# Séries de potências: raio e intervalo de convergência, com exemplos > Encontre o raio e o intervalo de convergência de uma série de potências com o teste da razão, analise as extremidades e siga cinco exemplos resolvidos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/series-de-potencias Atualizado: 2026-09-20 ## Pontos principais - Uma série de potências $\sum c_n (x-a)^n$ sempre converge num intervalo centrado em $a$, e sua meia largura é o raio de convergência $R$. - O teste da razão dá o raio: imponha $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| |x-a| < 1$ e resolva para $|x-a|$. - O teste da razão nunca decide nada nas extremidades, então substitua cada extremidade e teste a série numérica resultante separadamente. - O raio pode ser $0$, um número positivo ou $\infty$, e as duas extremidades podem se comportar de forma diferente. Você sabe decidir se uma série de números converge. Uma série de potências traz uma novidade: há um $x$ em cada termo, então ela converge para alguns valores de $x$ e diverge para outros. Sua tarefa é descobrir exatamente quais, e o teste da razão faz quase todo o trabalho. Este guia mostra como encontrar o raio e o intervalo de convergência passo a passo, por que as extremidades exigem cuidado extra e traz cinco exemplos resolvidos que cobrem todos os casos que você vai encontrar numa prova. ## O que é uma série de potências? Uma **série de potências centrada em $a$** é uma soma infinita de potências de $(x - a)$, cada uma com seu próprio coeficiente: $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$ Pense nela como um polinômio que nunca termina. Para cada número que você coloca no lugar de $x$, obtém uma série numérica comum, que converge ou diverge. O exemplo mais famoso é a série geométrica $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1$$ Ela funciona perfeitamente dentro de $(-1, 1)$ e falha em todos os outros pontos. Esse padrão, um intervalo bem definido em torno do centro, vale para toda série de potências. ```graph title: 'Somas parciais da série de potências geométrica 1 + x + x² + ... comparadas com 1/(1 − x)' caption: 'Dentro de $(-1, 1)$, as somas parciais grudam em $\frac{1}{1-x}$. Fora desse intervalo elas se descolam, porque a série diverge ali.' x: [-1.8, 1.4] y: [-2, 6] functions: - expr: 1/(1-x) label: y = 1/(1 − x) - expr: 1 + x + x^2 + x^3 label: soma parcial de grau 3 dashed: true - expr: 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 label: soma parcial de grau 8 dashed: true vertical: - {x: -1, label: 'x = −1'} - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Raio de convergência: as três possibilidades Para toda série de potências centrada em $a$, exatamente uma destas afirmações é verdadeira: 1. Ela converge **só em $x = a$**. O raio é $R = 0$. 2. Ela converge **para todo $x$**. O raio é $R = \infty$. 3. Existe um número $R > 0$ tal que ela converge quando $|x - a| < R$ e diverge quando $|x - a| > R$. O número $R$ é o **raio de convergência**. O **intervalo de convergência** é o conjunto de todos os $x$ onde a série converge. No caso 3, é o intervalo de $a - R$ até $a + R$, mais as extremidades que por acaso funcionarem. ## Como encontrar o raio de convergência com o teste da razão O teste da razão diz que uma série $\sum b_n$ converge absolutamente se $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1$ e diverge se esse limite for maior que 1. Aplique-o aos termos $b_n = c_n (x-a)^n$: $$L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n (x-a)^n} \right| = |x-a| \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$$ Depois imponha $L < 1$ e resolva para $|x - a|$. A receita: 1. Escreva a razão $\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|$ e simplifique. As potências de $(x - a)$ se cancelam até sobrar um único $|x - a|$. 2. Calcule o limite quando $n \to \infty$. O $x$ fica parado, porque não depende de $n$. 3. Resolva $L < 1$. Você obtém $|x - a| < R$. 4. **Verifique as duas extremidades** $x = a - R$ e $x = a + R$ substituindo-as. ## Por que as extremidades precisam de uma verificação separada Em $x = a \pm R$, o limite do teste da razão é exatamente 1, e um limite 1 não diz nada. A série pode convergir ou divergir, e as duas extremidades não precisam concordar. Então, em cada extremidade, você substitui o número na série e usa um teste diferente: o da série p, o da série alternada, o do termo geral ou uma comparação. Se precisar relembrar esses testes, veja nosso guia de [testes de convergência](/blog/convergence-tests). > **Dica:** nunca pule as extremidades. Responder $(-1, 1)$ quando o correto é $[-1, 1)$ é considerado errado, mesmo com o raio certo. ## Exemplo resolvido 1: extremidades que discordam Encontre o intervalo de convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$. **Passo 1. Monte a razão.** $$\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x| \cdot \frac{n}{n+1}$$ **Passo 2. Calcule o limite.** Como $\frac{n}{n+1} \to 1$, obtemos $L = |x|$. **Passo 3. Resolva $L < 1$.** A série converge para $|x| < 1$, então $R = 1$. **Passo 4. Verifique as extremidades.** - Em $x = 1$, a série é $\sum \frac{1}{n}$, a série harmônica, que **diverge**. - Em $x = -1$, a série é $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, a série harmônica alternada, que **converge** pelo teste da série alternada. O intervalo de convergência é $[-1, 1)$. ## Exemplo resolvido 2: uma série não centrada em 0 Encontre o intervalo de convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$. **Passo 1. Monte a razão.** $$\left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)^2\, 2^{n+1}} \cdot \frac{n^2\, 2^n}{(x-3)^n}\right| = \frac{|x-3|}{2} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$$ **Passo 2. Calcule o limite.** A fração $\frac{n^2}{(n+1)^2}$ tende a 1, então $L = \frac{|x-3|}{2}$. **Passo 3. Resolva $L < 1$.** Precisamos de $|x - 3| < 2$, então $R = 2$ e o intervalo aberto é $1 < x < 5$. **Passo 4. Verifique as extremidades.** - Em $x = 5$: $(x-3)^n = 2^n$, e a série vira $\sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}$, uma série p com $p = 2$. Ela **converge**. - Em $x = 1$: $(x-3)^n = (-2)^n$, e a série vira $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$. Ela converge absolutamente, já que $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. O intervalo de convergência é $[1, 5]$. Repare que o centro é 3 e o intervalo se estende 2 unidades para cada lado. ## Exemplo resolvido 3: as duas extremidades divergem Encontre o intervalo de convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}$. **Passo 1. Monte a razão.** $$\left|\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n\,(x+1)^n}\right| = \frac{|x+1|}{4} \cdot \frac{n+1}{n}$$ **Passo 2. Calcule o limite.** $L = \frac{|x+1|}{4}$. **Passo 3. Resolva $L < 1$.** $|x + 1| < 4$, então $R = 4$ e o centro é $a = -1$. Isso dá $-5 < x < 3$. **Passo 4. Verifique as extremidades.** - Em $x = 3$: a série é $\sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n$. Os termos crescem, então ela **diverge** pelo teste do termo geral. - Em $x = -5$: a série é $\sum n(-1)^n$. Os termos não tendem a 0, então ela também **diverge**. O intervalo de convergência é $(-5, 3)$. > **Atenção ao centro.** Em $(x + 1)^n$, o centro é $a = -1$, não $1$. Reescreva como $(x - (-1))^n$ se isso ajudar. ## Exemplo resolvido 4: raio infinito e raio zero Os fatoriais empurram o raio para um dos dois extremos. **Série A:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$. $$\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n}\right| = \frac{|x|}{n+1} \to 0$$ O limite é 0 para todo $x$, e $0 < 1$ sempre. Então $R = \infty$ e o intervalo é $(-\infty, \infty)$. Não há extremidades para verificar. (Essa série é igual a $e^x$, como você vai ver no nosso guia de [séries de Taylor](/blog/taylor-series).) **Série B:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n$. $$\left|\frac{(n+1)!\, x^{n+1}}{n!\, x^n}\right| = (n+1)|x|$$ Se $x \ne 0$, isso cresce sem limite, então a série diverge. Ela só converge no centro. Então $R = 0$ e o "intervalo" é o ponto único $\{0\}$. ## Exemplo resolvido 5: um coeficiente em x Encontre o raio de convergência de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}$. **Passo 1. Monte a razão.** A razão entre termos consecutivos é $\frac{|2x - 1|}{5}$, sem nenhum $n$ sobrando, então $L = \frac{|2x-1|}{5}$. **Passo 2. Resolva $L < 1$.** $|2x - 1| < 5$. Coloque o 2 em evidência para chegar à forma $|x - a| < R$: $$2\left|x - \tfrac{1}{2}\right| < 5 \quad\Longrightarrow\quad \left|x - \tfrac{1}{2}\right| < \tfrac{5}{2}$$ Então o centro é $a = \frac{1}{2}$ e o raio é $R = \frac{5}{2}$, não 5. O intervalo aberto é $-2 < x < 3$. **Passo 3. Verifique as extremidades.** Em $x = 3$ a série é $\sum 1^n$, e em $x = -2$ ela é $\sum (-1)^n$. Em nenhuma das duas os termos tendem a 0, então ambas divergem. O intervalo é $(-2, 3)$. ## Erros comuns com séries de potências 1. **Esquecer as extremidades.** É o ponto perdido mais comum. O teste da razão nunca as decide. 2. **Ler o centro errado.** $(x + 2)^n$ é centrada em $-2$, e $(3x - 6)^n$ é centrada em $2$. 3. **Não colocar o coeficiente de $x$ em evidência.** A partir de $|2x - 1| < 5$, o raio é $\frac{5}{2}$. Reescreva sempre como $|x - a| < R$ primeiro. 4. **Perder o módulo.** O teste da razão usa $|x - a|$. Sem ele, você perde a metade esquerda do intervalo. 5. **Deixar $x$ "ir para o infinito" junto com $n$.** No limite, $x$ é um número fixo. Só $n$ muda. 6. **Usar o resultado do teste da razão numa extremidade.** Numa extremidade você precisa de outro teste, aplicado à série com o número substituído. ## Resumo rápido: raio e intervalo de convergência | Série | Limite do teste da razão $L$ | Raio $R$ | Intervalo | | --- | --- | --- | --- | | $\sum x^n$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $(-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1]$ | | $\sum \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$ | $\frac{\lvert x-3 \rvert}{2}$ | $2$ | $[1, 5]$ | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $0$ | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | $\sum n!\, x^n$ | $\infty$ para $x \ne 0$ | $0$ | $\{0\}$ | Um padrão útil das três primeiras linhas: fatores polinomiais como $n$ ou $n^2$ não mudam o raio, mas podem mudar o que acontece nas extremidades. ## Pratique até os passos ficarem automáticos Encontrar um intervalo de convergência é uma rotina fixa: razão, limite, resolver, verificar duas extremidades. A rotina só fica rápida depois que você a aplica em uma dúzia de séries diferentes. A lição interativa abaixo traz séries novas para você resolver, confere cada passo na hora e mostra exatamente onde um teste de extremidade deu errado. ## Perguntas frequentes ### O que é o raio de convergência de uma série de potências? É o número $R$ tal que a série $\sum c_n (x-a)^n$ converge quando $|x-a| < R$ e diverge quando $|x-a| > R$. Ele mede o quanto você pode se afastar do centro $a$ antes de a série deixar de funcionar. $R$ pode ser $0$, um número positivo ou infinito. ### Qual é a diferença entre o raio e o intervalo de convergência? O raio é um único número, a distância do centro até a borda. O intervalo é o conjunto real de valores de $x$ onde a série converge, incluindo as extremidades que funcionarem. Duas séries podem ter o mesmo raio $R = 1$, mas intervalos $(-1, 1)$, $[-1, 1)$ ou $[-1, 1]$. ### Por que é preciso verificar as extremidades separadamente? Nas extremidades, o limite do teste da razão é exatamente 1, e um resultado 1 no teste da razão é inconclusivo. Então você substitui cada extremidade na série e usa outro teste, como o da série p, o da série alternada ou o do termo geral. ### Uma série de potências pode convergir para todo x? Sim. Se o limite do teste da razão for 0 para todo $x$, o raio é infinito e o intervalo é $(-\infty, \infty)$. As séries de $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$ se comportam assim, geralmente por causa de um fatorial no denominador. ### Uma série de potências sempre converge no centro? Sim. Em $x = a$, todos os termos depois do primeiro são zero, então a série é igual a $c_0$. É por isso que o menor intervalo de convergência possível é o ponto único $\{a\}$, o que acontece quando $R = 0$.