# Integração por substituição: como escolher u, com exemplos > Aprenda integração por substituição passo a passo: como escolher u, como mudar os limites de uma integral definida, exemplos e quando o método falha. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/integracao-por-substituicao Atualizado: 2026-08-21 ## Pontos principais - A substituição desfaz a regra da cadeia: se o integrando tem a forma $f(g(x))\,g'(x)$, faça $u = g(x)$ e $du = g'(x)\,dx$. - Escolha como $u$ a função de dentro cuja derivada também aparece (a menos de uma constante) em algum lugar do integrando. - Numa integral definida, ou você muda os limites para valores de $u$, ou volta para $x$ antes de substituir, mas nunca misture os dois. - Depois de substituir, todo $x$ precisa ter sumido. Se sobrar um que você não consegue reescrever em termos de $u$, tente outro $u$ ou outro método. Você sabe que $\int \cos u\,du = \sin u + C$. Mas e $\int 2x\cos(x^2)\,dx$? Nenhuma das regras básicas se aplica diretamente, e não existe regra do produto para integrais. A **integração por substituição** é a ferramenta que transforma integrais como essa de volta em integrais que você já conhece, e é a primeira técnica a tentar em quase qualquer integral. ## O que é a integração por substituição? A substituição (também chamada de mudança de variável ou substituição u) é a **regra da cadeia ao contrário**. A regra da cadeia diz que $$\frac{d}{dx}\,F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x).$$ Então qualquer integrando com a forma "uma função de $g(x)$, vezes $g'(x)$" tem uma antiderivada fácil. Fazer $u = g(x)$ deixa essa forma evidente: $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\quad du = g'(x)\,dx.$$ Em palavras: renomeie a função de dentro como $u$, troque $g'(x)\,dx$ por $du$, integre em $u$ e depois coloque $g(x)$ de volta. ## O método da substituição em cinco passos 1. **Escolha $u$.** Pegue uma função de dentro $g(x)$. 2. **Encontre $du$.** Derive: $du = g'(x)\,dx$. 3. **Reescreva tudo em $u$.** Troque $g(x)$ por $u$ e $g'(x)\,dx$ por $du$. Não pode sobrar nenhum $x$. 4. **Integre** a nova integral, mais simples. 5. **Desfaça a substituição** com $u = g(x)$ e some $+C$. ## Como escolher u Quase toda a habilidade na substituição está em escolher $u$. Pergunte: **existe uma função dentro de outra cuja derivada também está no integrando?** Se sim, essa função de dentro é o seu $u$. | Integrando | Boa escolha de $u$ | Por que funciona | | --------------------------- | ------------------ | ------------------------------------- | | $2x\cos(x^2)$ | $x^2$ | $du = 2x\,dx$ está bem ali | | $x(x^2+3)^4$ | $x^2+3$ | $du = 2x\,dx$, e $x\,dx$ está presente | | $\frac{e^x}{e^x+1}$ | $e^x+1$ | $du = e^x\,dx$ é o numerador | | $\tan x\sec^2 x$ | $\tan x$ | $du = \sec^2 x\,dx$ | | $\frac{\ln x}{x}$ | $\ln x$ | $du = \frac{1}{x}\,dx$ | | $\sin^4 x \cos x$ | $\sin x$ | $du = \cos x\,dx$ | Alguns padrões úteis: - **Algo entre parênteses elevado a uma potência:** faça $u$ igual ao que está entre parênteses. - **Uma fração cujo numerador é (quase) a derivada do denominador:** faça $u$ igual ao denominador. A resposta vai envolver $\ln|u|$. - **Uma exponencial ou função trigonométrica com argumento complicado:** faça $u$ igual ao argumento. > **Dica:** fatores constantes nunca importam. Se $du = 2x\,dx$, mas o integrando só tem $x\,dx$, escreva $x\,dx = \tfrac12\,du$ e siga em frente. ## Exemplo resolvido 1: o padrão básico Calcule $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. **Passo 1. Escolha $u$.** A função de dentro é $x^2$, então faça $u = x^2$. **Passo 2. Encontre $du$.** $du = 2x\,dx$. **Passo 3. Reescreva.** O integrando é $\cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du$. **Passo 4. Integre.** $\int \cos u\,du = \sin u + C$. **Passo 5. Desfaça a substituição.** $$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$$ Confira derivando: a regra da cadeia dá $\cos(x^2)\cdot 2x$. Bate. ## Exemplo resolvido 2: ajustando uma constante Calcule $\int x(x^2+3)^4\,dx$. **Passo 1.** Faça $u = x^2 + 3$. **Passo 2.** $du = 2x\,dx$, então $x\,dx = \tfrac12\,du$. **Passo 3.** Substitua: $$\int (x^2+3)^4\,x\,dx = \int u^4 \cdot \tfrac12\,du = \tfrac12\int u^4\,du.$$ **Passo 4.** $\tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C$. **Passo 5.** $$\int x(x^2+3)^4\,dx = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C$$ Expandir $(x^2+3)^4$ também funcionaria, mas levaria muito mais tempo e abriria espaço para erros de conta. ## Exemplo resolvido 3: uma resposta com logaritmo Calcule $\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx$. **Passo 1.** Faça $u = e^x + 1$, o denominador. **Passo 2.** $du = e^x\,dx$, que é exatamente o numerador vezes $dx$. **Passo 3.** A integral vira $\int \frac{1}{u}\,du$. **Passo 4.** $\int \frac1u\,du = \ln|u| + C$. **Passo 5.** Como $e^x + 1 > 0$, o módulo pode sair: $$\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \ln(e^x+1) + C$$ ## Exemplo resolvido 4: quando sobra um x Calcule $\int x\sqrt{x+1}\,dx$. Faça $u = x + 1$, então $du = dx$. A raiz vira $\sqrt u$, mas ainda há um $x$ na frente. O truque: isole $x$ na substituição. Como $u = x+1$, temos $x = u - 1$. $$\int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\,u^{1/2}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$$ Integre cada potência: $$= \tfrac25 u^{5/2} - \tfrac23 u^{3/2} + C = \tfrac25 (x+1)^{5/2} - \tfrac23 (x+1)^{3/2} + C$$ Esse movimento de "isolar $x$" salva muitas substituições em que $u$ é linear. ## Exemplo resolvido: um logaritmo no numerador Calcule $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$. **Passo 1. Encontre o par.** A função $\ln x$ está ao quadrado, e sua derivada $\frac1x$ aparece como fator. Então faça $u = \ln x$. **Passo 2.** $du = \frac1x\,dx$. **Passo 3. Reescreva.** $\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du$. **Passo 4.** $\int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C$. **Passo 5.** $$\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$$ Reconhecer $\frac1x$ como a derivada de $\ln x$ é uma habilidade que vale a pena treinar por si só. Ela aparece o tempo todo, muitas vezes disfarçada de divisão por $x$. ## Sempre confira derivando Toda resposta de uma substituição pode ser verificada em segundos, porque derivá-la é só aplicar a regra da cadeia. Pegue a resposta do exemplo 2, $\frac{(x^2+3)^5}{10}$. Sua derivada é $$\frac{5(x^2+3)^4\cdot 2x}{10} = x(x^2+3)^4,$$ que é exatamente o integrando. Se a conferência produzir uma constante a mais ou a menos (digamos $2x(x^2+3)^4$), você sabe na hora que um $\tfrac12$ se perdeu. Criar esse hábito pega quase todo erro de fator constante antes que ele custe pontos. ## Substituição em integrais definidas: mudando os limites Numa integral definida, os limites $a$ e $b$ são valores de $x$. Quando você passa para $u$, eles precisam virar valores de $u$: $$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$ ### Exemplo resolvido 5: mudando os limites Calcule $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$. **Passo 1.** Faça $u = x^2 + 1$, então $du = 2x\,dx$. **Passo 2. Converta os limites.** Quando $x = 0$, $u = 0^2 + 1 = 1$. Quando $x = 1$, $u = 1^2 + 1 = 2$. **Passo 3. Reescreva e integre totalmente em $u$.** $$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ Não é preciso desfazer a substituição, porque os novos limites já pertencem a $u$. ```graph title: 'Área sob y = 2x(x² + 1)³ de x = 0 a x = 1' caption: 'A área sombreada é $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \frac{15}{4}$.' x: [-0.5, 1.3] y: [-2, 18] functions: - expr: 2x(x^2+1)^3 label: y = 2x(x² + 1)³ shade: {expr: 2x(x^2+1)^3, from: 0, to: 1} points: - [1, 16, '(1, 16)'] ``` ### Exemplo resolvido 6: uma integral definida trigonométrica Calcule $\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx$. Faça $u = \tan x$, então $du = \sec^2 x\,dx$. Novos limites: $\tan 0 = 0$ e $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. $$\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac12$$ > **Dica:** se preferir, você pode achar a antiderivada $\tfrac12\tan^2 x$ e depois substituir os limites originais em $x$. Você obtém o mesmo $\tfrac12$. Só nunca substitua limites em $x$ numa expressão em $u$. ## Quando a substituição falha A substituição é poderosa, mas não universal. Fique atento a estes sinais de que ela não vai funcionar: - **A derivada de $u$ não aparece.** Em $\int e^{x^2}\,dx$, fazer $u = x^2$ exige $2x\,dx$, mas não há $x$ no integrando. Você não pode inventar um. (Essa integral nem tem antiderivada elementar.) - **Um produto de funções sem relação.** $\int x e^x\,dx$ e $\int x\cos x\,dx$ não se simplificam com nenhuma substituição. Elas precisam de [integração por partes](/blog/integration-by-parts). - **Uma função racional com denominador fatorado.** $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$ se resolve com [frações parciais](/blog/partial-fractions). - **A raiz quadrada de um quadrático sem a derivada correspondente.** $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ pede [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution). Um teste útil: depois de substituir, se sobrar um $x$ que você não consegue reescrever usando $u$, sua escolha de $u$ está errada ou o método não se aplica. ## Erros comuns na substituição 1. **Esquecer de trocar o $dx$.** Escrever $\int \cos u\,dx$ é misturar variáveis. O $dx$ precisa virar $du$ (com a constante que for necessária). 2. **Ignorar um fator constante.** No exemplo 2, perder o $\tfrac12$ dá $\frac{(x^2+3)^5}{5}$, que é o dobro do certo. 3. **Usar os limites antigos.** No exemplo 5, calcular $\left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1$ dá $\tfrac14$ em vez de $\tfrac{15}{4}$. 4. **Não desfazer a substituição.** Em integrais indefinidas, a resposta final precisa estar em $x$. 5. **Esquecer o $+C$** nas integrais indefinidas. 6. **Tratar uma variável como constante.** Você pode tirar um $\tfrac12$ da integral, mas nunca um $x$. ## Resumo rápido | Padrão no integrando | Substituição | Resultado | | ------------------------------- | --------------- | ------------------------------- | | $(ax+b)^n$ | $u = ax+b$ | $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ | | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $u = g(x)$ | $\ln\lvert g(x)\rvert + C$ | | $e^{g(x)}g'(x)$ | $u = g(x)$ | $e^{g(x)} + C$ | | $[g(x)]^n g'(x)$, $n \ne -1$ | $u = g(x)$ | $\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ | | $\cos(g(x))\,g'(x)$ | $u = g(x)$ | $\sin(g(x)) + C$ | | $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx$ | $u = g(x)$ | $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ | ## Crie o hábito com prática Escolher $u$ parece chute no começo, mas depois de umas duas dúzias de exercícios você vai ver a função de dentro e sua derivada quase na hora. Faça a lição interativa abaixo: cada exercício confere sua resposta imediatamente e mostra onde a substituição deu errado, para o padrão se fixar. ## Perguntas frequentes ### O que é a integração por substituição, em palavras simples? A substituição é a regra da cadeia ao contrário. Você renomeia uma função de dentro como $u$, troca $g'(x)\,dx$ por $du$ e transforma uma integral bagunçada numa simples, como $\int u^4\,du$. No final, você coloca $g(x)$ de volta no lugar de $u$. ### Como saber o que escolher como u? Procure uma função dentro de outra função (dentro de uma potência, de uma raiz, de uma função trigonométrica, de uma exponencial ou de um denominador) cuja derivada também apareça como fator. Essa função de dentro geralmente é o $u$ certo. Fatores constantes não importam, porque você pode dividi-los. ### É preciso mudar os limites de integração na substituição? Se você mantiver a integral em termos de $u$ até o fim, sim: troque cada limite em $x$ por $u = g(\text{limite})$. A alternativa é achar a antiderivada, voltar para $x$ e então usar os limites originais. Os dois caminhos dão a mesma resposta. ### Quando a substituição não funciona? Ela falha quando a derivada do seu $u$ não está presente, de modo que os termos em $x$ que sobram não podem ser escritos em $u$. Por exemplo, $\int e^{x^2}\,dx$ não tem um fator $x$ para formar $du = 2x\,dx$. Produtos como $\int x e^x\,dx$ precisam de integração por partes. ### Substituição é o mesmo que regra da cadeia ao contrário? Sim. Derivar $F(g(x))$ dá $F'(g(x))\,g'(x)$ pela regra da cadeia, então integrar $F'(g(x))\,g'(x)$ devolve $F(g(x)) + C$. A substituição é só uma notação organizada para enxergar e desfazer esse padrão.