# Regra da potência para derivadas: regras, exemplos e truques

> Domine a regra da potência: como funciona, expoentes negativos e fracionários, como reescrever raízes e frações, e as regras da soma e da constante.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/regra-da-potencia
Atualizado: 2026-08-17

## Pontos principais

- A regra da potência diz que $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$: desça o expoente e depois subtraia um dele.
- Ela vale para qualquer expoente real, incluindo números negativos e frações.
- Reescreva raízes e frações como potências primeiro: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
- Constantes multiplicam por fora, somas se derivam termo a termo e a derivada de uma constante é $0$.

Calcular derivadas pela definição por limite significa uma página de álgebra para cada função. A **regra da potência** substitui tudo isso por um atalho de uma linha e, junto com duas regras companheiras simples, permite derivar qualquer polinômio, raiz ou potência de $x$ em segundos. É a primeira regra que você aprende e a que você mais vai usar.

## O que é a regra da potência?

A regra da potência dá a derivada de $x$ elevado a uma potência constante:

$$\frac{d}{dx}\, x^n = n x^{n-1}$$

Em palavras: **desça o expoente para a frente e depois subtraia um do expoente.**

$$\frac{d}{dx} x^5 = 5x^4 \qquad \frac{d}{dx} x^2 = 2x \qquad \frac{d}{dx} x = 1$$

A regra vale para qualquer número real $n$: inteiros positivos, números negativos e frações. A única exigência é que a variável esteja na base e o expoente seja uma constante.

## Por que a regra da potência funciona

Para um inteiro positivo $n$, dá para ver o padrão a partir da [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative). Expandir $(x + h)^n$ dá

$$(x + h)^n = x^n + n x^{n-1} h + (\text{termos com } h^2 \text{ ou mais})$$

Então

$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1} + (\text{termos com } h \text{ ou mais})$$

e, quando $h \to 0$, tudo some exceto $n x^{n-1}$. Essa é a regra da potência. Para $n = 2$, é exatamente a conta conhecida $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, que dá $2x$. A demonstração para expoentes negativos e fracionários usa outras ferramentas, mas a regra continua a mesma.

## As regras da constante, da constante multiplicativa e da soma

A regra da potência raramente aparece sozinha. Três regras companheiras permitem combiná-la com coeficientes e vários termos.

| Regra | Fórmula | Exemplo |
| --- | --- | --- |
| Regra da constante | $\frac{d}{dx} c = 0$ | $\frac{d}{dx} 7 = 0$ |
| Regra da constante multiplicativa | $\frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x)$ | $\frac{d}{dx} 4x^3 = 12x^2$ |
| Regra da soma e da diferença | $\frac{d}{dx} [f \pm g] = f' \pm g'$ | $\frac{d}{dx} (x^2 + x) = 2x + 1$ |

A regra da constante diz que uma reta horizontal tem inclinação $0$. A regra da constante multiplicativa diz que esticar um gráfico verticalmente por $c$ multiplica todas as inclinações por $c$. A regra da soma diz que você pode derivar um polinômio um termo de cada vez.

## Exemplo resolvido 1: um polinômio

Derive $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$.

**Passo 1. Separe em termos.** Pela regra da soma, derive cada termo separadamente.

**Passo 2. Aplique a regra da potência com as constantes multiplicativas.**

- $3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$
- $-5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x$
- $7x \to 7 \cdot 1 = 7$
- $-2 \to 0$

**Passo 3. Junte tudo.**

$$f'(x) = 12x^3 - 10x + 7$$

## Expoentes negativos: reescrevendo frações

Uma potência de $x$ no denominador é um expoente negativo disfarçado:

$$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$$

Reescreva primeiro e depois aplique a regra da potência. Preste muita atenção ao subtrair um: o expoente fica **mais** negativo.

### Exemplo resolvido 2: uma fração com coeficiente

Derive $y = \frac{4}{x^3}$.

**Passo 1. Reescreva como potência.** $y = 4x^{-3}$.

**Passo 2. Aplique a regra da potência.** Desça o $-3$ e subtraia um: $-3 - 1 = -4$.

$$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot (-3) x^{-4} = -12x^{-4}$$

**Passo 3. Reescreva sem expoentes negativos** (opcional, mas geralmente esperado).

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{12}{x^4}$$

Vale memorizar um caso especial: $\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$, o mesmo resultado que a definição por limite dá.

> **Dica:** repare onde o coeficiente está. $\frac{1}{3x^2}$ é $\frac{1}{3}x^{-2}$, mas $\frac{3}{x^2}$ é $3x^{-2}$. Só a potência de $x$ sobe para o numerador como expoente negativo.

## Expoentes fracionários: reescrevendo raízes

Raízes são potências fracionárias:

$$\sqrt{x} = x^{1/2} \qquad \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \qquad \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$$

### Exemplo resolvido 3: uma raiz quadrada

Derive $y = \sqrt{x}$.

**Passo 1. Reescreva.** $y = x^{1/2}$.

**Passo 2. Aplique a regra da potência.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, então

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

### Exemplo resolvido 4: a raiz de uma potência

Derive $y = \sqrt[3]{x^2}$.

**Passo 1. Reescreva.** $y = x^{2/3}$.

**Passo 2. Aplique a regra da potência.** $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$, então

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Repare que a derivada não está definida em $x = 0$. O gráfico de $x^{2/3}$ tem uma cúspide ali.

## Exemplo resolvido 5: simplifique antes de derivar

Derive $y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}$.

Você poderia usar a [regra do quociente](/blog/product-and-quotient-rules), mas separar a fração é mais rápido.

**Passo 1. Separe em termos.**

$$y = \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}}$$

**Passo 2. Subtraia os expoentes.** $x^{2 - 1/2} = x^{3/2}$, então

$$y = x^{3/2} + x^{-1/2}$$

**Passo 3. Aplique a regra da potência a cada termo.**

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2}$$

**Passo 4. Reescreva com raízes** (opcional).

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

O mesmo truque funciona com produtos: expanda $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ e derive para obter $8x + 4$.

## Juntando tudo

Derive $y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9$.

**Passo 1. Reescreva cada termo como potência de $x$.**

$$y = 6x^{5/3} - 2x^{-1} + 9$$

**Passo 2. Aplique a regra da potência termo a termo.** No primeiro termo, $\frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$. No segundo, $-1 - 1 = -2$. A constante $9$ vira $0$.

$$\frac{dy}{dx} = 6 \cdot \frac{5}{3} x^{2/3} - 2 \cdot (-1) x^{-2} = 10x^{2/3} + 2x^{-2}$$

**Passo 3. Reescreva na forma de raiz e fração.**

$$\frac{dy}{dx} = 10\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{x^2}$$

Repare como os dois sinais de menos do termo do meio se combinaram num mais. Escorregões de sinal como esse são o principal ponto de atenção depois que você já domina a regra em si.

## Exemplo resolvido 6: uma reta tangente

Encontre a equação da reta tangente a $y = x^3$ em $x = 2$.

**Passo 1. Encontre o ponto.** $y(2) = 2^3 = 8$, então o ponto é $(2, 8)$.

**Passo 2. Encontre a inclinação.** $\frac{dy}{dx} = 3x^2$, então a inclinação em $x = 2$ é $3(2)^2 = 12$.

**Passo 3. Use a forma ponto-inclinação.**

$$y - 8 = 12(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad y = 12x - 16$$

```graph
title: 'Gráfico de y = x³ com sua reta tangente y = 12x − 16 no ponto (2, 8)'
caption: 'Pela regra da potência, a inclinação de $y = x^3$ em $x = 2$ é $3(2)^2 = 12$, o que dá a reta tangente $y = 12x - 16$.'
x: [-3, 3.5]
y: [-12, 20]
functions:
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: 12x - 16
    label: tangente em x = 2
    dashed: true
points:
  - [2, 8, '(2, 8)']
```

## Derivadas de ordem superior com a regra da potência

Como a derivada de um polinômio é outro polinômio, você pode aplicar a regra da potência de novo e de novo. A **segunda derivada** $f''(x)$ é a derivada de $f'(x)$ e mede como a própria inclinação está mudando (a concavidade).

### Exemplo resolvido 7: primeira, segunda e terceira derivadas

Encontre $f'$, $f''$ e $f'''$ para $f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x$.

**Passo 1. Primeira derivada.** Aplique a regra da potência termo a termo:

$$f'(x) = 10x^4 - 3x^2 + 4$$

**Passo 2. Segunda derivada.** Derive $f'$. A constante $4$ desaparece:

$$f''(x) = 40x^3 - 6x$$

**Passo 3. Terceira derivada.**

$$f'''(x) = 120x^2 - 6$$

Cada rodada diminui todos os expoentes em um, então um polinômio de grau $n$ vira $0$ depois de $n + 1$ derivadas.

## A regra da potência como taxa de variação

Derivadas são taxas, então a regra da potência transforma fórmulas de posição em fórmulas de velocidade na hora. Suponha que a altura de uma bola, em metros, depois de $t$ segundos seja

$$s(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

A variável é $t$ em vez de $x$, mas a regra é a mesma. A velocidade é

$$v(t) = s'(t) = -10t + 20$$

e a aceleração é $a(t) = v'(t) = -10$ metros por segundo ao quadrado. Fazer $v(t) = 0$ dá $t = 2$, o instante em que a bola para de subir, a uma altura de $s(2) = -20 + 40 + 2 = 22$ metros. Todas essas respostas vieram da regra da potência e de mais nada.

## Erros comuns com a regra da potência

1. **Subtrair um errado com expoentes negativos.** $\frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}$. Ir de $-3$ para $-2$ é o erro mais comum.
2. **Derivar uma fração pedaço por pedaço.** $\frac{d}{dx} \frac{1}{x^3}$ não é $\frac{1}{3x^2}$. Reescreva como $x^{-3}$ primeiro.
3. **Esquecer que constantes viram $0$.** A derivada de $-2$, $\pi^2$ ou $e^3$ é $0$, não a própria constante.
4. **Aplicar a regra da potência a exponenciais.** $\frac{d}{dx} 2^x$ não é $x \cdot 2^{x-1}$. A variável está no expoente, então a regra da potência não se aplica.
5. **Usá-la na potência de algo diferente de $x$.** $\frac{d}{dx} (3x+1)^5$ precisa da [regra da cadeia](/blog/chain-rule), que acrescenta um fator $3$.
6. **Mover um coeficiente junto com a potência.** $\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}$, não $5^{-1}x^{-2}$.

## Resumo rápido

| Função | Reescreva como | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $x^n$ | $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $c$ (constante) | | $0$ |
| $x$ | $x^1$ | $1$ |
| $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-\frac{2}{x^3}$ |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ |
| $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ |

## Pratique até ficar automático

A regra da potência em si é fácil. A habilidade que exige prática é a de reescrever: transformar raízes e frações em potências e lidar com expoentes negativos e fracionários sem escorregar. A lição interativa abaixo traz um fluxo constante de exercícios, confere cada resposta na hora e mostra exatamente qual expoente saiu errado. Uma sessão curta hoje vai deixar todas as derivadas seguintes mais rápidas.

## Perguntas frequentes

### O que é a regra da potência em cálculo?

A regra da potência diz que a derivada de $x^n$ é $n x^{n-1}$. Desça o expoente para a frente como coeficiente e depois diminua o expoente em um. Por exemplo, a derivada de $x^5$ é $5x^4$.

### A regra da potência funciona com expoentes negativos?

Sim. Por exemplo, $\frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}$. Cuidado ao subtrair um de um expoente negativo: $-3 - 1 = -4$, não $-2$.

### Como usar a regra da potência numa raiz quadrada?

Reescreva a raiz como uma potência fracionária e aplique a regra. $\sqrt{x} = x^{1/2}$, então sua derivada é $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

### Qual é a derivada de uma constante?

A derivada de qualquer constante é $0$, porque uma função constante é uma reta horizontal com inclinação $0$. Isso inclui constantes como $7$, $\pi^2$ e $e^3$.

### Dá para usar a regra da potência em e^x ou 2^x?

Não. A regra da potência precisa da variável na base e de uma constante no expoente, como em $x^2$. Em $e^x$ e $2^x$ a variável está no expoente, então elas usam as regras das exponenciais: $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ e $\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln 2$.