# Derivadas trigonométricas: as seis, com demonstrações e exemplos

> As derivadas de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, por que a derivada de sen x é cos x e exemplos resolvidos com a regra da cadeia.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/derivadas-trigonometricas
Atualizado: 2026-10-02

## Pontos principais

- As seis regras: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$, $(\sec x)' = \sec x \tan x$, $(\csc x)' = -\csc x \cot x$.
- Toda função que começa com "co" (cosseno, cotangente, cossecante) tem um sinal de menos na derivada.
- O gráfico de $\cos x$ é exatamente a inclinação do gráfico de $\sin x$ em cada ponto.
- Essas fórmulas só valem quando $x$ é medido em radianos.
- Com uma função de dentro, multiplique pela derivada dela: $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.

As funções trigonométricas aparecem por toda parte no cálculo: em ondas, molas, rodas girando e em metade das questões da sua prova. Para derivá-las você precisa de seis fórmulas, e a boa notícia é que só precisa entender de verdade duas delas. As outras saem da regra do quociente, e um padrão simples de sinais ajuda a lembrar de todas.

## As seis derivadas trigonométricas

Uma **derivada trigonométrica** é a taxa de variação de uma função trigonométrica. Aqui estão elas, com $x$ em radianos:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

$$\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \qquad \frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$$

$$\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x \qquad \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$$

Olhe a coluna da direita. Toda função que começa com **"co"** (cosseno, cotangente, cossecante) tem um **sinal de menos** na derivada. E cada regra com "co" é a regra correspondente da coluna da esquerda com cada função trocada pela sua cofunção ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$, $\sec \leftrightarrow \csc$) e um sinal de menos acrescentado.

## Por que a derivada de sen x é cos x: leia no gráfico

Antes de qualquer álgebra, olhe os gráficos de $\sin x$ e $\cos x$ juntos.

```graph
title: 'Gráfico de y = sen x e y = cos x, mostrando cos x como a inclinação de sen x'
caption: 'Onde $\sin x$ é plano (em $x = \frac{\pi}{2}$), $\cos x = 0$. Onde $\sin x$ sobe mais rápido (em $x = 0$), $\cos x = 1$. Onde desce mais rápido (em $x = \pi$), $\cos x = -1$.'
x: [-1, 7]
y: [-1.5, 2.2]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'cos 0 = 1']
  - [1.5708, 0, 'cos(π/2) = 0']
  - [3.1416, -1, 'cos π = -1']
```

Percorra a curva do seno e estime a inclinação:

- Em $x = 0$, o seno sobe pela origem com inclinação 1. O cosseno em 0 vale **1**.
- Em $x = \frac{\pi}{2}$, o seno chega ao pico e fica plano por um instante. O cosseno ali vale **0**.
- Em $x = \pi$, o seno cruza o eixo descendo com a maior inclinação possível, $-1$. O cosseno em $\pi$ vale **$-1$**.
- Em $x = \frac{3\pi}{2}$, o seno chega ao fundo, inclinação 0. O cosseno vale **0** de novo.

Em cada ponto, a altura da curva do cosseno coincide com a inclinação da curva do seno. É isso que $(\sin x)' = \cos x$ significa.

Faça o mesmo com o cosseno. Logo à direita de $x = 0$, o cosseno está no pico e começa a cair, enquanto o seno é positivo. Então a inclinação do cosseno é o *oposto* do seno: $(\cos x)' = -\sin x$.

## A demonstração pela definição por limite

O gráfico convence; o limite prova. Usando a [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) e a identidade $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$$

Agrupe os termos com $\sin x$:

$$= \sin x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}$$

Dois limites famosos terminam o trabalho: $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ e $\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$. Então a derivada é $\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$.

O primeiro desses limites vale 1 **apenas em radianos**. Em graus ele valeria $\frac{\pi}{180}$, e toda derivada trigonométrica carregaria esse fator incômodo. Esse é o verdadeiro motivo de o cálculo usar radianos.

## Obtendo tangente, cotangente, secante e cossecante pela regra do quociente

As outras quatro são quocientes de seno e cosseno, então a [regra do quociente](/blog/product-and-quotient-rules) as produz.

**Tangente.** Com $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

**Secante.** Com $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ (o numerador é a constante 1, cuja derivada é 0):

$$(\sec x)' = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$$

Cotangente e cossecante funcionam do mesmo jeito, e os sinais de menos aparecem porque a derivada de $\cos x$ é negativa.

## Exemplo resolvido 1: trigonometria com a regra da cadeia

Derive $y = \sin(3x)$.

**Passo 1.** De fora: $\sin u$. De dentro: $u = 3x$.

**Passo 2.** Derive a de fora e mantenha a de dentro: $\cos(3x)$.

**Passo 3.** Multiplique pela derivada de dentro, 3:

$$y' = 3\cos(3x)$$

O mesmo padrão dá $\frac{d}{dx}\cos(5x) = -5\sin(5x)$ e $\frac{d}{dx}\tan(x^2) = 2x\sec^2(x^2)$. Para praticar mais a identificação da função de dentro, veja o [guia da regra da cadeia](/blog/chain-rule).

## Exemplo resolvido 2: potência de uma função trigonométrica

Derive $y = \cos^2 x$, que significa $(\cos x)^2$.

**Passo 1. Camada de fora, o quadrado.** $2\cos x$.

**Passo 2. Camada de dentro, o cosseno.** Sua derivada é $-\sin x$.

**Passo 3. Multiplique.**

$$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$$

Usando a identidade do arco duplo $2\sin x\cos x = \sin(2x)$, isso se simplifica para $y' = -\sin(2x)$.

## Exemplo resolvido 3: secante com uma função de dentro

Derive $y = \sec(4x)$.

**Passo 1.** A derivada de $\sec u$ é $\sec u \tan u$, então a parte de fora é $\sec(4x)\tan(4x)$.

**Passo 2.** A função de dentro $4x$ tem derivada 4.

$$y' = 4\sec(4x)\tan(4x)$$

Repare que **tanto** a secante **quanto** a tangente mantêm o $4x$ de dentro.

## Exemplo resolvido 4: regra do produto com uma função trigonométrica

Derive $y = x\cos x$ e depois encontre a reta tangente em $x = \frac{\pi}{2}$.

**Passo 1. Regra do produto.** Com $u = x$ e $v = \cos x$:

$$y' = 1 \cdot \cos x + x \cdot(-\sin x) = \cos x - x\sin x$$

**Passo 2. Calcule em $x = \frac{\pi}{2}$.** O ponto é $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$. A inclinação é $\cos\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

**Passo 3. Reta tangente.**

$$y = -\frac{\pi}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$$

```graph
title: 'Gráfico de y = x cos x com sua reta tangente em x = π/2'
caption: 'Em $x = \frac{\pi}{2}$, a inclinação de $x\cos x$ é $-\frac{\pi}{2}$, o que dá a reta tangente $y = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$.'
x: [-1, 5]
y: [-4, 3]
functions:
  - expr: x cos(x)
    label: y = x cos x
  - expr: -(pi/2) x + pi^2/4
    label: tangente em x = π/2
    dashed: true
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Exemplo resolvido 5: onde a reta tangente é horizontal?

Encontre todos os $x$ em $[0, 2\pi)$ em que $y = \sin x + \cos x$ tem tangente horizontal.

**Passo 1. Derive termo a termo.**

$$y' = \cos x - \sin x$$

**Passo 2. Iguale a derivada a zero.** $\cos x = \sin x$. Dividindo por $\cos x$ (que não pode ser zero aqui, pois nesse caso $\sin x$ seria $\pm 1$, e não 0), obtemos $\tan x = 1$.

**Passo 3. Resolva no intervalo.** $\tan x = 1$ em $x = \frac{\pi}{4}$ e $x = \frac{5\pi}{4}$.

**Passo 4. Encontre as alturas.** Em $\frac{\pi}{4}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$, o máximo. Em $\frac{5\pi}{4}$, $y = -\sqrt{2}$, o mínimo. Então $\sin x + \cos x$ é uma onda que oscila entre $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$, um fato que você descobriu usando apenas as duas primeiras regras da tabela.

## As derivadas de ordem superior do seno e do cosseno se repetem

Derive $\sin x$ várias vezes seguidas:

$$\sin x \;\to\; \cos x \;\to\; -\sin x \;\to\; -\cos x \;\to\; \sin x$$

O padrão se repete a cada quatro derivadas. Então, para encontrar a 23ª derivada de $\sin x$, divida 23 por 4: o resto é 3, então ela coincide com a terceira derivada, $-\cos x$. Esse ciclo também explica por que $y = \sin x$ e $y = \cos x$ resolvem a equação da mola $y'' = -y$.

## Erros comuns com derivadas trigonométricas

1. **Esquecer o sinal de menos.** $(\cos x)' = -\sin x$, e não $\sin x$. Lembre: funções com "co" ganham um menos.
2. **Esquecer a derivada de dentro.** $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$, e não $\cos(3x)$.
3. **Alterar a função de dentro.** $\frac{d}{dx}\tan(x^2)$ é $2x\sec^2(x^2)$, e não $\sec^2(2x)$.
4. **Tratar $\sin^2 x$ como $\sin(x^2)$.** O primeiro é $(\sin x)^2$, com derivada $2\sin x\cos x$. O segundo tem derivada $2x\cos(x^2)$.
5. **Usar graus.** Uma calculadora no modo graus vai fazer toda verificação numérica parecer errada.
6. **Perder um fator na regra da secante.** $(\sec x)' = \sec x \tan x$ mantém a secante; não é só $\tan x$.

## Referência rápida

| Função     | Derivada            | Com função de dentro $g(x)$              |
| ---------- | ------------------- | ---------------------------------------- |
| $\sin x$   | $\cos x$            | $\cos(g(x))\,g'(x)$                      |
| $\cos x$   | $-\sin x$           | $-\sin(g(x))\,g'(x)$                     |
| $\tan x$   | $\sec^2 x$          | $\sec^2(g(x))\,g'(x)$                    |
| $\cot x$   | $-\csc^2 x$         | $-\csc^2(g(x))\,g'(x)$                   |
| $\sec x$   | $\sec x \tan x$     | $\sec(g(x))\tan(g(x))\,g'(x)$            |
| $\csc x$   | $-\csc x \cot x$    | $-\csc(g(x))\cot(g(x))\,g'(x)$           |

## Pratique até virarem reflexos

Você vai usar essas seis fórmulas pelo resto do cálculo, inclusive na integração, em que a tabela é lida ao contrário. O jeito mais rápido de fixá-las é usá-las. A lição interativa abaixo mistura derivadas trigonométricas simples com versões que usam a regra da cadeia e a regra do produto, e dá feedback imediato para que um sinal de menos esquecido seja pego no momento em que acontece.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sen x?

A derivada de $\sin x$ é $\cos x$. Dá para ver no gráfico: onde $\sin x$ sobe com mais inclinação (em $x = 0$) o cosseno vale 1, e onde $\sin x$ fica plano (nos picos e vales) o cosseno vale 0.

### Por que a derivada de cos x é menos sen x?

Logo depois de $x = 0$, $\cos x$ começa a descer enquanto $\sin x$ é positivo, então a inclinação precisa ser o oposto do seno. Formalmente, isso vem da definição por limite e da identidade $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$.

### Qual é a derivada de tg x?

A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$, que é o mesmo que $\frac{1}{\cos^2 x}$. Você chega a ela escrevendo $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e usando a regra do quociente.

### As derivadas trigonométricas funcionam em graus?

Não da forma como estão escritas. A regra $(\sin x)' = \cos x$ supõe radianos. Em graus aparece um fator extra $\frac{\pi}{180}$, e é por isso que o cálculo sempre usa radianos.

### Como memorizar as seis derivadas trigonométricas?

Aprenda as do seno, da tangente e da secante e obtenha as versões com "co" trocando cada função pela sua cofunção e acrescentando um sinal de menos. Por exemplo, $\sec x \tan x$ vira $-\csc x \cot x$.