# Integração por partes: fórmula, LIATE e exemplos resolvidos

> Domine a integração por partes: a fórmula, como o LIATE escolhe o u, o método tabular, o truque do ciclo em e^x sen x e exemplos totalmente resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/integracao-por-partes
Atualizado: 2026-10-08

## Pontos principais

- A integração por partes inverte a regra do produto: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Use o LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial) para escolher $u$: escolha o tipo que vier primeiro.
- Quando $u$ é um polinômio, o método tabular resolve a integração por partes repetida numa única tabela.
- Se a integral original reaparecer depois de duas rodadas, trate-a como incógnita e resolva para ela algebricamente.

A substituição resolve $\int 2x e^{x^2}\,dx$ com facilidade. Mas troque para $\int x e^x\,dx$ e nenhuma substituição ajuda, porque os dois fatores não têm nada a ver um com o outro. A **integração por partes** foi feita exatamente para essa situação: um produto de dois tipos diferentes de função.

## O que é integração por partes?

A integração por partes é a **regra do produto ao contrário**. A regra do produto diz que $(uv)' = u'v + uv'$. Integre os dois lados, reorganize, e você obtém a fórmula da integração por partes:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Aqui $u$ é uma função que você vai **derivar** (para obter $du$), e $dv$ é a parte que você vai **integrar** (para obter $v$). A fórmula troca a integral original $\int u\,dv$ por uma nova, $\int v\,du$. O jogo todo é escolher $u$ e $dv$ de modo que a nova integral seja mais fácil.

Para integrais definidas, a mesma fórmula fica

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du.$$

## Quando usar integração por partes

Recorra a partes depois de descartar uma [substituição (mudança de variável)](/blog/u-substitution) mais simples. Bons sinais de que partes é a ferramenta certa:

- O integrando é um **produto de dois tipos diferentes de função**, como um polinômio vezes uma exponencial ou um polinômio vezes uma função trigonométrica.
- O integrando é uma **única função fácil de derivar, mas difícil de integrar**, como $\ln x$, $\arctan x$ ou $\arcsin x$.
- Nenhum fator é a derivada de algo dentro do outro. (Se fosse, a substituição funcionaria.)

## Como escolher u: a regra LIATE

Um bom $u$ fica **mais simples** quando derivado, e um bom $dv$ precisa ser algo que você **consiga integrar**. A regra LIATE ordena os tipos de função. Escolha como $u$ o fator que aparecer primeiro:

| Letra  | Tipo              | Exemplos                       |
| ------ | ----------------- | ------------------------------ |
| L      | Logarítmica       | $\ln x$, $\log_2 x$            |
| I      | Inversa trigonométrica | $\arctan x$, $\arcsin x$  |
| A      | Algébrica         | $x$, $x^2$, $3x + 1$           |
| T      | Trigonométrica    | $\sin x$, $\cos 2x$            |
| E      | Exponencial       | $e^x$, $e^{3x}$, $2^x$         |

Por que essa ordem? Logaritmos e funções trigonométricas inversas são difíceis de integrar, mas têm derivadas simples, então pertencem a $u$. Exponenciais e senos são tão fáceis de integrar quanto de derivar, então são um $dv$ natural.

> **Dica:** o LIATE é uma orientação forte, não uma lei. Se a sua escolha deixar a nova integral pior, troque $u$ e $dv$ e tente de novo.

## Exemplo resolvido 1: x vezes e^x

Calcule $\int x e^x\,dx$.

**Passo 1. Escolha $u$ e $dv$.** Algébrica vem antes de exponencial, então $u = x$ e $dv = e^x\,dx$.

**Passo 2. Calcule $du$ e $v$.** $du = dx$ e $v = e^x$.

**Passo 3. Aplique a fórmula.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx$$

**Passo 4. Termine a integral mais fácil.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

**Verificação:** a derivada de $e^x(x-1)$ é $e^x(x-1) + e^x = x e^x$. Correto.

Se você tivesse escolhido $u = e^x$ e $dv = x\,dx$, a nova integral seria $\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx$, que é pior. É o LIATE salvando você.

## Exemplo resolvido 2: x vezes cos x

Calcule $\int x\cos x\,dx$.

**Passo 1.** $u = x$ (algébrica), $dv = \cos x\,dx$ (trigonométrica).

**Passo 2.** $du = dx$, $v = \sin x$.

**Passo 3.**

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

Atenção ao sinal: $\int \sin x\,dx = -\cos x$, e subtrair isso dá $+\cos x$.

## Exemplo resolvido 3: a integral de ln x

Calcule $\int \ln x\,dx$.

Parece haver um único fator, mas você sempre pode escrever $dv = dx$.

**Passo 1.** $u = \ln x$, $dv = dx$.

**Passo 2.** $du = \frac1x\,dx$, $v = x$.

**Passo 3.**

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

O mesmo truque resolve $\int \arctan x\,dx$. Com $u = \arctan x$ e $dv = dx$, você obtém $x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$, e uma [substituição](/blog/u-substitution) rápida termina o trabalho:

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2) + C$$

## Exemplo resolvido 4: uma integral definida

Calcule $\int_1^e \ln x\,dx$.

Usando a antiderivada do exemplo 3:

$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

```graph
title: 'A área sob y = ln x de x = 1 até x = e é igual a 1'
caption: 'A integração por partes mostra que a área sombreada é exatamente $\int_1^e \ln x\,dx = 1$.'
x: [0, 4]
y: [-1.5, 1.8]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
shade: {expr: ln(x), from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
vertical:
  - {x: 2.71828, label: 'x = e'}
```

## O método tabular para integração por partes repetida

Quando $u$ é um polinômio como $x^3$, você precisaria aplicar partes três vezes, reduzindo a potência em um a cada vez. O **método tabular** (às vezes chamado de método DI) faz todas as rodadas de uma vez.

1. Na coluna da esquerda, escreva $u$ e continue **derivando** até chegar a $0$.
2. Na coluna da direita, escreva $dv$ e continue **integrando**, uma linha para cada derivada.
3. Trace diagonais de cada entrada da esquerda até a entrada da direita uma linha abaixo, com sinais alternados $+, -, +, -, \dots$
4. Some os produtos das diagonais.

### Exemplo resolvido 5: método tabular para x³ sen x

Calcule $\int x^3\sin x\,dx$.

| Sinal | Derive $u$       | Integre $dv$   |
| ---- | ----------------- | -------------- |
| $+$  | $x^3$             | $\sin x$       |
| $-$  | $3x^2$            | $-\cos x$      |
| $+$  | $6x$              | $-\sin x$      |
| $-$  | $6$               | $\cos x$       |
|      | $0$               | $\sin x$       |

Multiplique cada entrada da esquerda pela entrada da direita uma linha abaixo, usando o sinal da sua linha:

$$\int x^3\sin x\,dx = (+)x^3(-\cos x) + (-)3x^2(-\sin x) + (+)6x(\cos x) + (-)6(\sin x)$$

$$= -x^3\cos x + 3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C$$

**Verificação:** derivando, obtemos $-3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x$. Todo o resto se cancela.

O método tabular funciona bem sempre que $u$ acaba virando zero ao ser derivado e $dv$ é fácil de integrar várias vezes seguidas, ou seja, polinômio vezes $e^{ax}$, $\sin(ax)$ ou $\cos(ax)$.

## O caso do ciclo: e^x sen x

Algumas integrais nunca se reduzem a zero. Em vez disso, depois de duas rodadas de partes, a **integral original volta**. Isso não é um beco sem saída. É a solução.

### Exemplo resolvido 6: integre e^x sen x

Calcule $I = \int e^x\sin x\,dx$.

**Passo 1. Primeira rodada.** Seja $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$. Então $du = \cos x\,dx$, $v = e^x$:

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

**Passo 2. Segunda rodada, mesmo padrão.** Na nova integral, seja $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$. Então $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$

**Passo 3. Substitua de volta.**

$$I = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + I\right) = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$

**Passo 4. Resolva para $I$.** Some $I$ aos dois lados: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, então

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

**Verificação:** a derivada é $\tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x$.

> **Dica:** na segunda rodada, mantenha o mesmo tipo de função como $u$ (trigonométrica nas duas vezes). Se você trocar e escolher $u = e^x$, vai desfazer o primeiro passo e acabar com $I = I$.

## Erros comuns na integração por partes

1. **Escolher $u$ ao contrário.** Fazer $u = e^x$ em $\int x e^x\,dx$ deixa a integral mais difícil. Siga o LIATE.
2. **Erros de sinal.** A fórmula tem um sinal de menos, e $\int\sin x\,dx = -\cos x$ acrescenta outro. A maioria das respostas erradas vem daqui.
3. **Esquecer o $v$ no termo $uv$.** É $uv$, e não $u\,dv$.
4. **Esquecer a alternância de sinais no método tabular.** Uma diagonal sim, outra não, é negativa.
5. **Trocar de tipo no ciclo.** Em $\int e^x\sin x\,dx$, mantenha a trigonométrica como $u$ nas duas vezes.
6. **Esquecer o $+C$** ou esquecer de calcular $uv$ nos dois limites numa integral definida.

## Referência rápida

| Integral                 | Escolha $u$ | Resultado                                      |
| ------------------------ | ----------- | ---------------------------------------------- |
| $\int x e^x\,dx$         | $x$         | $e^x(x-1) + C$                                 |
| $\int x\cos x\,dx$       | $x$         | $x\sin x + \cos x + C$                         |
| $\int x\sin x\,dx$       | $x$         | $-x\cos x + \sin x + C$                        |
| $\int \ln x\,dx$         | $\ln x$     | $x\ln x - x + C$                               |
| $\int \arctan x\,dx$     | $\arctan x$ | $x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$           |
| $\int e^x\sin x\,dx$     | $\sin x$    | $\frac12 e^x(\sin x - \cos x) + C$             |
| $\int e^x\cos x\,dx$     | $\cos x$    | $\frac12 e^x(\sin x + \cos x) + C$             |

## Pratique até o LIATE ficar automático

A integração por partes recompensa a repetição mais do que qualquer outra técnica: a fórmula é curta, mas escolher bem o $u$ e manter os sinais corretos só se torna natural com prática. A lição interativa abaixo dá feedback imediato em cada passo, para você pegar um sinal trocado antes que ele vire hábito.

## Perguntas frequentes

### Qual é a fórmula da integração por partes?

A fórmula é $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Você divide o integrando em uma parte $u$, que vai derivar, e uma parte $dv$, que vai integrar, na esperança de que a nova integral $\int v\,du$ seja mais fácil do que a original.

### Como escolher u e dv?

Use a ordem LIATE: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica (polinômios), Trigonométrica, Exponencial. O fator que aparecer primeiro nessa lista vira $u$, e todo o resto, incluindo o $dx$, vira $dv$. O objetivo é um $u$ que fique mais simples ao ser derivado e um $dv$ que você consiga de fato integrar.

### Quando usar integração por partes em vez de substituição?

Tente a substituição (mudança de variável) primeiro. Se o integrando é um produto de duas funções sem relação entre si, como $x e^x$ ou $x\cos x$, em que nenhum fator é a derivada de algo dentro do outro, a integração por partes costuma ser a ferramenta certa. Ela também resolve funções isoladas como $\ln x$ e $\arctan x$.

### O que é o método tabular da integração por partes?

O método tabular é um atalho para integrais como $\int x^3\sin x\,dx$, em que $u$ é um polinômio. Você lista as derivadas de $u$ até chegar a zero numa coluna, as antiderivadas sucessivas de $dv$ em outra, e depois multiplica na diagonal com sinais alternados $+, -, +, -$.

### O que fazer quando a integração por partes anda em círculo?

Em integrais como $\int e^x\sin x\,dx$, aplicar partes duas vezes traz de volta a integral original. Chame-a de $I$, escreva a equação $I = (\text{resto}) - I$ e resolva: $2I = \text{resto}$, então $I$ é a metade disso, mais $C$.