# Derivadas de exponenciais e logaritmos: e^x, a^x e ln x

> Aprenda as derivadas de e^x, a^x, ln x e log na base a, por que e é especial e como a derivação logarítmica resolve x^x e produtos complicados.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/derivadas-exponenciais-e-logaritmicas
Atualizado: 2026-10-18

## Pontos principais

- $e^x$ é a sua própria derivada, e $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.
- Para outras bases, aparece um logaritmo natural: $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$ e $\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$.
- Com uma função de dentro, $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = g'(x)e^{g(x)}$ e $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
- A derivação logarítmica (aplicar $\ln$ nos dois lados e depois derivar) é a ferramenta para $x^x$ e para produtos e quocientes longos.

A regra da potência resolve $x^2$, mas é inútil para $2^x$, em que a variável está no expoente. Exponenciais e logaritmos modelam crescimento, decaimento, juros e meias-vidas, então você vai precisar das suas derivadas o tempo todo. São apenas quatro fórmulas para aprender, e todas vêm de um fato notável sobre o número $e$.

## As quatro fórmulas

Uma **função exponencial** tem a variável no expoente, como $e^x$ ou $3^x$. Um **logaritmo** é a sua inversa, como $\ln x$ ou $\log_2 x$. As derivadas são:

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

$$\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}$$

Aqui $a > 0$, $a \neq 1$, e $\ln$ indica o logaritmo natural (na base $e$). Repare que as duas fórmulas na base $e$ são o caso particular $a = e$ das fórmulas gerais, porque $\ln e = 1$.

## Por que e^x é a sua própria derivada

Tente derivar uma exponencial qualquer $a^x$ pela [definição por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative):

$$\frac{d}{dx}a^x = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$$

A derivada de $a^x$ é $a^x$ vezes uma constante. Essa constante é simplesmente a inclinação de $a^x$ em $x = 0$. Para $a = 2$, ela vale cerca de $0.693$. Para $a = 3$, cerca de $1.099$. Em algum lugar entre 2 e 3 existe uma base em que a inclinação em 0 é exatamente 1, e essa base é $e \approx 2.71828$.

Então $e$ é *definido* pela propriedade que deixa o cálculo limpo: a inclinação de $e^x$ em cada ponto é igual à sua altura. E a constante misteriosa para as outras bases acaba sendo $\ln a$, o que dá $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$.

```graph
title: 'Gráfico de y = eˣ com sua reta tangente y = x + 1 em x = 0'
caption: 'A inclinação de $e^x$ em $x = 0$ é exatamente 1, e em cada ponto a inclinação é igual à altura $e^x$.'
x: [-3, 2.5]
y: [-1, 7]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x + 1
    label: tangente em x = 0
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.7183, '(1, e)']
```

## Por que a derivada de ln x é 1/x

Seja $y = \ln x$. Isso significa que $e^y = x$. Derive os dois lados em relação a $x$, usando a regra da cadeia à esquerda (isso é [derivação implícita](/blog/implicit-differentiation)):

$$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

Uma consequência elegante: $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para todo $x \neq 0$, e é por isso que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

Para outras bases, reescreva com a fórmula de mudança de base $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Como $\frac{1}{\ln a}$ é só uma constante, a derivada é $\frac{1}{x \ln a}$.

```graph
title: 'Gráfico de y = ln x com retas tangentes em x = 1 e x = 4'
caption: 'A inclinação de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$: vale 1 em $x = 1$, mas só $\frac{1}{4}$ em $x = 4$, então a curva continua subindo, mas vai ficando mais plana.'
x: [-0.5, 7]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: x - 1
    label: tangente em x = 1
    dashed: true
  - expr: x/4 - 1 + ln(4)
    label: tangente em x = 4
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [4, 1.3863, '(4, ln 4)']
```

## Exemplo resolvido 1: e com uma função de dentro

Derive $y = e^{x^2}$.

**Passo 1.** De fora: $e^u$, cuja derivada é ela mesma, $e^{x^2}$.

**Passo 2.** De dentro: $u = x^2$, com derivada $2x$.

**Passo 3.** Multiplique, pela [regra da cadeia](/blog/chain-rule):

$$y' = 2x\,e^{x^2}$$

O expoente continua exatamente como estava. Só o fator $2x$ vai para a frente.

## Exemplo resolvido 2: uma exponencial com outra base

Derive $y = 5^{3x}$.

**Passo 1.** A derivada de $5^u$ é $5^u \ln 5$, então a parte de fora fica $5^{3x}\ln 5$.

**Passo 2.** A função de dentro $3x$ tem derivada 3.

$$y' = 3\ln 5 \cdot 5^{3x}$$

Não use a regra da potência aqui. $3x \cdot 5^{3x-1}$ está errado, porque a base é constante e o expoente é variável, que é justamente o contrário da situação da regra da potência.

## Exemplo resolvido 3: logaritmos de produtos e de composições

Derive $y = \ln(3x)$ e $y = \log_2(x^2 + 4)$.

**Primeira função.** Pela regra da cadeia, $y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}$. Isso parece surpreendente até você usar uma propriedade do logaritmo: $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$, e $\ln 3$ é constante. A constante some, sobrando $\frac{1}{x}$.

**Segunda função.** A função de fora é $\log_2 u$, com derivada $\frac{1}{u \ln 2}$. A de dentro, $x^2 + 4$, tem derivada $2x$:

$$y' = \frac{2x}{(x^2+4)\ln 2}$$

> **Dica:** antes de derivar um logaritmo, expanda-o com as propriedades. $\ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1)$, cuja derivada $\frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)}$ não precisa de regra do produto nenhuma.

## O que essas derivadas significam: crescimento proporcional ao tamanho

A regra $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ diz algo físico: a taxa de variação é proporcional à quantidade atual. É exatamente assim que se comportam populações, juros compostos e decaimento radioativo.

Suponha que uma cultura de bactérias tenha $P(t) = 500e^{0.04t}$ células depois de $t$ horas. Então

$$P'(t) = 500 \cdot 0.04\, e^{0.04t} = 20e^{0.04t} = 0.04\,P(t)$$

A cada instante, a cultura cresce 4% do seu tamanho atual por hora. Em $t = 0$, isso dá 20 células por hora. Quando a cultura dobra para 1000 células (em $t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3$ horas), ela está crescendo 40 células por hora. Populações maiores crescem mais rápido, e $e^{kx}$ é a função que captura isso perfeitamente.

Os logaritmos funcionam ao contrário. Como $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ diminui à medida que $x$ cresce, $\ln x$ continua aumentando para sempre, mas cada vez mais devagar. É por isso que escalas logarítmicas (decibéis, escala Richter, pH) comprimem intervalos enormes de valores em números pequenos e fáceis de ler.

## Derivação logarítmica

Algumas funções são impossíveis de derivar com as regras básicas, como $x^x$, em que a variável está tanto na base quanto no expoente. Outras são possíveis, mas trabalhosas, como um produto longo de potências. A **derivação logarítmica** resolve os dois casos:

1. Escreva $y = f(x)$ e aplique $\ln$ nos dois lados.
2. Use as propriedades do logaritmo para transformar produtos, quocientes e potências em somas.
3. Derive os dois lados. O lado esquerdo vira $\frac{y'}{y}$.
4. Multiplique os dois lados por $y$ e depois substitua de volta a função original $f(x)$.

### Exemplo resolvido 4: a derivada de x^x

Seja $y = x^x$ para $x > 0$.

**Passo 1.** $\ln y = \ln(x^x) = x\ln x$.

**Passo 2.** Derive. O lado direito precisa da regra do produto:

$$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

**Passo 3.** Multiplique por $y = x^x$:

$$y' = x^x(\ln x + 1)$$

Verificação em $x = 1$: $y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1$. O mesmo método dá $\frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

### Exemplo resolvido 5: um produto e um quociente complicados

Derive $y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}}$ para $x > 1$.

**Passo 1. Aplique o logaritmo e expanda.**

$$\ln y = 2\ln x + 3\ln(x+1) - \tfrac{1}{2}\ln(x-1)$$

**Passo 2. Derive cada termo.**

$$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{2(x-1)}$$

**Passo 3. Multiplique por $y$.**

$$y' = \frac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}}\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{2(x-1)}\right)$$

Fazer isso com a regra do quociente, mais a regra do produto, mais duas regras da cadeia, ocuparia uma página inteira. Os logaritmos transformaram tudo em três termos fáceis.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência em $a^x$.** $\frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}$. A regra da potência serve apenas para base variável e expoente constante.
2. **Esquecer o $\ln a$.** $\frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3$, e não $3^x$. Só a base $e$ dispensa esse fator.
3. **Mudar o expoente.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}$, e não $e^{2x}$ nem $x^2 e^{x^2 - 1}$.
4. **Escrever $\frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$.** A forma correta é $\frac{g'(x)}{g(x)}$: a função de dentro vai embaixo, e a sua derivada em cima.
5. **Esquecer de multiplicar por $y$** no fim da derivação logarítmica, deixando a resposta como $\frac{y'}{y}$.

## Referência rápida

| Função         | Derivada                      | Com função de dentro $g(x)$         |
| -------------- | ----------------------------- | ----------------------------------- |
| $e^x$          | $e^x$                         | $g'(x)\,e^{g(x)}$                   |
| $a^x$          | $a^x \ln a$                   | $g'(x)\,a^{g(x)}\ln a$              |
| $\ln x$        | $\frac{1}{x}$                 | $\frac{g'(x)}{g(x)}$                |
| $\ln\lvert x\rvert$ | $\frac{1}{x}$            | $\frac{g'(x)}{g(x)}$                |
| $\log_a x$     | $\frac{1}{x\ln a}$            | $\frac{g'(x)}{g(x)\ln a}$           |
| $x^x$          | $x^x(\ln x + 1)$              | use a derivação logarítmica         |

## Crie o hábito com prática

As fórmulas são curtas, mas as armadilhas (regra da potência em $2^x$, um $\ln a$ esquecido, um expoente alterado) são fáceis de cair sob a pressão da prova. A lição interativa abaixo treina exatamente esses pontos, com feedback imediato em cada resposta, para que o padrão correto fique automático antes do dia da prova.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^x?

A derivada de $e^x$ é $e^x$. Ela é a única função exponencial (além dos seus múltiplos constantes) igual à própria derivada, e é exatamente por isso que o número $e \approx 2.718$ é tão importante no cálculo.

### Qual é a derivada de ln x?

A derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$ para $x > 0$. De forma mais geral, $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para todo $x \neq 0$.

### Qual é a derivada de 2^x?

A derivada de $2^x$ é $2^x \ln 2$. Em geral, $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$. Um erro comum é usar a regra da potência e escrever $x \cdot 2^{x-1}$, o que está errado porque a variável está no expoente.

### Qual é a derivada de x^x?

Use a derivação logarítmica. Aplique $\ln$ nos dois lados para obter $\ln y = x\ln x$, derive para obter $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ e multiplique por $y$: a derivada é $x^x(\ln x + 1)$.

### Qual é a derivada do logaritmo de x na base 10?

A derivada de $\log_{10} x$ é $\frac{1}{x \ln 10}$. Todo logaritmo é um múltiplo constante de $\ln x$, já que $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$, então sua derivada é $\frac{1}{x}$ vezes essa mesma constante.