# Regras do produto e do quociente: fórmulas, macetes e exemplos

> Aprenda a regra do produto e a regra do quociente passo a passo, com macetes fáceis, quando simplificar antes e exemplos de derivadas totalmente resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/regra-do-produto-e-do-quociente
Atualizado: 2026-08-15

## Pontos principais

- A regra do produto é $(uv)' = u'v + uv'$: derive um fator de cada vez e some os resultados.
- A regra do quociente é $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, lembrada como "derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo, sobre o de baixo ao quadrado".
- A derivada de um produto não é o produto das derivadas, e o mesmo vale para quocientes.
- Simplifique antes quando puder: dividir por um monômio ou reescrever $\frac{5}{x^2}$ como $5x^{-2}$ muitas vezes elimina por completo a necessidade da regra do quociente.

Você sabe derivar $x^3$ e sabe derivar $\sin x$. Mas qual é a derivada de $x^3 \sin x$, ou de $\frac{x^2+1}{x-1}$? Dá vontade de derivar cada pedaço e multiplicar ou dividir os resultados, e isso dá a resposta errada todas as vezes. A **regra do produto** e a **regra do quociente** são as ferramentas certas, e depois que você pega os padrões elas levam segundos.

## O que são as regras do produto e do quociente?

A **regra do produto** é a fórmula da derivada de duas funções multiplicadas. A **regra do quociente** é a fórmula da derivada de uma função dividida por outra. Ambas são atalhos que vêm da [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), então você nunca precisa voltar aos limites para um produto ou uma fração.

Escreva $u$ e $v$ para duas funções diferenciáveis de $x$, e $u'$ e $v'$ para suas derivadas.

**Regra do produto:**

$$\frac{d}{dx}\big(uv\big) = u'v + uv'$$

**Regra do quociente:**

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Repare que nenhuma das regras é "multiplique as derivadas" ou "divida as derivadas". Por exemplo, $\frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x$, mas multiplicar as derivadas daria $1 \cdot 1 = 1$. As regras existem justamente porque o palpite ingênuo falha.

## Macetes para não esquecer

Para a regra do produto, diga: **"derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda."** Como a soma não depende da ordem, você também pode escrever $uv' + u'v$. De qualquer forma, cada termo tem exatamente uma derivada.

Para a regra do quociente, o macete clássico é:

> **Dica:** "Derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo, sobre o de baixo ao quadrado." Aqui "de cima" é o numerador $u$ e "de baixo" é o denominador $v$. Ou seja: $v \cdot u'$ menos $u \cdot v'$, tudo sobre $v^2$.

A ordem na regra do quociente importa por causa do sinal de menos. Comece sempre pela derivada **de cima**. Se você trocar os dois termos, sua resposta sai com o sinal errado.

## Por que a regra do produto funciona

Imagine um retângulo de lados $u$ e $v$, então sua área é $uv$. Agora mexa um pouquinho em $x$. O lado $u$ cresce uma pequena quantidade $\Delta u$ e o lado $v$ cresce $\Delta v$. A nova área ganha três pedaços: uma faixa de tamanho $\Delta u \cdot v$, uma faixa de tamanho $u \cdot \Delta v$ e um cantinho $\Delta u \cdot \Delta v$.

Divida por $\Delta x$ e faça $\Delta x \to 0$. As duas faixas viram $u'v$ e $uv'$. O canto encolhe até zero muito mais rápido que as faixas, então desaparece. O que sobra é exatamente $u'v + uv'$. A área muda porque *os dois* lados mudam, e cada lado contribui com sua própria faixa.

## Exemplo resolvido 1: um polinômio vezes uma função trigonométrica

Derive $y = x^3 \sin x$.

**Passo 1. Dê nome aos fatores.** $u = x^3$ e $v = \sin x$.

**Passo 2. Derive cada fator.** $u' = 3x^2$ e $v' = \cos x$.

**Passo 3. Substitua em $u'v + uv'$.**

$$y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$$

**Passo 4. Fatore se ajudar.** Colocando $x^2$ em evidência, $y' = x^2(3\sin x + x\cos x)$. As duas formas estão corretas.

## Exemplo resolvido 2: conferindo a regra num produto de polinômios

Derive $y = (2x+1)(x^2-3)$.

**Passo 1.** $u = 2x + 1$, então $u' = 2$. E $v = x^2 - 3$, então $v' = 2x$.

**Passo 2. Aplique a regra do produto.**

$$y' = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x)$$

**Passo 3. Simplifique.**

$$y' = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$$

**Confira expandindo primeiro.** $(2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$, cuja derivada é $6x^2 + 2x - 6$. A mesma resposta. Com dois polinômios, expandir e usar a [regra da potência](/blog/power-rule) costuma ser igualmente rápido. A regra do produto mostra seu valor quando os fatores não podem ser multiplicados, como em $x^3 \sin x$ ou $x^2 e^x$.

## Exemplo resolvido 3: onde um produto tem tangente horizontal

Encontre onde $y = x^2 e^x$ tem reta tangente horizontal.

**Passo 1.** $u = x^2$, $u' = 2x$, $v = e^x$, $v' = e^x$.

**Passo 2. Aplique a regra do produto.**

$$y' = 2x e^x + x^2 e^x$$

**Passo 3. Fatore.** Os dois termos têm $x e^x$ em comum:

$$y' = x e^x (x + 2)$$

**Passo 4. Iguale a zero.** Como $e^x$ nunca é zero, $y' = 0$ só quando $x = 0$ ou $x = -2$. Os pontos são $(0, 0)$ e $(-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54)$.

```graph
title: 'Gráfico de y = x² eˣ com tangentes horizontais em x = -2 e x = 0'
caption: 'A derivada $x e^x (x+2)$ é zero em $x = -2$ (um máximo local) e em $x = 0$ (um mínimo local).'
x: [-6, 1.5]
y: [-0.5, 3]
functions:
  - expr: x^2 e^x
    label: y = x² eˣ
points:
  - [-2, 0.5413, '(-2, 4/e²)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

Fatorar a derivada é o hábito que compensa aqui. Uma derivada fatorada mostra seus zeros num relance.

## Exemplo resolvido 4: a regra do quociente com polinômios

Derive $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$.

**Passo 1. Dê nome ao de cima e ao de baixo.** De cima: $u = x^2 + 1$, então $u' = 2x$. De baixo: $v = x - 1$, então $v' = 1$.

**Passo 2. Derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo.**

$$y' = \frac{(x-1)(2x) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}$$

**Passo 3. Expanda só o numerador.**

$$(x-1)(2x) - (x^2 + 1) = 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$$

**Passo 4. Escreva a resposta.** Deixe o denominador ao quadrado; expandi-lo raramente ajuda.

$$y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$

Em $x = 2$, a função vale $\frac{5}{1} = 5$ e a inclinação é $\frac{4 - 4 - 1}{1} = -1$, então a reta tangente ali é $y = -x + 7$.

```graph
title: 'Gráfico de y = (x² + 1)/(x - 1) com sua reta tangente em x = 2'
caption: 'Em $x = 2$, a regra do quociente dá inclinação $-1$, então a reta tangente é $y = -x + 7$. A curva tem uma assíntota vertical em $x = 1$.'
x: [-4, 6]
y: [-10, 14]
functions:
  - expr: (x^2+1)/(x-1)
    label: y = (x² + 1)/(x - 1)
  - expr: -x + 7
    label: tangente em x = 2
    dashed: true
points:
  - [2, 5, '(2, 5)']
vertical:
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

## Exemplo resolvido 5: deduzindo a derivada de tg x

Derive $y = \tan x$ escrevendo-a como $\dfrac{\sin x}{\cos x}$.

**Passo 1.** De cima: $u = \sin x$, $u' = \cos x$. De baixo: $v = \cos x$, $v' = -\sin x$.

**Passo 2. Aplique a regra do quociente.**

$$y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

**Passo 3. Use $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.**

$$y' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

É assim que se encontram as derivadas de $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$ e $\csc x$. Veja [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions) para o conjunto completo.

## Quando simplificar antes

A regra do quociente é confiável, mas trabalhosa. Antes de recorrer a ela, pergunte se um pouco de álgebra a torna desnecessária.

**Uma constante embaixo.** $y = \dfrac{x^3 - 5x}{4}$ é só $\tfrac{1}{4}(x^3 - 5x)$, então $y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5)$.

**Uma constante em cima.** $y = \dfrac{5}{x^2}$ é $5x^{-2}$, então $y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}$. A regra do quociente dá o mesmo resultado, mas com quatro linhas a mais.

**Uma única potência de $x$ embaixo.** Divida termo a termo:

$$\frac{x^3 + 2x}{x} = x^2 + 2 \quad (x \neq 0), \qquad \text{logo } y' = 2x$$

Da mesma forma, $\dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}$, com derivada $1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}$.

**Um produto que dá para expandir.** Como no exemplo 2, multiplicar dois polinômios curtos e usar a regra da potência dispensa totalmente a regra do produto.

> **Dica:** se o denominador for um único termo, divida. Se for uma soma, como $x - 1$ ou $x^2 + 4$, use a regra do quociente.

## Produtos de três funções

A regra do produto se estende naturalmente. Com três fatores, derive um de cada vez e some:

$$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$$

Por exemplo, com $y = x e^x \sin x$:

$$y' = e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x$$

Cada termo tem exatamente um fator derivado.

## Erros comuns com as regras do produto e do quociente

1. **Multiplicar as derivadas.** $\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x$. A resposta correta é $2x\sin x + x^2 \cos x$.
2. **Inverter o numerador da regra do quociente.** Escrever $uv' - u'v$ troca o sinal da resposta inteira. Comece pela derivada de cima.
3. **Esquecer de elevar o denominador ao quadrado.** Embaixo fica $v^2$, não $v$.
4. **Perder os parênteses.** Em $(x-1)(2x) - (x^2+1)(1)$, o sinal de menos vale para todo o $x^2 + 1$. Perder os parênteses transforma $-1$ em $+1$.
5. **Usar a regra do quociente com denominador constante.** Funciona, mas é lento e cria chances de erro. Tire a constante para fora.
6. **Expandir o denominador.** $(x-1)^2$ é mais fácil de ler, e mais fácil de usar para achar onde a derivada não está definida, quando fica fatorado.

## Resumo rápido

| Situação                        | Regra                                  | Exemplo                                                    |
| ------------------------------- | -------------------------------------- | ---------------------------------------------------------- |
| $u \cdot v$                     | $u'v + uv'$                            | $(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$                     |
| $u \cdot v \cdot w$             | $u'vw + uv'w + uvw'$                   | $(x e^x \sin x)'$ tem três termos                          |
| $\frac{u}{v}$                   | $\frac{u'v - uv'}{v^2}$                | $\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2}$          |
| $\frac{u}{c}$, $c$ constante    | $\frac{u'}{c}$                         | $\left(\frac{x^3}{4}\right)' = \frac{3x^2}{4}$             |
| $\frac{c}{x^n}$                 | reescreva como $cx^{-n}$               | $\left(\frac{5}{x^2}\right)' = -\frac{10}{x^3}$            |
| $\frac{\text{polinômio}}{x^n}$  | divida termo a termo primeiro          | $\left(\frac{x^3+2x}{x}\right)' = 2x$                      |

Quando aparecer uma função de dentro, como $\sin(3x)$ dentro de um produto, combine essas regras com a [regra da cadeia](/blog/chain-rule).

## Pratique até o padrão ficar automático

As regras do produto e do quociente são mecânicas, o que é uma boa notícia: algumas dezenas de exercícios bastam para que virem segunda natureza. Faça a lição interativa abaixo. Cada resposta é conferida na hora e, se você trocar os termos de um quociente ou esquecer um fator, vai ver exatamente onde errou antes de seguir em frente.

## Perguntas frequentes

### O que é a regra do produto em cálculo?

A regra do produto diz como derivar duas funções multiplicadas. Se $y = u \cdot v$, então $y' = u'v + uv'$: a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.

### Qual é a fórmula da regra do quociente?

Se $y = \frac{u}{v}$, então $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. A ordem no numerador importa por causa do sinal de menos, então comece sempre pela derivada de cima.

### Qual é o macete da regra do quociente?

O mais usado é "derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo, sobre o de baixo ao quadrado". "De cima" é o numerador e "de baixo" é o denominador.

### Posso usar a regra do produto em vez da regra do quociente?

Sim. Reescreva $\frac{u}{v}$ como $u \cdot v^{-1}$ e use a regra do produto junto com a regra da cadeia. Você vai obter a mesma resposta, embora normalmente precise simplificar um pouco mais no final.

### Quando não devo usar a regra do quociente?

Dispense-a quando o denominador for uma constante ou uma única potência de $x$. Em $\frac{x^2+3}{4}$, basta tirar o $\frac{1}{4}$, e em $\frac{x^3+2x}{x}$ divida primeiro para obter $x^2 + 2$. Os dois caminhos são muito mais rápidos que a regra do quociente.