2}}$$ Mas $\sqrt{25 - x^2}$ é simplesmente $y$, então isso é $-\frac{x}{y}$, exatamente o que a derivação implícita produziu. Os dois métodos sempre concordam. A derivação implícita é só mais rápida, cobre todos os ramos da curva com uma única fórmula e continua funcionando quando isolar $y$ é impossível. Então, quando escolhê-la? Uma boa regra: se isolar $y$ exigiria uma raiz quadrada com $\pm$, uma raiz cúbica de algo complicado, ou simplesmente não for possível, derive implicitamente. Se a equação já está na forma $y = \ldots$, derive diretamente. ## Exemplo resolvido 2: um termo com produto Encontre $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + xy + y^2 = 7$ e a inclinação em $(1, 2)$. **Passo 1. Derive termo a termo.** O termo do meio, $xy$, é um produto, então precisa da regra do produto: $\frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}$. $$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ **Passo 2. Junte os termos com $\frac{dy}{dx}$.** $$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -(2x + y)$$ **Passo 3. Divida.** $$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$ **Passo 4. Calcule.** O ponto está na curva, já que $1 + 2 + 4 = 7$. A inclinação é $-\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$. ## Exemplo resolvido 3: uma curva em que não dá para isolar y O fólio de Descartes é $x^3 + y^3 = 6xy$. Encontre a inclinação em $(3, 3)$. **Passo 1. Derive.** O lado direito é $6$ vezes o produto $xy$: $$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$$ **Passo 2. Junte.** Passe os termos com $\frac{dy}{dx}$ para a esquerda e o resto para a direita: $$3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$$ **Passo 3. Coloque em evidência e divida**, cancelando o 3 comum: $$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ **Passo 4. Calcule em $(3, 3)$.** Verificação: $27 + 27 = 54 = 6\cdot 9$. A inclinação é $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$. ## Exemplo resolvido 4: a derivada de arcsen x É com derivação implícita que se encontram as derivadas das funções trigonométricas inversas. Seja $y = \arcsin x$, então $\sin y = x$ com $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. **Passo 1. Derive.** $\cos y\,\frac{dy}{dx} = 1$, então $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$. **Passo 2. Reescreva em termos de $x$.** Como $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$, e $\cos y \ge 0$ nesse intervalo, $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$. $$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ O mesmo truque, aplicado a $e^y = x$, prova que a derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$, como mostrado em [derivadas de exponenciais e logaritmos](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Encontrando a segunda derivada de forma implícita Para a circunferência, encontramos $y' = -\frac{x}{y}$. Para obter $y''$, derive isso de novo com a regra do quociente, lembrando que $y$ continua sendo função de $x$: **Passo 1. Regra do quociente.** $$y'' = -\frac{(1)(y) - x\,y'}{y^2} = -\frac{y - x y'}{y^2}$$ **Passo 2. Substitua $y' = -\frac{x}{y}$.** $$y'' = -\frac{y - x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2}$$ **Passo 3. Elimine a fração pequena** multiplicando o numerador e o denominador por $y$: $$y'' = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$ **Passo 4. Use a equação original.** Como $x^2 + y^2 = 25$: $$y'' = -\frac{25}{y^3}$$ Isso faz sentido. Na metade de cima ($y > 0$), $y''$ é negativa, então o arco tem concavidade para baixo. Na metade de baixo ($y < 0$), ela é positiva e o arco tem concavidade para cima. Em $(3, 4)$, $y'' = -\frac{25}{64}$. > **Dica:** o movimento do passo 4, trocar uma expressão por uma constante tirada da equação original, aparece em quase toda segunda derivada implícita. Procure por ele sempre antes de parar de simplificar. ## Erros comuns na derivação implícita 1. **Esquecer o $\frac{dy}{dx}$.** Escrever $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y$. Todo termo com $y$ ganha o fator. 2. **Pular a regra do produto.** $\frac{d}{dx}(xy)$ é $y + x\frac{dy}{dx}$, e não $\frac{dy}{dx}$ nem $1\cdot\frac{dy}{dx}$. 3. **Acrescentar $\frac{dy}{dx}$ a termos com $x$.** $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$, sem fator extra. 4. **Não derivar o lado direito.** A constante 25 vira 0, mas $6xy$ também precisa ser derivado. 5. **Substituir só o $x$.** As inclinações implícitas geralmente dependem das duas coordenadas. Use o ponto completo. 6. **Esquecer de substituir $y'$** ao encontrar a segunda derivada, deixando $y'$ dentro da resposta de $y''$. ## Referência rápida | Termo | Derivada em relação a $x$ | | ------------- | ------------------------------------------------- | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | | $y^n$ | $ny^{n-1}\,\frac{dy}{dx}$ | | $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ | | $x^2y$ | $2xy + x^2\,\frac{dy}{dx}$ | | $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ | | $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ | | $\ln y$ | $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ | | constante | $0$ | ## Torne isso rotina com prática A derivação implícita é uma habilidade mecânica com um único hábito novo: marcar cada $y$ com um $\frac{dy}{dx}$. Faça isso de forma consistente e a álgebra cuida do resto. A lição interativa abaixo traz curvas para você derivar com feedback imediato, e também é a melhor preparação para [taxas relacionadas](/blog/related-rates), que usam exatamente essa técnica com o tempo como variável. ## Perguntas frequentes ### O que é derivação implícita? É uma forma de encontrar $\frac{dy}{dx}$ quando $y$ é definido por uma equação como $x^2 + y^2 = 25$, e não por uma fórmula $y = f(x)$. Você deriva os dois lados em relação a $x$, tratando $y$ como função de $x$, e depois resolve o resultado para $\frac{dy}{dx}$. ### Por que se multiplica por dy/dx na derivação implícita? Porque $y$ é, no fundo, uma função de $x$, então um termo como $y^3$ é, na verdade, uma função composta. A regra da cadeia diz que sua derivada é $3y^2$ vezes a derivada da função de dentro, que é $\frac{dy}{dx}$. ### Quando devo usar a derivação implícita? Use quando for difícil ou impossível isolar $y$ na equação, como em $x^3 + y^3 = 6xy$, ou quando isolar daria uma raiz quadrada complicada com $\pm$. Ela também é o método por trás dos problemas de taxas relacionadas e das derivadas de funções inversas. ### A resposta da derivação implícita pode conter y? Sim, e geralmente contém. Uma inclinação como $-\frac{x}{y}$ é uma resposta completa. Para obter um número, substitua as duas coordenadas de um ponto da curva. ### Como encontrar a segunda derivada de forma implícita? Derive de novo a sua fórmula de $\frac{dy}{dx}$ em relação a $x$, usando a regra do quociente e acrescentando $\frac{dy}{dx}$ onde aparecer $y$. Depois substitua a fórmula da primeira derivada no lugar de $\frac{dy}{dx}$ e simplifique, muitas vezes usando a equação original.