# Regra da cadeia: como funciona, com exemplos resolvidos > Aprenda a regra da cadeia passo a passo: o que ela diz, por que funciona, como achar a função de dentro e exemplos com potências, trigonometria, e^x e ln. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/regra-da-cadeia Atualizado: 2026-11-03 ## Pontos principais - A regra da cadeia deriva uma função dentro de outra função: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - Trabalhe de fora para dentro: derive a função de fora, mantenha a de dentro intacta e multiplique pela derivada da função de dentro. - Se você consegue apontar uma função de dentro que não é apenas $x$, precisa da regra da cadeia. - O erro mais comum é esquecer de multiplicar pela derivada da função de dentro. A regra da potência resolve $x^5$ em uma linha. Mas e $(3x+1)^5$? Expandir tomaria uma página inteira de álgebra. A **regra da cadeia** chega lá em um único passo, e é a regra que você mais vai usar em todo o cálculo. Este guia explica o que a regra da cadeia diz, por que ela funciona, como encontrar a função "de dentro" e apresenta exemplos resolvidos que você pode acompanhar linha por linha. ## O que a regra da cadeia diz Uma **função composta** é uma função colocada dentro de outra, escrita como $f(g(x))$. Chamamos $g$ de função **de dentro** e $f$ de função **de fora**. A regra da cadeia diz: $$\frac{d}{dx}\, f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ Leia como uma receita: 1. Derive a função **de fora**, mas deixe a de dentro exatamente como está. 2. Multiplique pela derivada da função **de dentro**. Essa é a regra inteira. Todo o resto é prática para identificar qual parte está dentro. Na notação de Leibniz, se $y = f(u)$ e $u = g(x)$, a mesma regra fica $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ o que parece um cancelamento de frações. Não são frações de verdade, mas é um ótimo jeito de memorizar. ## Por que funciona: taxas se multiplicam Imagine três engrenagens. A engrenagem $u$ dá 3 voltas a cada volta da engrenagem $x$. A engrenagem $y$ dá 2 voltas a cada volta da engrenagem $u$. Quantas voltas $y$ dá a cada volta de $x$? Seis: $2 \cdot 3$. Derivadas são taxas de variação, e taxas de variação em cadeia se multiplicam exatamente da mesma forma. É só isso que a regra da cadeia diz: a taxa da cadeia inteira é o produto das taxas de cada elo. ```graph title: "O gráfico de sen(x²) oscila cada vez mais rápido conforme x cresce, porque a função de dentro x² cresce mais rápido" caption: "$y = \\sin(x^2)$ oscila cada vez mais rápido. Sua inclinação é $2x\\cos(x^2)$: o fator extra $2x$ vem da função de dentro." x: [-3.2, 3.2] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x^2) label: y = sen(x²) ``` O gráfico mostra por que a função de dentro importa. Se você derivasse $\sin(x^2)$ como apenas $\cos(x^2)$, a inclinação nunca passaria de 1. Mas a curva claramente fica mais íngreme quanto mais você se afasta do 0. É o fator $2x$ vindo de dentro que captura isso. ## Como encontrar a função de dentro Pergunte a si mesmo: **o que eu calcularia por último** se estivesse avaliando isso numa calculadora? Essa última operação é a função de fora. Aquilo sobre o que ela age é a função de dentro. | Função | De fora | De dentro | | -------------- | ---------- | --------- | | $(3x+1)^5$ | $u^5$ | $3x + 1$ | | $\sin(x^2)$ | $\sin u$ | $x^2$ | | $e^{4x}$ | $e^u$ | $4x$ | | $\sqrt{x^2+9}$ | $\sqrt{u}$ | $x^2 + 9$ | | $\ln(\cos x)$ | $\ln u$ | $\cos x$ | Um teste rápido: se a função de dentro é apenas $x$, você não precisa da regra da cadeia (a derivada de dentro seria 1). No momento em que a função de dentro é qualquer coisa a mais, você precisa. ## Exemplo resolvido 1: potência de um polinômio Derive $y = (3x+1)^5$. **Passo 1. Identifique as partes.** De fora: $u^5$. De dentro: $u = 3x+1$. **Passo 2. Derive a de fora, mantenha a de dentro.** A derivada de $u^5$ é $5u^4$, então obtemos $5(3x+1)^4$. **Passo 3. Multiplique pela derivada de dentro.** A derivada de $3x + 1$ é $3$. $$\frac{dy}{dx} = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ Repare que em nenhum momento expandimos $(3x+1)^5$. Essa é a força da regra da cadeia. ## Exemplo resolvido 2: uma função trigonométrica Derive $y = \sin(x^2)$. - De fora: $\sin u$, com derivada $\cos u$. - De dentro: $u = x^2$, com derivada $2x$. $$\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ Um deslize comum é escrever $\cos(2x)$. A função de dentro continua sendo $x^2$ dentro do cosseno. O $2x$ fica do lado de fora, como fator. ## Exemplo resolvido 3: exponenciais e logaritmos Derive $y = e^{4x}$. A derivada de $e^u$ é o próprio $e^u$, então a parte de fora fica $e^{4x}$. A função de dentro $4x$ tem derivada $4$: $$\frac{dy}{dx} = 4e^{4x}$$ Agora derive $y = \ln(x^2 + 1)$. A derivada de $\ln u$ é $\frac{1}{u}$, e a função de dentro $x^2+1$ tem derivada $2x$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$$ ```graph title: "O gráfico de ln(x² + 1) com sua reta tangente em x = 1" caption: "Em $x = 1$, a inclinação de $\\ln(x^2+1)$ é $\\frac{2(1)}{1^2+1} = 1$, então a reta tangente é $y = x - 1 + \\ln 2$." x: [-4, 4] y: [-1.5, 3.5] functions: - expr: ln(x^2+1) label: y = ln(x² + 1) - expr: x - 1 + ln(2) label: tangente em x = 1 dashed: true points: - [1, 0.6931, "(1, ln 2)"] ``` ## Exemplo resolvido 4: uma raiz quadrada Derive $y = \sqrt{x^2 + 9}$. Primeiro reescreva a raiz como potência: $y = (x^2+9)^{1/2}$. Depois: $$\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ Reescrever raízes como potências fracionárias deixa a regra da cadeia (e a regra da potência) muito mais fácil de aplicar. ## Usando a regra da cadeia mais de uma vez Algumas funções têm várias camadas, como uma cebola. Descasque uma de cada vez, de fora para dentro, e multiplique todas as derivadas. Derive $y = \sin^3(2x)$, que significa $\left(\sin(2x)\right)^3$. 1. Camada mais externa, o cubo: $3\sin^2(2x)$. 2. Camada do meio, o seno: $\cos(2x)$. 3. Camada mais interna, $2x$: $2$. $$\frac{dy}{dx} = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$$ > **Dica:** diga as camadas em voz alta. "Cubo do seno de dois x." Depois derive nessa mesma ordem. ## Regra da cadeia com a regra do produto Muitos problemas reais misturam regras. Derive $y = x^2 \sin(3x)$. Isso é um produto, então comece pela regra do produto, $(uv)' = u'v + uv'$, e use a regra da cadeia dentro dela para $\sin(3x)$: $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x)$$ A regra da cadeia apareceu em um só lugar: a derivada de $\sin(3x)$ é $3\cos(3x)$. ## Erros comuns com a regra da cadeia Estes são os deslizes que o nosso corretor de respostas mais vê, em ordem: 1. **Esquecer a derivada de dentro.** Escrever $\frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4$. O fator $3$ que falta é, de longe, o erro mais comum com a regra da cadeia. 2. **Alterar a função de dentro.** Escrever $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x)$. A função de dentro continua a mesma dentro da derivada de fora. 3. **Aplicar quando não é necessário.** $\frac{d}{dx}\sin x$ é simplesmente $\cos x$. Não há fator extra porque a função de dentro é apenas $x$. 4. **Parar uma camada antes.** Em $\sin^3(2x)$, é fácil esquecer o fator final $2$. Um bom hábito: quando terminar, conte as camadas e confira se você tem um fator de derivada para cada uma. ## Referência rápida | Função | Derivada | | ------------- | ---------------------------- | | $(g(x))^n$ | $n(g(x))^{n-1}\, g'(x)$ | | $\sin(g(x))$ | $\cos(g(x))\, g'(x)$ | | $\cos(g(x))$ | $-\sin(g(x))\, g'(x)$ | | $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)}\, g'(x)$ | | $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | | $\sqrt{g(x)}$ | $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ | ## A prática torna tudo automático A regra da cadeia faz sentido de vez com repetição. Depois de fazer vinte ou trinta exercícios, você vai identificar a função de dentro sem pensar. Experimente a lição interativa abaixo: cada questão dá feedback imediato, aponta exatamente qual fator você esqueceu e mostra a resolução passo a passo. ## Perguntas frequentes ### O que é a regra da cadeia, em palavras simples? A regra da cadeia diz que, para derivar uma função dentro de outra, você calcula a derivada da função de fora (sem mexer na de dentro) e multiplica pela derivada da função de dentro. Em símbolos, $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ### Como saber quando usar a regra da cadeia? Use sempre que algo diferente de um simples $x$ estiver dentro de uma função: dentro de uma potência, de uma raiz, de uma função trigonométrica, de uma exponencial ou de um logaritmo. Por exemplo, $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ e $e^{4x}$ precisam da regra da cadeia, mas $x^5$, $\sin x$ e $e^x$ não. ### Qual é a diferença entre a regra da cadeia e a regra do produto? A regra do produto serve para duas funções multiplicadas, como $x^2 \sin x$. A regra da cadeia serve para uma função dentro de outra, como $\sin(x^2)$. Algumas funções precisam das duas, como $x^2 \sin(3x)$. ### Dá para usar a regra da cadeia mais de uma vez? Sim. Se houver várias camadas, como em $\sin^3(2x)$, aplique a regra uma vez por camada e multiplique todas as derivadas, sempre de fora para dentro. ### Por que a regra da cadeia funciona? Taxas de variação se multiplicam. Se $u$ varia 3 vezes mais rápido que $x$, e $y$ varia 2 vezes mais rápido que $u$, então $y$ varia $2 \cdot 3 = 6$ vezes mais rápido que $x$. Na notação de Leibniz, isso é $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.