# Esboço de gráficos: testes da primeira e da segunda derivada > Esboce qualquer curva com derivadas: intervalos de crescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um exemplo completo com uma cúbica. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/esboco-de-graficos-com-derivadas Atualizado: 2026-10-26 ## Pontos principais - O sinal de $f'$ indica onde $f$ cresce ($f' > 0$) ou decresce ($f' < 0$); uma troca de sinal num ponto crítico indica um máximo ou mínimo local. - O sinal de $f''$ indica a concavidade: concavidade para cima onde $f'' > 0$, concavidade para baixo onde $f'' < 0$. - Um ponto de inflexão é onde a concavidade realmente muda, e não qualquer ponto em que $f'' = 0$. - O teste da segunda derivada é rápido, mas falha quando $f''(c) = 0$; nesse caso, volte ao teste da primeira derivada. Uma calculadora gráfica desenha uma curva em um segundo, então por que esboçar à mão? Porque a calculadora não diz **por que** a curva tem aquela forma, onde exatamente ela faz a curva, ou se uma oscilação fora da tela está escondendo um máximo. As derivadas respondem tudo isso. Com $f'$ e $f''$ você consegue prever a forma exata de um gráfico antes de marcar um único ponto, e as questões de prova sobre isso estão entre os pontos mais previsíveis que você pode ganhar. ## O que a primeira e a segunda derivada dizem **Esboçar um gráfico** significa usar derivadas para descobrir onde ele sobe e desce, onde muda de direção e como se curva. Cada derivada responde a uma pergunta: - A **primeira derivada** $f'$ é a inclinação. Onde $f'(x) > 0$ a função é **crescente**; onde $f'(x) < 0$ ela é **decrescente**. - A **segunda derivada** $f''$ é a taxa de variação da inclinação. Onde $f''(x) > 0$ o gráfico tem **concavidade para cima** (formato de xícara); onde $f''(x) < 0$ tem **concavidade para baixo** (formato de chapéu). Um **ponto crítico** é um $x$ do domínio em que $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ não existe. Esses são os únicos lugares em que uma função suave pode mudar de direção. Um **ponto de inflexão** é um ponto do gráfico em que a concavidade muda. ## O teste da primeira derivada Seja $c$ um ponto crítico. Verifique o sinal de $f'$ logo à esquerda e logo à direita de $c$: $$f' \text{ muda de } + \to - \;\Rightarrow\; \text{máx. local} \qquad f' \text{ muda de } - \to + \;\Rightarrow\; \text{mín. local}$$ Se $f'$ tem o mesmo sinal dos dois lados, não há extremo em $c$: o gráfico só fica plano por um instante e segue em frente. O motivo é simples. Um máximo local é onde o gráfico para de subir e começa a descer, então a inclinação precisa passar de positiva para negativa. ## O teste da segunda derivada Se $f'(c) = 0$, muitas vezes você pode pular o quadro de sinais e calcular $f''(c)$: $$f''(c) < 0 \;\Rightarrow\; \text{máx. local} \qquad f''(c) > 0 \;\Rightarrow\; \text{mín. local}$$ Uma tangente horizontal numa curva com concavidade para baixo só pode estar no topo de um morro; uma tangente horizontal numa xícara só pode estar no fundo. Mas se $f''(c) = 0$, o teste é **inconclusivo**. Isso não significa "não há extremo". Volte ao teste da primeira derivada. ## Exemplo resolvido 1: o esboço completo de uma cúbica Esboce $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$. **Passo 1. Domínio e interceptos.** Um polinômio está definido para todo $x$ real. O intercepto com o eixo $y$ é $f(0) = 5$. **Passo 2. Primeira derivada e pontos críticos.** $$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$$ Então $f'(x) = 0$ em $x = -1$ e $x = 3$. **Passo 3. Quadro de sinais de $f'$.** Teste um valor em cada intervalo: | Intervalo | Valor de teste | $f'(x)$ | Comportamento de $f$ | | ---------------- | ---------- | ------------------------ | --------------- | | $(-\infty, -1)$ | $x = -2$ | $3(-5)(-1) = 15 > 0$ | crescente | | $(-1, 3)$ | $x = 0$ | $3(-3)(1) = -9 < 0$ | decrescente | | $(3, \infty)$ | $x = 4$ | $3(1)(5) = 15 > 0$ | crescente | Pelo teste da primeira derivada, $f$ tem um **máximo local** em $x = -1$ (de mais para menos) e um **mínimo local** em $x = 3$ (de menos para mais). **Passo 4. Alturas dos pontos de virada.** $$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10, \qquad f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$ **Passo 5. Segunda derivada e concavidade.** $$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$$ $f''(x) < 0$ para $x < 1$ (concavidade para baixo) e $f''(x) > 0$ para $x > 1$ (concavidade para cima). A concavidade muda em $x = 1$, então há um **ponto de inflexão** em $(1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6)$. **Passo 6. Confirme com o teste da segunda derivada.** $f''(-1) = -12 < 0$, então $x = -1$ é um máximo. $f''(3) = 12 > 0$, então $x = 3$ é um mínimo. Os dois resultados concordam com o passo 3. **Passo 7. Comportamento nas extremidades.** O termo dominante $x^3$ prevalece, então $f(x) \to -\infty$ quando $x \to -\infty$ e $f(x) \to \infty$ quando $x \to \infty$. **Passo 8. Esboço.** Suba a partir do canto inferior esquerdo, curvando como um chapéu, atinja o pico em $(-1, 10)$, passe por $(0, 5)$, desça pelo ponto de inflexão $(1, -6)$, onde a curvatura passa a ser de xícara, chegue ao fundo em $(3, -22)$ e suba para o canto superior direito. ```graph title: 'Esboço de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 com seu máximo local, mínimo local e ponto de inflexão' caption: 'Máximo local em $(-1, 10)$, ponto de inflexão em $(1, -6)$, mínimo local em $(3, -22)$. A curva tem concavidade para baixo à esquerda de $x = 1$ e para cima à direita.' x: [-4, 6] y: [-30, 25] functions: - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 5 label: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 points: - [-1, 10, 'máx. local (-1, 10)'] - [1, -6, 'inflexão (1, -6)'] - [3, -22, 'mín. local (3, -22)'] - [0, 5, '(0, 5)'] ``` Repare que o ponto de inflexão fica exatamente no meio do caminho entre os dois pontos de virada. Isso vale para toda cúbica com dois pontos críticos, e é uma verificação prática. ## Exemplo resolvido 2: quando o teste da segunda derivada falha Analise $f(x) = x^4 - 4x^3$. **Passo 1. Pontos críticos.** $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$ Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 3$. **Passo 2. Tente o teste da segunda derivada.** $$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$ Em $x = 3$: $f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0$, então há um mínimo local em $(3, 81 - 108) = (3, -27)$. Em $x = 0$: $f''(0) = 0$. O teste é **inconclusivo**. **Passo 3. Use o teste da primeira derivada em $x = 0$.** O fator $4x^2$ nunca é negativo, então o sinal de $f'$ perto de 0 vem de $x - 3$, que é negativo dos dois lados de 0. Logo, $f'$ é negativa dos dois lados: $f$ é decrescente ao passar por $x = 0$, e **não há extremo** ali, só um trecho plano. **Passo 4. Concavidade e pontos de inflexão.** $f'' = 12x(x - 2)$ muda de sinal em $x = 0$ e $x = 2$: | Intervalo | Sinal de $f''$ | Concavidade | | --------------- | ------------- | ------------ | | $(-\infty, 0)$ | $+$ | para cima | | $(0, 2)$ | $-$ | para baixo | | $(2, \infty)$ | $+$ | para cima | Os dois são pontos de inflexão: $(0, 0)$ e $(2, 16 - 32) = (2, -16)$. Então o trecho plano na origem também é um ponto de inflexão, e é por isso que ele não é máximo nem mínimo. ```graph title: 'Gráfico de f(x) = x⁴ - 4x³ com um ponto de inflexão de tangente horizontal na origem e um mínimo em x = 3' caption: 'Em $x = 0$ a tangente é horizontal, mas o gráfico continua descendo: um ponto de inflexão, não um extremo. O único mínimo local é $(3, -27)$.' x: [-2, 5] y: [-35, 25] functions: - expr: x^4 - 4x^3 label: f(x) = x^4 - 4x³ points: - [0, 0, 'inflexão (0, 0)'] - [2, -16, 'inflexão (2, -16)'] - [3, -27, 'mín. local (3, -27)'] ``` ## Exemplo resolvido 3: uma curva exponencial Analise $f(x) = x e^{-x}$. **Passo 1. Primeira derivada** (regra do produto): $$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$ Como $e^{-x} > 0$, o sinal de $f'$ é o sinal de $1 - x$: crescente para $x < 1$, decrescente para $x > 1$. Máximo local em $\left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37)$. **Passo 2. Segunda derivada.** $$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)$$ Concavidade para baixo para $x < 2$, para cima para $x > 2$. Ponto de inflexão em $\left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27)$. **Passo 3. Conferência com o teste da segunda derivada.** $f''(1) = e^{-1}(-1) < 0$, o que confirma o máximo. Quando $x \to \infty$, $e^{-x}$ encolhe muito mais rápido do que $x$ cresce, então a curva se aproxima de 0 (veja [limites no infinito](/blog/limits-at-infinity)). ## Erros comuns no esboço de gráficos 1. **Chamar todo $f''(c) = 0$ de ponto de inflexão.** $f(x) = x^4$ tem $f''(0) = 0$, mas tem concavidade para cima em todo lugar. Confira se o sinal muda. 2. **Concluir "não há extremo" quando o teste da segunda derivada falha.** $f''(c) = 0$ significa "use outro teste", e não "nada acontece aqui". Para $x^4$, $x = 0$ é um mínimo. 3. **Confundir o papel de cada derivada.** $f'$ dá crescimento e decrescimento; $f''$ dá a concavidade. Uma função pode ser crescente e ter concavidade para baixo ao mesmo tempo. 4. **Testar sinais nos próprios pontos críticos.** Escolha valores de teste estritamente dentro de cada intervalo. 5. **Informar só os valores de $x$.** Um máximo local é um ponto. Dê $(-1, 10)$, e não só $x = -1$, a menos que a questão peça apenas a localização. 6. **Esquecer pontos em que $f'$ não existe.** Para $f(x) = x^{2/3}$, $f'(0)$ não existe, mas $x = 0$ é um mínimo (uma cúspide). ## Referência rápida | Você encontra | Condição | Significado | | --------------------- | ------------------------------------------ | --------------------------- | | Crescente | $f'(x) > 0$ | o gráfico sobe da esquerda para a direita | | Decrescente | $f'(x) < 0$ | o gráfico desce da esquerda para a direita | | Ponto crítico | $f'(c) = 0$ ou não existe | candidato a máximo ou mínimo | | Máximo local | $f'$: $+ \to -$, ou $f''(c) < 0$ | topo de um morro | | Mínimo local | $f'$: $- \to +$, ou $f''(c) > 0$ | fundo de um vale | | Concavidade para cima | $f''(x) > 0$ | curva como uma xícara | | Concavidade para baixo | $f''(x) < 0$ | curva como um chapéu | | Ponto de inflexão | $f''$ muda de sinal | a curvatura troca de sentido | Para encontrar o maior ou o menor valor absoluto de uma grandeza real, as mesmas ferramentas movem os [problemas de otimização](/blog/optimization-problems). ## Pratique a leitura de gráficos a partir das derivadas Esboçar gráficos é uma rotina: pontos críticos, quadro de sinais, segunda derivada, quadro de sinais, esboço. A rotina só fica rápida com repetição. A lição interativa abaixo permite praticar concavidade e a segunda derivada com feedback imediato, para você criar o hábito de conferir a troca de sinal antes de chamar algo de ponto de inflexão. ## Perguntas frequentes ### O que é o teste da primeira derivada? Num ponto crítico $c$, observe o sinal de $f'$ de cada lado. Se ele muda de positivo para negativo, $f$ tem um máximo local em $c$. Se muda de negativo para positivo, um mínimo local. Se o sinal não muda, não há extremo. ### O que é o teste da segunda derivada? Num ponto crítico em que $f'(c) = 0$, calcule $f''(c)$. Se for negativo, o gráfico tem concavidade para baixo e $c$ é um máximo local; se for positivo, um mínimo local. Se $f''(c) = 0$, o teste não diz nada e você precisa do teste da primeira derivada. ### Como encontrar pontos de inflexão? Encontre onde $f''(x) = 0$ ou não existe e depois confira se o sinal de $f''$ realmente muda ali. Só os pontos em que a concavidade troca são pontos de inflexão. Por exemplo, $f(x) = x^4$ tem $f''(0) = 0$, mas nenhum ponto de inflexão, porque tem concavidade para cima dos dois lados. ### O que significa concavidade para cima? Um gráfico tem concavidade para cima onde se curva para cima como uma xícara, o que acontece quando a inclinação está aumentando, ou seja, $f''(x) > 0$. Concavidade para baixo significa que ele se curva como um chapéu, com a inclinação diminuindo e $f''(x) < 0$. ### Quais são os passos para esboçar um gráfico? Encontre o domínio e os interceptos, encontre os pontos críticos a partir de $f'$ e faça um quadro de sinais para crescimento e decrescimento, encontre os possíveis pontos de inflexão a partir de $f''$ e faça um quadro de concavidade, marque os pontos importantes e ligue-os seguindo a forma que os quadros descrevem.