# Derivadas parciais: notação, significado e exemplos resolvidos > Aprenda a calcular derivadas parciais, o que significam como inclinações de traços, as de segunda ordem e por que o teorema de Clairaut iguala as mistas. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/derivadas-parciais Atualizado: 2026-09-02 ## Pontos principais - Para achar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trate todas as outras variáveis como constantes e derive em relação a $x$ com as regras de sempre. - Geometricamente, $f_x(a, b)$ é a inclinação da curva obtida ao cortar a superfície $z = f(x, y)$ com o plano $y = b$. - Uma função $f(x, y)$ tem quatro derivadas parciais de segunda ordem: $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ e $f_{yx}$. - Teorema de Clairaut: se as derivadas mistas são contínuas, então $f_{xy} = f_{yx}$, o que é uma ótima forma de conferir seu trabalho. Uma função como $f(x, y) = x^2 y + y^3$ depende de duas entradas ao mesmo tempo, então "a derivada" deixa de ser um único número. Se você mexe um pouco em $x$, a saída muda de um jeito. Se mexe em $y$, muda de outro. As derivadas parciais medem cada uma dessas taxas separadamente, e a boa notícia é que você já conhece todas as regras necessárias. Este guia mostra o que as derivadas parciais significam, a notação, como calculá-las (inclusive com a regra da cadeia), como interpretá-las como inclinações numa superfície e as derivadas de segunda ordem com o teorema de Clairaut. ## O que é uma derivada parcial? A **derivada parcial de $f$ em relação a $x$** é a taxa de variação de $f$ quando $x$ varia e todas as outras variáveis ficam constantes. Para uma função de duas variáveis, ela é definida por um limite, igualzinho a uma derivada comum: $$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$$ $$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$$ Em cada limite só uma variável se mexe. Essa é a ideia toda: congele as outras e calcule uma derivada normal. ## Notação de derivada parcial Você vai ver várias notações equivalentes para a mesma coisa: | Significado | Índice | Leibniz | Operador | | --- | --- | --- | --- | | taxa na direção $x$ | $f_x$ | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | $\partial_x f$ | | taxa na direção $y$ | $f_y$ | $\frac{\partial f}{\partial y}$ | $\partial_y f$ | | valor num ponto | $f_x(a, b)$ | $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)}$ | | Se $z = f(x, y)$, você também pode ver $\frac{\partial z}{\partial x}$ ou $z_x$. ## Como calcular derivadas parciais A regra prática: **toda variável, exceto aquela em relação à qual você deriva, é uma constante.** Então $y^3$, $5y$ e $\sin y$ se comportam como números quando você calcula $\frac{\partial}{\partial x}$. ### Exemplo resolvido 1: um polinômio Encontre $f_x$ e $f_y$ para $f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x$. **Passo 1. Derive em relação a $x$, mantendo $y$ constante.** - $3x^2 y$: a constante $3y$ vai junto, e $x^2$ vira $2x$, o que dá $6xy$. - $y^3$: não tem $x$, então é uma constante e sua derivada é $0$. - $-4x$: derivada $-4$. $$f_x = 6xy - 4$$ **Passo 2. Derive em relação a $y$, mantendo $x$ constante.** - $3x^2 y$: a constante $3x^2$ vai junto, e $y$ vira $1$, o que dá $3x^2$. - $y^3$: derivada $3y^2$. - $-4x$: não tem $y$, então $0$. $$f_y = 3x^2 + 3y^2$$ ### Exemplo resolvido 2: usando a regra da cadeia Encontre $f_x$ e $f_y$ para $f(x, y) = \sin(x^2 y)$. A função de fora é $\sin u$ e a de dentro é $u = x^2 y$, então a [regra da cadeia](/blog/chain-rule) se aplica como no cálculo de uma variável. **Passo 1. Em relação a $x$.** A derivada de dentro é $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$. $$f_x = \cos(x^2 y) \cdot 2xy = 2xy\cos(x^2 y)$$ **Passo 2. Em relação a $y$.** A derivada de dentro é $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$. $$f_y = x^2\cos(x^2 y)$$ ### Exemplo resolvido 3: um logaritmo e três variáveis Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ para $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ e depois $g_z$ para $g(x, y, z) = x y^2 z^3$. **Passo 1.** No logaritmo, derive $\ln u$ para obter $\frac{1}{u}$ e multiplique por $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **Passo 2.** Com três variáveis nada muda: mantenha $x$ e $y$ fixos e derive $z^3$. $$g_z = 3x y^2 z^2$$ ## O que uma derivada parcial significa: inclinações de traços O gráfico de $z = f(x, y)$ é uma superfície. Corte-a com o plano vertical $y = b$ e você obtém uma curva, chamada **traço**, que depende só de $x$: $z = f(x, b)$. A derivada parcial $f_x(a, b)$ é a **inclinação dessa curva** em $x = a$. Tome a cúpula $f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2$ no ponto $(1, 1)$, onde $f(1, 1) = 3$. **Passo 1. Corte com $y = 1$.** O traço é $z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2$. **Passo 2. Derive.** $f_x = -2x$, então $f_x(1, 1) = -2$. O traço desce com inclinação $-2$ quando $x$ aumenta. **Passo 3. Reta tangente no corte.** $z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x$. ```graph title: 'O traço z = 4 − x² da superfície z = 6 − x² − 2y² no plano y = 1, com inclinação −2 em x = 1' caption: 'Cortar $z = 6 - x^2 - 2y^2$ em $y = 1$ dá $z = 4 - x^2$. Sua tangente em $x = 1$ tem inclinação $f_x(1, 1) = -2$. O eixo vertical aqui é $z$.' x: [-3, 3.5] y: [-2, 6] functions: - expr: 4 - x^2 label: traço z = f(x, 1) = 4 − x² - expr: 5 - 2x label: tangente, inclinação f_x(1, 1) = −2 dashed: true points: - [1, 3, '(1, 3)'] ``` Cortando no outro sentido, com $x = 1$, obtemos o traço $z = 5 - 2y^2$. Sua inclinação em $y = 1$ é $f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4$. Então, nesse ponto, a cúpula desce duas vezes mais íngreme na direção $y$ do que na direção $x$. Em termos aplicados, $f_x$ responde "com que rapidez a saída muda por unidade de $x$, se nada mais mudar?". Se $P(L, K)$ é a produção de uma fábrica a partir do trabalho $L$ e do capital $K$, então $P_L$ é a produção extra obtida com uma unidade a mais de trabalho, mantendo o capital fixo. ## Derivadas parciais de segunda ordem Cada derivada parcial de primeira ordem é, de novo, uma função de $x$ e $y$, então você pode calcular as parciais dela. Uma função de duas variáveis tem quatro derivadas parciais de segunda ordem: $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$$ As duas últimas são as **derivadas parciais mistas**. Leia os índices da esquerda para a direita: $f_{xy}$ significa "primeiro $x$, depois $y$". A forma de Leibniz lista as variáveis da direita para a esquerda, então $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ também significa "primeiro $x$, depois $y$". $f_{xx}$ mede a concavidade do traço em $x$, e $f_{yy}$ a concavidade do traço em $y$. Na cúpula acima, $f_{xx} = -2$ e $f_{yy} = -4$, ambas negativas, então a superfície se curva para baixo nas duas direções. ### Exemplo resolvido 4: as quatro derivadas de segunda ordem Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem de $f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4$. **Passo 1. Derivadas de primeira ordem.** $$f_x = 3x^2 y^2 + 2y^4, \qquad f_y = 2x^3 y + 8xy^3$$ **Passo 2. Derive $f_x$.** $$f_{xx} = 6xy^2, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2 y^2 + 2y^4\right) = 6x^2 y + 8y^3$$ **Passo 3. Derive $f_y$.** $$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x^3 y + 8xy^3\right) = 6x^2 y + 8y^3, \qquad f_{yy} = 2x^3 + 24xy^2$$ **Passo 4. Compare as derivadas mistas.** $f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3$. Elas coincidem. ## Teorema de Clairaut: por que as derivadas mistas coincidem Essa coincidência no exemplo 4 não foi sorte. > **Teorema de Clairaut:** se $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são ambas contínuas num disco aberto em torno de $(a, b)$, então $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. Polinômios, exponenciais, senos, cossenos e suas combinações têm parciais contínuas onde estão definidos, então na prática a ordem de derivação não importa. Isso traz duas vantagens práticas: 1. **Uma conferência de graça.** Calcule as duas derivadas mistas. Se elas não baterem, você errou alguma conta. 2. **Um atalho.** Escolha a ordem mais fácil. Para $f(x, y) = y e^{x^2} + x$, achar $f_{yx}$ é mais rápido: $f_y = e^{x^2}$, então $f_{yx} = 2x e^{x^2}$. Por Clairaut, $f_{xy}$ é a mesma. ## Erros comuns com derivadas parciais 1. **Derivar a variável "constante".** Em $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3)$, o $y^3$ continua sendo $y^3$. A resposta é $2xy^3$, não $6xy^2$. 2. **Manter termos que deveriam sumir.** Qualquer termo sem $x$, como $y^3$ ou $\sin y$, tem $\frac{\partial}{\partial x} = 0$. 3. **Usar a regra do produto sem necessidade.** $x^2 y^3$ é uma constante vezes $x^2$ quando se deriva em $x$, então não precisa da regra do produto. 4. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}$, não $e^{xy}$. 5. **Confundir a ordem** em $f_{xy}$ versus $\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$. Pelo teorema de Clairaut, isso raramente muda a resposta, mas muda o desenvolvimento que você mostra. ## Resumo rápido: derivadas parciais | Função | $f_x$ | $f_y$ | | --- | --- | --- | | $x^m y^n$ | $m x^{m-1} y^n$ | $n x^m y^{n-1}$ | | $e^{xy}$ | $y e^{xy}$ | $x e^{xy}$ | | $\sin(xy)$ | $y\cos(xy)$ | $x\cos(xy)$ | | $\ln(x^2 + y^2)$ | $\frac{2x}{x^2+y^2}$ | $\frac{2y}{x^2+y^2}$ | | $\frac{x}{y}$ | $\frac{1}{y}$ | $-\frac{x}{y^2}$ | | $g(x) + h(y)$ | $g'(x)$ | $h'(y)$ | ## Torne isso automático com prática As derivadas parciais são a base de todo o resto do cálculo multivariável: o [gradiente e as derivadas direcionais](/blog/gradient-and-directional-derivatives), planos tangentes, otimização e [multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). A lição interativa abaixo traz funções para derivar uma variável de cada vez, com feedback imediato que mostra qual variável você derivou sem querer. ## Perguntas frequentes ### O que é uma derivada parcial, em palavras simples? Uma derivada parcial mede como uma função de várias variáveis muda quando você altera apenas uma variável e mantém todas as outras fixas. Para $f(x, y)$, $f_x$ é a taxa de variação na direção $x$ e $f_y$ é a taxa de variação na direção $y$. ### Como se calcula uma derivada parcial? Escolha a variável em relação à qual você vai derivar e finja que todas as outras são números. Depois use as regras de derivação comuns: potência, produto, quociente e cadeia. Por exemplo, $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) = 2x y^3$, porque $y^3$ funciona como uma constante. ### O que significa o símbolo ∂? O $\partial$ curvo (lido "derivada parcial" ou "del") indica uma derivada parcial, então $\frac{\partial f}{\partial x}$ significa "a derivada de $f$ em relação a $x$ com as outras variáveis mantidas constantes". Ele distingue as derivadas parciais das ordinárias, escritas com um $d$ reto. ### As derivadas parciais mistas são sempre iguais? Para quase todas as funções que você vai encontrar num curso de cálculo, sim. O teorema de Clairaut garante $f_{xy} = f_{yx}$ sempre que as duas derivadas mistas forem contínuas perto do ponto. Existem funções artificiais em que elas diferem, mas sempre envolvem uma derivada mista descontínua. ### Qual é a diferença entre f_xy e f_yx? Os índices são lidos da esquerda para a direita: $f_{xy}$ significa derivar primeiro em relação a $x$ e depois a $y$. Na notação de fração a ordem se inverte, então $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial x}$. Pelo teorema de Clairaut, as duas ordens dão a mesma resposta de qualquer forma.