# Problemas de otimização em cálculo: método em 5 passos com exemplos

> Resolva problemas de otimização com um método confiável de 5 passos: caixa, cerca e lata resolvidos por completo, e como verificar as extremidades.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/problemas-de-otimizacao
Atualizado: 2026-09-08

## Pontos principais

- Otimizar significa encontrar o maior ou o menor valor de uma grandeza: escreva-a como função de uma variável e encontre onde a derivada é zero.
- Use a restrição (perímetro fixo, volume fixo, material fixo) para eliminar todas as variáveis menos uma.
- Sempre indique o domínio. Num intervalo fechado, compare a função nos pontos críticos e nas extremidades.
- Confirme o máximo ou mínimo com o teste da primeira ou da segunda derivada e responda à pergunta que foi feita de fato, com unidades.

Que dimensões dão a maior caixa, o maior terreno ou a lata mais barata? Esses são **problemas de otimização**, e é neles que as derivadas deixam de ser símbolos e começam a responder perguntas reais. No começo eles parecem difíceis, porque o cálculo é fácil, mas montar a função não é. Um método fixo de cinco passos elimina o chute.

## O que é um problema de otimização?

Um **problema de otimização** pede o valor máximo ou mínimo de alguma grandeza, sujeita a uma condição. A grandeza que você quer tornar a maior ou a menor possível é a **função objetivo**. A condição que limita suas escolhas é a **restrição**.

O fato-chave do cálculo é que uma função suave só pode atingir um máximo ou mínimo no interior de um intervalo onde sua derivada é zero (ou não existe), ou então numa extremidade:

$$f'(c) = 0 \quad\text{ou}\quad c \text{ é uma extremidade do domínio}$$

Então todo o trabalho é transformar um problema em palavras numa função de **uma** variável e depois encontrar e testar esses pontos candidatos.

## O método de 5 passos para problemas de otimização

1. **Desenhe e dê nomes.** Esboce a situação e rotule cada grandeza que varia com uma variável.
2. **Escreva o objetivo.** Escreva uma fórmula para a grandeza a maximizar ou minimizar. Ela costuma ter duas variáveis.
3. **Use a restrição para ficar com uma variável.** Isole uma variável na restrição e substitua. Indique o domínio: quais valores fazem sentido físico?
4. **Encontre os pontos críticos.** Derive, iguale a derivada a zero e resolva.
5. **Teste e responda.** Confirme o máximo ou mínimo (extremidades, teste da primeira derivada ou teste da segunda derivada) e responda exatamente à pergunta, com unidades.

## Exemplo resolvido 1: a maior caixa sem tampa

Uma folha quadrada de papelão tem 12 centímetros de lado. Você recorta quadrados iguais nos quatro cantos e dobra as laterais para formar uma caixa sem tampa. De que tamanho devem ser os quadrados para o volume ser máximo?

**Passo 1. Desenhe e dê nomes.** Seja $x$ o lado de cada quadrado recortado. Ele vira a altura da caixa. A base é um quadrado de lado $12 - 2x$, já que $x$ é retirado de cada ponta.

**Passo 2. Objetivo.** O volume é a área da base vezes a altura:

$$V = x(12 - 2x)^2$$

**Passo 3. Domínio.** Aqui a restrição já está embutida, então $V$ é função apenas de $x$. Não dá para recortar um quadrado negativo, nem mais do que metade do lado, então $0 \le x \le 6$.

**Passo 4. Pontos críticos.** Use a regra do produto e a regra da cadeia:

$$V' = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) = (12 - 2x)\big[(12 - 2x) - 4x\big] = (12 - 2x)(12 - 6x)$$

$V' = 0$ em $x = 6$ e $x = 2$.

**Passo 5. Teste.** Compare os pontos críticos e as extremidades: $V(0) = 0$, $V(6) = 0$ e $V(2) = 2\cdot 8^2 = 128$.

**Resposta:** recorte quadrados de 2 centímetros. A caixa mede 8 por 8 por 2 centímetros, com volume de 128 centímetros cúbicos.

```graph
title: 'Volume da caixa sem tampa V = x(12 - 2x)², máximo em x = 2'
caption: 'O volume é 0 nas duas extremidades e atinge o pico em $x = 2$, onde $V = 128$ centímetros cúbicos.'
x: [0, 6.2]
y: [-10, 150]
functions:
  - expr: x(12 - 2x)^2
    label: V = x(12 - 2x)²
points:
  - [2, 128, 'máx (2, 128)']
  - [0, 0, 'extremidade']
  - [6, 0, 'extremidade']
```

## Exemplo resolvido 2: cercando um terreno à beira de um rio

Um fazendeiro tem 600 metros de cerca para cercar um terreno retangular à beira de um rio reto. Não é preciso cerca ao longo do rio. Que dimensões dão a maior área?

**Passo 1. Desenhe e dê nomes.** Seja $x$ cada lado perpendicular ao rio e $y$ o lado paralelo a ele.

**Passo 2. Objetivo.** Área $A = xy$.

**Passo 3. Restrição.** A cerca cobre dois lados de comprimento $x$ e um de comprimento $y$: $2x + y = 600$, então $y = 600 - 2x$. Substitua:

$$A(x) = x(600 - 2x) = 600x - 2x^2, \qquad 0 \le x \le 300$$

**Passo 4. Pontos críticos.** $A'(x) = 600 - 4x = 0$ dá $x = 150$.

**Passo 5. Teste.** $A''(x) = -4 < 0$, então o gráfico tem concavidade para baixo e $x = 150$ é um máximo. As extremidades dão $A(0) = A(300) = 0$, o que confirma.

**Resposta:** os lados perpendiculares ao rio medem 150 metros e o lado ao longo do rio mede $600 - 300 = 300$ metros, para uma área máxima de $45{,}000$ metros quadrados.

Repare que a resposta não é um quadrado. Como o rio economiza um lado de cerca, compensa fazer o lado paralelo duas vezes mais comprido.

## Exemplo resolvido 3: a lata que usa menos metal

Uma lata cilíndrica fechada precisa comportar 1000 centímetros cúbicos. Que raio e que altura minimizam a área da sua superfície?

**Passo 1. Desenhe e dê nomes.** Raio $r$ e altura $h$, ambos em centímetros.

**Passo 2. Objetivo.** A superfície é formada pelas duas tampas circulares mais a lateral:

$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$

**Passo 3. Restrição.** O volume é fixo: $\pi r^2 h = 1000$, então $h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$. Substitua:

$$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}, \qquad r > 0$$

**Passo 4. Pontos críticos.**

$$S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{500}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42$$

**Passo 5. Teste.** O domínio $r > 0$ não tem extremidades, então use a segunda derivada: $S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0$ para todo $r > 0$. A curva tem concavidade para cima em toda parte, então esse ponto crítico é o mínimo absoluto.

Para a altura, use $\pi r^3 = 500$: $h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84$.

**Resposta:** $r \approx 5.42$ cm e $h \approx 10.84$ cm, cerca de $554$ centímetros quadrados de metal. A melhor lata é exatamente tão alta quanto larga.

```graph
title: 'Área da superfície de uma lata de 1000 cm³, S(r) = 2πr² + 2000/r, mínima perto de r = 5,42'
caption: 'Raios pequenos dão uma lata alta e fina, e raios grandes dão uma lata larga e achatada. As duas desperdiçam metal; o mínimo está em $r = \sqrt[3]{500/\pi} \approx 5.42$.'
x: [0, 12]
y: [0, 1500]
functions:
  - expr: 2pi x^2 + 2000/x
    label: S(r) = 2πr² + 2000/r
points:
  - [5.419, 553.6, 'mín (5.42, 554)']
```

## Por que verificar as extremidades importa

A derivada só encontra **pontos de virada**. Se o domínio for um intervalo fechado, o melhor valor pode estar numa borda onde a derivada nem é zero.

Encontre o máximo e o mínimo de $f(x) = x^3 - 3x$ em $[0, 3]$.

- $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ dá $x = \pm 1$. Só $x = 1$ está no intervalo.
- Calcule todos os candidatos: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(3) = 27 - 9 = 18$.

O mínimo é $-2$ em $x = 1$, mas o máximo é $18$ na **extremidade** $x = 3$. Só igualar a derivada a zero teria deixado isso passar por completo. Essa comparação entre pontos críticos e extremidades se chama **método do intervalo fechado**.

> **Dica:** se o domínio for aberto (como $r > 0$ na lata), não há extremidades para verificar. Use o teste da segunda derivada, ou mostre que a função decresce e depois cresce, para provar que o ponto crítico é o melhor absoluto. Veja [esboço de gráficos com derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) para os dois testes.

## Erros comuns em problemas de otimização

1. **Derivar com duas variáveis.** Você precisa usar a restrição para eliminar uma variável antes de derivar.
2. **Pular o domínio.** Sem ele você não consegue verificar as extremidades nem descartar respostas impossíveis como $x = 6$ no problema da caixa.
3. **Supor que o ponto crítico é um máximo.** Pode ser um mínimo. Sempre teste.
4. **Responder à pergunta errada.** Se a questão pede a área máxima, $x = 150$ não é a resposta; $45{,}000$ metros quadrados é.
5. **Esquecer as unidades.** Uma resposta "2" está incompleta. Escreva "quadrados de 2 centímetros".
6. **Deslizes algébricos na restrição.** No problema da cerca, escrever $2x + 2y = 600$ cerca também o lado do rio. Leia o enunciado com atenção.

## Resumo rápido

| Problema     | Objetivo               | Restrição              | Função de uma variável           | Resposta                |
| ------------ | ---------------------- | ---------------------- | -------------------------------- | ----------------------- |
| Caixa sem tampa | $V = x(12-2x)^2$    | embutida               | $V(x)$, $0 \le x \le 6$          | $x = 2$, $V = 128$      |
| Cerca no rio | $A = xy$               | $2x + y = 600$         | $A = 600x - 2x^2$                | $150 \times 300$        |
| Lata         | $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ | $\pi r^2 h = 1000$   | $S = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$  | $h = 2r \approx 10.84$  |
| Intervalo fechado | $f(x)$            | $a \le x \le b$        | compare $f$ nos pontos críticos e nas extremidades | maior e menor valores |

## Ganhe confiança praticando

Otimização recompensa a repetição mais do que quase qualquer outro tema, porque a parte difícil é a montagem, e as montagens seguem um punhado de padrões. A lição interativa abaixo conduz você por cada passo com feedback imediato, para você aprender a identificar rapidamente o objetivo, a restrição e o domínio antes de o relógio da prova começar a correr.

## Perguntas frequentes

### Como resolver problemas de otimização em cálculo?

Faça um desenho e dê nome às variáveis, escreva a grandeza a otimizar, use a restrição para reduzi-la a uma variável, encontre os pontos críticos igualando a derivada a zero e verifique se o ponto crítico dá máximo ou mínimo (incluindo as extremidades). Depois responda à pergunta por extenso, com unidades.

### Qual é a diferença entre a função objetivo e a restrição?

A função objetivo é a grandeza que você quer tornar a maior ou a menor possível, como uma área ou um custo. A restrição é a condição fixa que amarra as variáveis, como uma quantidade dada de cerca ou um volume exigido.

### Por que é preciso verificar as extremidades?

Num intervalo fechado, o maior ou o menor valor pode ocorrer numa extremidade, onde a derivada não precisa ser zero. O método do intervalo fechado compara todos os pontos críticos e as duas extremidades, e o maior valor vence.

### Como saber se um ponto crítico é máximo ou mínimo?

Use o teste da segunda derivada: se $f''(c) < 0$ o ponto é um máximo local, e se $f''(c) > 0$ é um mínimo local. Ou use o teste da primeira derivada e verifique se $f'$ passa de positiva para negativa (máximo) ou de negativa para positiva (mínimo).

### Qual formato de lata usa menos metal?

Para um cilindro fechado com volume fixo, a área da superfície é mínima quando a altura é igual ao diâmetro, $h = 2r$. As latas reais costumam ser mais altas por causa dos custos de fabricação e de como cabem nas prateleiras.