# Gradiente e derivada direcional: fórmula e exemplos > Aprenda o que é o vetor gradiente, como calcular uma derivada direcional com um vetor unitário e por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/gradiente-e-derivada-direcional Atualizado: 2026-10-04 ## Pontos principais - O gradiente $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ reúne todas as derivadas parciais de primeira ordem num único vetor. - A derivada direcional na direção de um vetor unitário $\mathbf{u}$ é $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. O vetor precisa ter comprimento 1. - O gradiente aponta na direção de maior crescimento, e seu comprimento $|\nabla f|$ é essa taxa máxima de crescimento. - O gradiente é perpendicular à curva de nível (ou superfície de nível) que passa pelo ponto. Você está numa encosta descrita por $z = f(x, y)$. As derivadas parciais dizem o quanto o terreno é íngreme se você andar exatamente para o leste ou para o norte. Mas e se você andar para o nordeste? E para que lado deve andar para subir o mais rápido possível? O gradiente responde às duas perguntas com um único vetor. Este guia explica o gradiente, a fórmula da derivada direcional, por que o gradiente aponta morro acima, e resolve quatro exemplos completos. ## O que é o gradiente? O **gradiente** de uma função é o vetor das suas [derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) de primeira ordem. Para duas e três variáveis: $$\nabla f(x, y) = \langle f_x(x, y),\ f_y(x, y) \rangle, \qquad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$$ O símbolo $\nabla$ se lê "nabla" ou "grad". O gradiente é uma função vetorial: em cada ponto, ele dá um vetor que vive no plano de entrada (o plano $xy$), e não sobre a superfície. Por exemplo, se $f(x, y) = x^2 + 3xy$, então $f_x = 2x + 3y$ e $f_y = 3x$, logo $$\nabla f(x, y) = \langle 2x + 3y,\ 3x \rangle, \qquad \nabla f(1, 2) = \langle 8, 3 \rangle$$ ## A fórmula da derivada direcional A **derivada direcional** de $f$ num ponto, na direção de um **vetor unitário** $\mathbf{u}$, é a taxa de variação de $f$ por unidade de distância percorrida nessa direção: $$D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}$$ Se $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle$, isso é $D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2$. As derivadas parciais são casos particulares. Com $\mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle$ você obtém $D_{\mathbf{u}} f = f_x$, e com $\mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle$ obtém $f_y$. Como calcular uma derivada direcional: 1. Encontre o gradiente $\nabla f$ e calcule-o no ponto. 2. Transforme a direção em um **vetor unitário**: divida pelo comprimento, ou use $\mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$ para um ângulo $\theta$. 3. Faça o [produto escalar](/blog/vectors-dot-and-cross-product) dos dois. > **Dica:** o passo 2 é o que as pessoas pulam. Se o problema diz "na direção de $\langle 3, 4 \rangle$", você precisa usar $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$. ## Exemplo resolvido 1: uma direção dada por um vetor Encontre a derivada direcional de $f(x, y) = x^2 + 3xy$ em $(1, 2)$ na direção de $\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle$. **Passo 1. Gradiente no ponto.** Pelo que vimos acima, $\nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle$. **Passo 2. Vetor unitário.** $|\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$, então $\mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle$. **Passo 3. Produto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = 8 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} + \frac{12}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$$ Saindo de $(1, 2)$ em direção a $\langle 3, 4 \rangle$, $f$ cresce cerca de $7.2$ unidades por unidade de distância. ## Exemplo resolvido 2: uma direção dada por um ângulo Encontre a derivada direcional de $f(x, y) = x e^y$ em $(2, 0)$ na direção que forma um ângulo $\theta = \frac{\pi}{3}$ com o semieixo positivo $x$. **Passo 1. Gradiente.** $f_x = e^y$ e $f_y = x e^y$, então $\nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle$. **Passo 2. Vetor unitário a partir do ângulo.** $$\mathbf{u} = \left\langle \cos\tfrac{\pi}{3}, \sin\tfrac{\pi}{3} \right\rangle = \left\langle \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rangle$$ Ele já tem comprimento 1, então não é preciso dividir. **Passo 3. Produto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(2, 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \approx 2.23$$ ## Por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento Use a forma geométrica do produto escalar. Se $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e o vetor unitário $\mathbf{u}$, então $$D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\,|\mathbf{u}|\cos\theta = |\nabla f|\cos\theta$$ Como $\cos\theta$ varia de $-1$ a $1$, três fatos aparecem: - **Maior crescimento:** o maior valor, $|\nabla f|$, acontece em $\theta = 0$, quando $\mathbf{u}$ aponta ao longo de $\nabla f$. - **Maior decrescimento:** o menor valor, $-|\nabla f|$, acontece em $\theta = \pi$, quando $\mathbf{u}$ aponta ao longo de $-\nabla f$. - **Nenhuma variação:** $D_{\mathbf{u}} f = 0$ quando $\theta = \frac{\pi}{2}$, ou seja, nas direções perpendiculares a $\nabla f$. Essas são as direções ao longo da curva de nível. Esse último fato significa que **o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível de $f$**. Num mapa topográfico, o gradiente aponta direto morro acima, cruzando as curvas de nível em ângulo reto. ## Exemplo resolvido 3: a subida mais íngreme num morro A altura de um morro é $f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2$. Uma pessoa está em $(3, 1)$. **Passo 1. Gradiente.** $\nabla f = \langle -2x, -4y \rangle$, então $\nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle$. **Passo 2. Direção de maior crescimento.** É $\langle -6, -4 \rangle$ ou, como vetor unitário, $$\mathbf{u} = \frac{\langle -6, -4 \rangle}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{\langle -3, -2 \rangle}{\sqrt{13}}$$ Ela aponta morro acima, aproximadamente de volta para o topo, na origem. (Não exatamente para ele: o morro é mais íngreme na direção $y$, então o gradiente se volta para o eixo $x$ de forma mais acentuada do que uma linha reta até o topo.) **Passo 3. Taxa máxima.** $|\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$. **Passo 4. Maior decrescimento.** A direção oposta, $\langle 6, 4 \rangle$, com taxa $-2\sqrt{13}$. **Passo 5. Direções de nível.** As direções perpendiculares a $\langle -3, -2 \rangle$ são $\langle 2, -3 \rangle$ e $\langle -2, 3 \rangle$ (confira: $-6 + 6 = 0$). Andar em qualquer uma delas mantém a pessoa na mesma altura, pelo menos instantaneamente. O ponto $(3, 1)$ está na curva de nível $x^2 + 2y^2 = 11$ (onde a altura é $89$). O gráfico mostra essa curva, a direção do gradiente e a direção tangente. Elas se encontram em ângulo reto. ```graph title: 'Curva de nível x² + 2y² = 11 do morro f(x, y) = 100 − x² − 2y², com a reta do gradiente e a reta tangente em (3, 1)' caption: 'Em $(3, 1)$ o gradiente $\langle -6, -4 \rangle$ aponta morro acima ao longo da reta do gradiente, perpendicular à curva de nível. A direção tangente $\langle 2, -3 \rangle$ mantém $f$ constante.' x: [-5, 5] y: [-3, 3] functions: - expr: sqrt((11 - x^2)/2) label: curva de nível x² + 2y² = 11 - expr: -sqrt((11 - x^2)/2) color: '#5b4fe0' - expr: 2x/3 - 1 label: direção do gradiente dashed: true - expr: 5.5 - 1.5x label: tangente à curva de nível dashed: true points: - [3, 1, '(3, 1)'] - [0, 0, 'topo'] ``` ## Exemplo resolvido 4: três variáveis Encontre a derivada direcional de $f(x, y, z) = xyz$ em $P(1, 2, 3)$ na direção do ponto $Q(2, 4, 5)$. **Passo 1. Gradiente.** $\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle$, então $\nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle$. **Passo 2. Vetor direção.** $\overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle$, com comprimento $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Então $\mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle$. **Passo 3. Produto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2, 3) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 + 2 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$ A taxa máxima possível em $P$ é $|\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7$, então essa direção dá $\frac{16}{3} \approx 5.33$ de um máximo possível de $7$. Em três variáveis, o gradiente é perpendicular à **superfície de nível** $f(x, y, z) = c$, e é por isso que $\nabla f$ é usado como vetor normal dos planos tangentes. ## Erros comuns com gradientes e derivadas direcionais 1. **Não normalizar a direção.** Usar $\langle 3, 4 \rangle$ em vez de $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$ deixa a resposta 5 vezes maior do que deveria. 2. **Usar o ponto em vez da direção.** No exemplo 4, a direção é $Q - P$, e não o próprio $Q$. 3. **Esquecer de calcular o gradiente no ponto.** A resposta de uma questão de derivada direcional é um número, não uma fórmula. 4. **Achar que o gradiente vive sobre a superfície.** Para $z = f(x, y)$, $\nabla f$ é um vetor 2D no plano $xy$ que diz para que lado andar. 5. **Confundir a taxa máxima com a sua direção.** A direção é $\nabla f$ (ou seu vetor unitário). A taxa é o número $|\nabla f|$. ## Referência rápida: fatos sobre o gradiente | Pergunta | Resposta | | --- | --- | | Gradiente de $f(x, y)$ | $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ | | Taxa de variação na direção $\mathbf{u}$ ($\lvert\mathbf{u}\rvert = 1$) | $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ | | Vetor unitário com ângulo $\theta$ | $\langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$ | | Direção de maior crescimento | $\nabla f$ | | Maior taxa de crescimento | $\lvert \nabla f \rvert$ | | Direção de maior decrescimento | $-\nabla f$ | | Direções sem variação | perpendiculares a $\nabla f$ (ao longo da curva de nível) | ## Pratique até parecer leitura de mapa Depois que você consegue calcular um gradiente de cabeça e se lembra de normalizar a direção, esses problemas viram pontos rápidos na prova. Eles também são a ideia central por trás dos [multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). A lição interativa abaixo traz superfícies, pontos e direções para você trabalhar e confere cada passo na hora, para você perceber um vetor unitário esquecido logo na primeira vez. ## Perguntas frequentes ### O que é o gradiente de uma função? O gradiente de $f(x, y)$ é o vetor $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ das suas derivadas parciais e, para três variáveis, acrescenta $f_z$. Em cada ponto, ele aponta na direção em que $f$ cresce mais rápido, e seu comprimento é essa taxa máxima de crescimento. ### O que é uma derivada direcional? Uma derivada direcional é a taxa de variação de $f$ quando você sai de um ponto numa direção escolhida. Ela generaliza as derivadas parciais, que só medem a variação ao longo dos eixos coordenados. Você a calcula como $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$, com $\mathbf{u}$ um vetor unitário. ### Por que o vetor direção precisa ser unitário? A derivada direcional é uma taxa por unidade de distância. Se você usar um vetor mais longo, o produto escalar fica multiplicado pelo comprimento dele e a resposta sai grande demais. Sempre divida o vetor direção pelo seu comprimento primeiro. ### Por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento? Como $D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\cos\theta$, em que $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e $\mathbf{u}$, a taxa é máxima quando $\cos\theta = 1$, ou seja, quando $\mathbf{u}$ aponta no mesmo sentido de $\nabla f$. A taxa máxima é então $|\nabla f|$. ### Qual é a relação entre o gradiente e as curvas de nível? Em qualquer ponto, o gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por esse ponto. Andar ao longo da curva de nível mantém $f$ constante, então a derivada direcional ao longo dela é 0, o que obriga o gradiente a formar um ângulo reto com ela.