# Frações parciais: como decompor e integrar, passo a passo

> Aprenda a decompor em frações parciais com fatores lineares distintos, repetidos e quadráticos irredutíveis, o método de cobrir e integrais resolvidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/fracoes-parciais
Atualizado: 2026-09-22

## Pontos principais

- As frações parciais dividem uma função racional em pedaços simples como $\frac{A}{x-a}$, e cada um se integra num logaritmo, numa potência ou num arco tangente.
- Antes de decompor, garanta que o numerador tem grau menor que o denominador. Se não tiver, faça a divisão de polinômios primeiro.
- Um fator repetido $(x-a)^2$ precisa de dois termos, $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$, e um quadrático irredutível precisa de um numerador linear $\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$.
- O método de cobrir encontra a constante sobre cada fator linear distinto numa linha: cubra esse fator e substitua a raiz dele.

Você consegue somar $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$ e obter $\frac{5x-1}{x^2-x-2}$ em poucas linhas. Mas, se uma integral lhe entrega $\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx$, nenhuma regra básica se aplica. As **frações parciais** fazem essa soma ao contrário, quebrando uma fração difícil em pedaços simples que você integra de cara.

## O que é a decomposição em frações parciais?

Uma **função racional** é um polinômio dividido por outro. A **decomposição em frações parciais** reescreve uma função racional como uma soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original. Por exemplo:

$$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$$

Cada pedaço da direita se integra num logaritmo natural, então a integral vira rotina:

$$\int \frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C$$

## Passo 0: a fração é própria?

As frações parciais só funcionam quando o grau do numerador é **menor** que o grau do denominador. Se não for, use a divisão de polinômios primeiro.

Por exemplo, $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ tem graus iguais. Dividindo, obtemos

$$\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1},$$

e só $\frac{2}{x^2-1}$ precisa ser decomposta.

## As formas das frações parciais

Fatore o denominador por completo. Cada tipo de fator contribui com seu próprio tipo de termo:

| Fator no denominador               | Termos na decomposição                                               |
| ---------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
| Linear distinto $(x-a)$            | $\frac{A}{x-a}$                                                      |
| Linear repetido $(x-a)^2$          | $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$                                  |
| Linear repetido $(x-a)^3$          | $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{(x-a)^3}$              |
| Quadrático irredutível $x^2+bx+c$  | $\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$                                        |

Um quadrático é **irredutível** quando não se fatora nos números reais, o que acontece quando $b^2 - 4c < 0$. Exemplos são $x^2 + 1$ e $x^2 + 2x + 5$.

## Caso 1: fatores lineares distintos

### Exemplo resolvido 1

Calcule $\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx$.

**Passo 1. Confira que é própria.** Grau 1 sobre grau 2. Ótimo.

**Passo 2. Fatore o denominador.** $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

**Passo 3. Escreva a forma.**

$$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$$

**Passo 4. Elimine os denominadores.** Multiplique os dois lados por $(x-2)(x+1)$:

$$5x - 1 = A(x+1) + B(x-2)$$

**Passo 5. Substitua valores convenientes.** Em $x = 2$ o termo com $B$ some: $9 = 3A$, então $A = 3$. Em $x = -1$ o termo com $A$ some: $-6 = -3B$, então $B = 2$.

**Passo 6. Integre.**

$$\int \left(\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}\right)dx = 3\ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C$$

```graph
title: 'Gráfico de y = (5x − 1)/((x − 2)(x + 1)) com assíntotas verticais em x = 2 e x = −1'
caption: 'Cada fator do denominador dá uma assíntota vertical, e cada um vira sua própria fração simples: $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$.'
x: [-6, 5]
y: [-10, 10]
functions:
  - expr: (5x-1)/((x-2)(x+1))
    label: y = (5x − 1)/((x − 2)(x + 1))
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = −1'}
  - {x: 2, label: 'x = 2'}
```

## O método de cobrir: um atalho para fatores lineares

Para um **fator linear distinto** $(x-a)$, existe um atalho de uma linha. Cubra esse fator na fração original e substitua $x = a$ no que sobrar.

Para $\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$:

- Para achar $A$ sobre $(x-2)$: cubra $(x-2)$, sobrando $\frac{5x-1}{x+1}$. Em $x = 2$: $\frac{9}{3} = 3$.
- Para achar $B$ sobre $(x+1)$: cubra $(x+1)$, sobrando $\frac{5x-1}{x-2}$. Em $x = -1$: $\frac{-6}{-3} = 2$.

As mesmas respostas, quase sem álgebra. É exatamente o Passo 5 feito de cabeça.

### Exemplo resolvido 2: método de cobrir e divisão de polinômios juntos

Decomponha $\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}$.

- Cubra $(x-1)$ e calcule $\frac{2}{x+1}$ em $x = 1$: $A = 1$.
- Cubra $(x+1)$ e calcule $\frac{2}{x-1}$ em $x = -1$: $B = -1$.

$$\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$$

Juntando com a divisão de polinômios do Passo 0:

$$\int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx = x + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C = x + \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$$

> **Dica:** o método de cobrir dá o coeficiente de qualquer fator linear distinto e da **maior** potência de um fator repetido. Para as potências menores de um fator repetido e para os fatores quadráticos, use outro método.

### Exemplo resolvido 3: três fatores lineares distintos

Calcule $\int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx$.

**Passo 1. Fatore o denominador.** Coloque $x$ em evidência e fatore o quadrático:

$$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x-1)(x+2)$$

**Passo 2. Escreva a forma.**

$$\frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$$

**Passo 3. Cubra cada fator.**

- Cubra $x$ e calcule $\frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)}$ em $x = 0$: $\frac{-2}{(-1)(2)} = 1$, então $A = 1$.
- Cubra $(x-1)$ e calcule $\frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)}$ em $x = 1$: $\frac{6}{3} = 2$, então $B = 2$.
- Cubra $(x+2)$ e calcule $\frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)}$ em $x = -2$: $\frac{-6}{6} = -1$, então $C = -1$.

**Passo 4. Integre.**

$$\int \left(\frac1x + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\right)dx = \ln|x| + 2\ln|x-1| - \ln|x+2| + C$$

Com três fatores lineares, resolver um sistema de equações levaria várias linhas. O método de cobrir leva três cálculos rápidos.

### Exemplo resolvido 4: uma integral definida

Calcule $\int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx$.

Pelo exemplo 2, $\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$, então

$$\int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx = \Big[\ln|x-1| - \ln|x+1|\Big]_2^3 = (\ln 2 - \ln 4) - (\ln 1 - \ln 3)$$

Simplifique com as propriedades dos logaritmos: $\ln 2 - \ln 4 = -\ln 2$ e $\ln 1 - \ln 3 = -\ln 3$, então o valor é $-\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405$.

Repare que o intervalo $[2, 3]$ fica longe das assíntotas em $x = \pm 1$. Se um dos limites de integração estivesse numa assíntota, isso seria uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals) e precisaria de um limite.

## Duas maneiras de encontrar as constantes

Você já viu os dois métodos padrão. Vale saber quando cada um é mais rápido.

- **Substituir as raízes (ou cobrir).** Substitua a raiz de cada fator linear na equação sem denominadores. Cada substituição zera todos os termos menos um, então você lê uma constante na hora. É o método mais rápido para fatores lineares distintos.
- **Igualar coeficientes.** Expanda o lado direito, agrupe as potências de $x$ e iguale cada coeficiente ao correspondente do lado esquerdo. Isso sempre funciona, e é a única opção para fatores quadráticos e para as potências menores de um fator repetido.

Na prática, a maioria dos estudantes combina os dois: substitui raízes para obter o máximo de constantes possível e depois iguala um ou dois coeficientes para terminar.

## Caso 2: fatores lineares repetidos

### Exemplo resolvido 5

Calcule $\int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx$.

**Passo 1. Escreva a forma.** O fator $(x+1)$ está ao quadrado, então ganha dois termos:

$$\frac{4x}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$

**Passo 2. Elimine os denominadores.**

$$4x = A(x+1)^2 + B(x-1)(x+1) + C(x-1)$$

**Passo 3. Substitua as raízes.** Em $x = 1$: $4 = 4A$, então $A = 1$. Em $x = -1$: $-4 = -2C$, então $C = 2$.

**Passo 4. Iguale um coeficiente para a última constante.** Os termos em $x^2$ do lado direito são $Ax^2 + Bx^2$, e o lado esquerdo não tem termo em $x^2$, então $A + B = 0$ e $B = -1$.

**Passo 5. Integre cada pedaço.** O último termo é uma potência, não um logaritmo:

$$\int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}\right)dx = \ln|x-1| - \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C$$

O termo $(x+1)^{-2}$ se integra em $\frac{(x+1)^{-1}}{-1}$, e é daí que vem $-\frac{2}{x+1}$.

## Caso 3: fatores quadráticos irredutíveis

### Exemplo resolvido 6

Calcule $\int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx$.

**Passo 1. Escreva a forma.** $x^2 + 1$ não pode ser fatorado, então ganha um numerador linear:

$$\frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}$$

**Passo 2. Elimine os denominadores e expanda.**

$$2x^2 + 2x + 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A$$

**Passo 3. Iguale os coeficientes.** Termo constante: $A = 1$. Termo em $x$: $C = 2$. Termo em $x^2$: $A + B = 2$, então $B = 1$.

**Passo 4. Divida o pedaço quadrático.**

$$\int \left(\frac{1}{x} + \frac{x}{x^2+1} + \frac{2}{x^2+1}\right)dx$$

O pedaço do meio é uma [substituição](/blog/u-substitution) com $u = x^2+1$, que dá $\tfrac12\ln(x^2+1)$. O último pedaço é um arco tangente padrão.

**Passo 5. Junte tudo.**

$$\int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx = \ln|x| + \tfrac12\ln(x^2+1) + 2\arctan x + C$$

> **Dica:** se o quadrático for algo como $x^2 + 2x + 5$, complete o quadrado para obter $(x+1)^2 + 4$ e use $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C$.

## Erros comuns com frações parciais

1. **Pular a divisão de polinômios.** Se a fração for imprópria, a forma da decomposição está errada e as constantes não vão fechar.
2. **Dar um só termo a um fator repetido.** $(x+1)^2$ precisa de $\frac{B}{x+1}$ e de $\frac{C}{(x+1)^2}$.
3. **Usar uma constante sobre um quadrático.** Um quadrático irredutível precisa de $Bx + C$ no numerador, não só de $B$.
4. **Integrar $\frac{1}{(x+1)^2}$ como logaritmo.** É uma potência: $-\frac{1}{x+1}$.
5. **Não fatorar por completo.** $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ tem três fatores lineares, não um linear e um quadrático.
6. **Esquecer os módulos** dentro dos logaritmos.

## Resumo rápido: integrando cada pedaço

| Pedaço                     | Integral                                         |
| -------------------------- | ------------------------------------------------ |
| $\frac{A}{x-a}$            | $A\ln\lvert x-a\rvert + C$                       |
| $\frac{A}{(x-a)^n}$, $n\ge 2$ | $\frac{-A}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C$             |
| $\frac{x}{x^2+a^2}$        | $\tfrac12\ln(x^2+a^2) + C$                       |
| $\frac{1}{x^2+a^2}$        | $\frac1a\arctan\frac{x}{a} + C$                  |

## Faça a decomposição virar segunda natureza

Frações parciais são um procedimento, e procedimentos se fixam pela repetição. Depois de montar uma dúzia de decomposições, escolher a forma certa e usar o atalho de cobrir vai parecer automático. Experimente a lição interativa abaixo: ela confere cada constante enquanto você avança e mostra exatamente onde a montagem deu errado.

## Perguntas frequentes

### O que é a decomposição em frações parciais?

É o inverso de somar frações. Uma única função racional como $\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$ é reescrita como uma soma de frações mais simples, aqui $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$, cada uma fácil de integrar.

### Quando usar frações parciais para integrar?

Use frações parciais para uma função racional (um polinômio dividido por outro) cujo denominador se fatora e em que a substituição não funciona diretamente. Se o numerador já for a derivada do denominador, uma substituição simples é mais rápida.

### O que fazer se o grau do numerador for alto demais?

Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, divida primeiro usando a divisão de polinômios. Você obtém um polinômio mais uma fração própria, e só a fração própria precisa de frações parciais.

### Como funciona o método de cobrir?

Para um fator linear distinto $(x-a)$, cubra-o na fração original e calcule o que sobra em $x = a$. O resultado é a constante $A$ sobre $(x-a)$. Só funciona para fatores lineares que não se repetem, ou para a maior potência de um fator repetido.

### Como tratar um fator quadrático irredutível?

Dê a ele um numerador linear: $\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$. Na hora de integrar, divida-o num pedaço que se integra num logaritmo por substituição e num pedaço que se integra num arco tangente, completando o quadrado se necessário.