# Séries de Taylor e de Maclaurin: fórmula, exemplos e erro > Aprenda as fórmulas das séries de Taylor e de Maclaurin, as quatro séries básicas, como montar séries novas e como limitar o erro de um polinômio de Taylor. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/series-de-taylor Atualizado: 2026-09-04 ## Pontos principais - A série de Taylor de $f$ em $a$ é $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, e uma série de Maclaurin é o caso particular $a = 0$. - Memorize quatro séries: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\frac{1}{1-x}$. A maioria das outras séries é montada a partir delas por substituição, multiplicação, derivação ou integração. - Um polinômio de Taylor de grau $n$ reproduz o valor e as $n$ primeiras derivadas de $f$ no centro, então ele é mais preciso perto do centro. - A estimativa do resto de Taylor $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ diz o tamanho máximo que o erro pode ter. Sua calculadora dá $\sin(0.5)$ na hora, mas $\sin$ não é algo que se calcula só com mais, menos, vezes e dividir. As séries de Taylor são a forma de transformar uma função como $\sin x$, $e^x$ ou $\ln x$ num polinômio que você consegue de fato calcular, e elas aparecem em todo lugar, da física até o interior daquela calculadora. Este guia traz as fórmulas de Taylor e de Maclaurin, as quatro séries que vale a pena memorizar, como montar séries novas sem calcular derivadas e como limitar o erro quando você para depois de poucos termos. ## O que é uma série de Taylor? Uma **série de Taylor** reescreve uma função como um polinômio infinito centrado num ponto $a$. Os coeficientes vêm das derivadas de $f$ em $a$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$ Uma **série de Maclaurin** é o caso particular $a = 0$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$ A ideia é simples. O primeiro termo reproduz o valor de $f$ em $a$. Acrescentar o segundo termo reproduz também a inclinação, o que dá a reta tangente da [aproximação linear](/blog/linear-approximation). O terceiro termo reproduz a concavidade, e assim por diante. Cada termo novo copia mais uma derivada. Se você parar depois do termo em $(x-a)^n$, obtém o **polinômio de Taylor de grau $n$**, escrito $T_n(x)$. ## Como encontrar uma série de Taylor passo a passo 1. Calcule $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots$ até enxergar um padrão. 2. Divida o valor da derivada de ordem $n$ por $n!$ para obter o coeficiente $c_n$. 3. Escreva a série $\sum c_n (x-a)^n$, usando o padrão para o termo geral. 4. Se for pedido, encontre o intervalo de convergência com o teste da razão, como no nosso guia de [séries de potências](/blog/power-series). ## Exemplo resolvido 1: a série de Maclaurin de e^x **Passo 1. Calcule as derivadas.** Toda derivada de $e^x$ é $e^x$, então $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ para todo $n$. **Passo 2. Monte os coeficientes.** $c_n = \frac{1}{n!}$. **Passo 3. Escreva a série.** $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ O teste da razão dá $\frac{|x|}{n+1} \to 0$, então isso vale para todo $x$ real. Substitua $x = 1$ e você ganha uma forma rápida de calcular $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718$. ## Exemplo resolvido 2: a série de Maclaurin de sen x **Passo 1. Calcule as derivadas e avalie em 0.** | $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | | --- | --- | --- | | 0 | $\sin x$ | $0$ | | 1 | $\cos x$ | $1$ | | 2 | $-\sin x$ | $0$ | | 3 | $-\cos x$ | $-1$ | | 4 | $\sin x$ | $0$ | Os valores se repetem em ciclo, $0, 1, 0, -1$, para sempre. **Passo 2. Fique só com os termos não nulos.** As potências pares somem. As potências ímpares alternam de sinal, com $n!$ embaixo. **Passo 3. Escreva a série.** $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Os mesmos passos para $\cos x$ dão as potências pares: $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ Uma conferência rápida: $\sin x$ é ímpar e sua série só tem potências ímpares. $\cos x$ é par e sua série só tem potências pares. Veja como ficam os polinômios de Taylor de $\sin x$. Cada termo a mais acompanha a curva por um trecho maior. ```graph title: 'O gráfico de sen x com seus polinômios de Taylor de graus 1, 3 e 5 centrados em 0' caption: 'Perto de $x = 0$ os três polinômios coincidem com $\sin x$. Polinômios de grau maior ficam próximos num intervalo maior antes de se afastarem.' x: [-6.5, 6.5] y: [-3, 3] functions: - expr: sin(x) label: y = sen x - expr: x label: grau 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: grau 3 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: grau 5 dashed: true ``` ## Exemplo resolvido 3: uma série de Taylor centrada em a = 1 Encontre a série de Taylor de $f(x) = \ln x$ centrada em $a = 1$. **Passo 1. Calcule as derivadas.** $$f'(x) = \frac{1}{x}, \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f'''(x) = \frac{2}{x^3}, \quad f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$$ O padrão para $n \ge 1$ é $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$. **Passo 2. Avalie em $a = 1$.** $f(1) = 0$ e $f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ para $n \ge 1$. **Passo 3. Divida por $n!$.** Como $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$, o coeficiente é $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. **Passo 4. Escreva a série.** $$\ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$$ Ela converge para $0 < x \le 2$. ## As quatro séries de Maclaurin para memorizar | Função | Série de Maclaurin | Válida para | | --- | --- | --- | | $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | todo $x$ | | $\sin x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | todo $x$ | | $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | todo $x$ | | $\frac{1}{1-x}$ | $\sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | Com essas quatro na manga, você pode pular as derivadas na maioria das questões de prova. ## Exemplo resolvido 4: montando séries novas a partir das quatro básicas Você pode substituir, multiplicar, derivar e integrar séries termo a termo, dentro do intervalo de convergência. **Substituir.** Para $e^{-x^2}$, troque $x$ por $-x^2$ na série de $e^x$: $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$ **Multiplicar.** Para $x\cos x$, multiplique cada termo da série do cosseno por $x$: $$x\cos x = x - \frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!} - \cdots$$ **Integrar.** Troque $x$ por $-x^2$ em $\frac{1}{1-x}$ para obter $$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots, \quad |x| < 1$$ Como $\int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x$, integre termo a termo: $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ Cada uma delas exigiria muitas derivadas para ser obtida diretamente. ## Polinômios de Taylor como aproximações Raramente você precisa da série infinita inteira. Poucos termos já dão uma excelente aproximação perto do centro, e é por isso que os físicos trocam $\sin\theta$ por $\theta$ numa oscilação pequena de pêndulo, e $\cos\theta$ por $1 - \frac{\theta^2}{2}$. Por exemplo, $T_2$ de $\cos x$ em $0$ dá $\cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98$. O valor real é $0.980067$, então dois termos já acertam quatro casas decimais. Quanto mais você se afasta do centro, mais termos precisa para a mesma precisão, e a estimativa do resto abaixo diz exatamente quantos. ## O resto de Taylor: qual o tamanho do erro? Quando você troca $f$ por $T_n$, o erro é o **resto** $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$. A desigualdade de Taylor o limita: $$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}$$ onde $M$ é qualquer número com $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ e $x$. Leia assim: o erro é controlado pela próxima derivada, pelo próximo fatorial e pela distância até o centro. Estar perto de $a$ e usar mais termos diminuem o erro. ## Exemplo resolvido 5: estimando sen(0,5) com limite de erro Estime $\sin(0.5)$ com $T_3$ e limite o erro. **Passo 1. Calcule o polinômio.** $$T_3(0.5) = 0.5 - \frac{(0.5)^3}{6} = 0.5 - 0.0208\overline{3} = 0.4791\overline{6}$$ **Passo 2. Encontre $M$.** A quarta derivada de $\sin x$ é $\sin x$, e $|\sin t| \le 1$, então $M = 1$. **Passo 3. Aplique a estimativa com $n = 3$.** $$|R_3(0.5)| \le \frac{1}{4!}(0.5)^4 = \frac{0.0625}{24} \approx 0.0026$$ Então $\sin(0.5)$ está a menos de $0.0026$ de $0.47917$. O valor real é $0.47943$, e o erro efetivo é de cerca de $0.00026$, bem dentro do limite. > **Dica:** em $\sin x$ o coeficiente de $x^4$ é 0, então $T_3 = T_4$. Usar $n = 4$ na estimativa dá $\frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026$, uma estimativa muito mais fina. Como essa série alterna com termos decrescentes, a estimativa da série alternada dá a mesma resposta fina: o erro é no máximo o primeiro termo descartado, $\frac{(0.5)^5}{120}$. ## Erros comuns com séries de Taylor 1. **Esquecer o fatorial.** O coeficiente é $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, não apenas $f^{(n)}(a)$. 2. **Usar potências de $x$ quando $a \ne 0$.** Uma série centrada em 1 é em potências de $(x - 1)$. 3. **Confundir seno com cosseno.** O seno é ímpar e começa com $x$. O cosseno é par e começa com 1. 4. **Calcular derivadas quando a substituição resolve.** Para $e^{3x}$, basta trocar $x$ por $3x$ na série de $e^x$. 5. **Ignorar o intervalo de convergência.** A série de $\frac{1}{1-x}$ não serve para nada em $x = 2$. 6. **Usar a derivada errada na estimativa do erro.** A estimativa para $T_n$ precisa de um limite para $f^{(n+1)}$, uma derivada além do último termo mantido. ## A prática transforma fórmulas em instinto Depois de memorizar as quatro básicas e montar algumas séries por substituição, as séries de Taylor deixam de parecer uma parede de fatoriais. A lição interativa abaixo traz séries para montar e aproximações para conferir, com feedback imediato em cada coeficiente, para você ver exatamente qual termo saiu errado. ## Perguntas frequentes ### Qual é a diferença entre série de Taylor e série de Maclaurin? Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em $a = 0$. A fórmula é a mesma; você só calcula as derivadas em 0 e usa potências de $x$ em vez de potências de $(x - a)$. ### O que é um polinômio de Taylor? Um polinômio de Taylor é uma série de Taylor cortada depois de um número finito de termos. O polinômio de Taylor de grau $n$, $T_n(x)$, mantém os termos até $(x-a)^n$. Ele aproxima bem $f$ perto do centro, e a aproximação costuma melhorar quando $n$ cresce. ### Como encontrar o erro de um polinômio de Taylor? Use a estimativa do resto de Taylor: se $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ e $x$, então $|f(x) - T_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$. Numa série alternada com termos decrescentes, você também pode limitar o erro pelo primeiro termo omitido. ### Uma série de Taylor é sempre igual à função? Nem sempre. A série precisa convergir, o que só acontece dentro do seu intervalo de convergência, e mesmo assim precisa convergir para $f$. Para $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$ ela é igual à função para todo $x$, enquanto para $\frac{1}{1-x}$ só funciona quando $|x| < 1$. ### Por que as séries de Taylor usam fatoriais? A derivada de ordem $n$ de $(x-a)^n$ é $n!$. Dividir por $n!$ cancela isso, então a derivada de ordem $n$ da série em $a$ sai exatamente $f^{(n)}(a)$, e é isso que faz a série coincidir com a função.