# Série geométrica: fórmula da soma, convergência e exemplos

> A fórmula da soma da série geométrica, por que ela só converge quando |r| < 1, como se comportam as somas parciais e como converter dízimas em frações.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/series-geometricas
Atualizado: 2026-10-06

## Pontos principais

- Uma série geométrica multiplica cada termo pela mesma razão $r$: $a + ar + ar^2 + \cdots$.
- Ela converge exatamente quando $|r| < 1$, e então sua soma é $\frac{a}{1-r}$, em que $a$ é o primeiro termo.
- A $n$-ésima soma parcial é $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$. A soma infinita é o valor do qual $S_n$ se aproxima quando $r^n \to 0$.
- Toda dízima periódica é uma série geométrica, então ela sempre é igual a uma fração.

Some $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ para sempre. Infinitos termos positivos e, mesmo assim, o total nunca passa de 2. As **séries geométricas** são o único tipo de soma infinita que você consegue somar exatamente com uma única fórmula, e são a base de todo o resto do estudo de séries, dos testes de convergência às séries de potências.

## O que é uma série geométrica?

Uma **série geométrica** é uma soma em que cada termo é o anterior multiplicado por um número fixo $r$, chamado de **razão**:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

Aqui $a$ é o **primeiro termo**. Para encontrar $r$, divida qualquer termo pelo anterior. Em $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, o primeiro termo é $a = 1$ e a razão é $r = \frac12$.

## A fórmula da soma da série geométrica

A **$n$-ésima soma parcial** soma os $n$ primeiros termos:

$$S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \ne 1)$$

A soma infinita é o limite de $S_n$ quando $n \to \infty$. Se $|r| < 1$, então $r^n \to 0$ e as somas parciais se estabilizam:

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \qquad \text{quando } |r| < 1$$

Um jeito prático de lembrar: **soma = primeiro termo sobre um menos a razão.**

### De onde vem a fórmula

Escreva $S_n$, multiplique por $r$ e subtraia:

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$$

$$rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n$$

Todos os termos do meio se cancelam, sobrando $S_n - rS_n = a - ar^n$. Coloque em evidência e divida:

$$S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Vale a pena lembrar esse truque da subtração. Ele funciona tanto para somas geométricas finitas quanto infinitas.

## Quando uma série geométrica converge?

Tudo depende do tamanho de $r$:

| Razão            | O que $r^n$ faz            | A série                              |
| ---------------- | -------------------------- | ------------------------------------ |
| $\lvert r\rvert < 1$ | encolhe até 0          | converge para $\frac{a}{1-r}$        |
| $r = 1$          | fica igual a 1             | diverge ($a + a + a + \cdots$)       |
| $r = -1$         | alterna entre $1$ e $-1$   | diverge (as somas parciais oscilam)  |
| $\lvert r\rvert > 1$ | cresce sem limitação   | diverge                              |

(Supomos $a \ne 0$ o tempo todo.) Então uma série geométrica converge **se e somente se** $|r| < 1$. Essa regra limpa é o motivo de as séries geométricas serem usadas como referência nos [testes da comparação e da razão](/blog/convergence-tests).

## Vendo as somas parciais se aproximarem do limite

Para $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, a fórmula da soma parcial dá $S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Os primeiros valores são $1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375$. Cada um fecha metade da distância que falta até 2.

```graph
title: 'Somas parciais de 1 + 1/2 + 1/4 + ... se aproximando de 2'
caption: 'Os pontos são as somas parciais $S_n = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Eles sobem em direção à reta tracejada $y = 2$, a soma da série, mas nunca a ultrapassam.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: 2 - 2(0.5)^x
    label: fórmula da soma parcial
  - expr: '2'
    label: y = 2 (a soma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 1.5, '1.5']
  - [3, 1.75, '1.75']
  - [4, 1.875, '1.875']
  - [5, 1.9375, '1.94']
```

Quando $r$ é negativo, as somas parciais **alternam** em torno do limite em vez de subir até ele. Em $1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots$ (com $r = -\frac12$), as somas parciais são $1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots$, oscilando acima e abaixo da soma $\frac{1}{1 + 1/2} = \frac23$.

```graph
title: 'Somas parciais de 1 − 1/2 + 1/4 − ... alternando em torno de 2/3'
caption: 'Com $r = -\frac12$, as somas parciais passam do valor da soma $\frac23$ e ficam abaixo dele, chegando mais perto a cada vez.'
x: [0, 7]
y: [0, 1.2]
functions:
  - expr: 2/3
    label: y = 2/3 (a soma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 0.5, '0.5']
  - [3, 0.75, '0.75']
  - [4, 0.625, '0.625']
  - [5, 0.6875, '0.6875']
```

## Exemplo resolvido 1: uma soma que começa em n = 1

Encontre $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n$.

**Passo 1. Encontre o primeiro termo.** Substitua $n = 1$: $a = 3\cdot\frac25 = \frac65$.

**Passo 2. Encontre a razão.** Cada termo é multiplicado por $\frac25$, então $r = \frac25$.

**Passo 3. Verifique a convergência.** $|r| = \frac25 < 1$, então a série converge.

**Passo 4. Aplique a fórmula.**

$$\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n = \frac{6/5}{1 - 2/5} = \frac{6/5}{3/5} = 2$$

## Exemplo resolvido 2: uma razão negativa

Encontre $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}$.

**Passo 1. Reescreva na forma padrão.** $\frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n$.

**Passo 2. Leia $a$ e $r$.** Em $n = 0$ o termo é $\frac13$, então $a = \frac13$ e $r = -\frac23$.

**Passo 3. Verifique.** $|r| = \frac23 < 1$. Converge.

**Passo 4. Some.**

$$\frac{1/3}{1 - (-2/3)} = \frac{1/3}{5/3} = \frac15$$

## Exemplo resolvido 3: uma série divergente

A série $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}$ converge?

Ela é geométrica com $a = 1$ e $r = \frac32$. Como $|r| > 1$, os termos crescem e a série **diverge**. Substituir em $\frac{a}{1-r}$ daria $\frac{1}{1 - 3/2} = -2$, uma resposta sem sentido. Sempre confira $|r| < 1$ antes de usar a fórmula.

## Exemplo resolvido: uma soma geométrica finita

A fórmula da soma parcial funciona para qualquer soma geométrica finita, mesmo quando $|r| > 1$. Encontre $2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9$.

**Passo 1. Identifique $a$, $r$ e $n$.** O primeiro termo é $a = 2$, a razão é $r = 3$, e os expoentes vão de $0$ a $9$, então há $n = 10$ termos.

**Passo 2. Aplique $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$.**

$$S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59{,}049)}{-2} = 59{,}048$$

Contar os termos corretamente é a principal armadilha aqui: de $3^0$ a $3^9$ são dez termos, não nove.

## Dízimas periódicas como séries geométricas

Toda dízima periódica é, no fundo, uma série geométrica, e é por isso que toda dízima periódica é uma fração.

### Exemplo resolvido 4: 0,272727...

$$0.\overline{27} = \frac{27}{100} + \frac{27}{10{,}000} + \frac{27}{1{,}000{,}000} + \cdots$$

Aqui $a = \frac{27}{100}$ e $r = \frac{1}{100}$, então

$$0.\overline{27} = \frac{27/100}{1 - 1/100} = \frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

### Exemplo resolvido 5: 0,999... é igual a 1

$$0.\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$$

Isso não é uma aproximação. A dízima infinita e o 1 são o mesmo número.

### Exemplo resolvido 6: uma dízima que começa a se repetir depois

Escreva $1.2\overline{3} = 1.2333\ldots$ como fração.

Separe a parte que não se repete: $1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots$. A parte periódica é geométrica com $a = \frac{3}{100}$ e $r = \frac{1}{10}$:

$$0.0\overline{3} = \frac{3/100}{1 - 1/10} = \frac{3/100}{9/10} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$$

Então $1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}$.

## Um exemplo do mundo real: a bola quicando

Uma bola é solta de 10 metros, e cada quique atinge $\frac34$ da altura anterior. Qual é a distância total percorrida?

**Passo 1. A primeira queda** tem 10 metros.

**Passo 2. Os quiques.** A bola sobe até $7.5$ m, depois $5.625$ m, e assim por diante, uma série geométrica com $a = 7.5$ e $r = \frac34$. A soma é $\frac{7.5}{1 - 3/4} = 30$ metros.

**Passo 3. Conte cada quique duas vezes**, uma subindo e outra descendo: $2 \cdot 30 = 60$ metros.

**Passo 4. Total:** $10 + 60 = 70$ metros, embora a bola quique infinitas vezes.

## Das séries geométricas às séries de potências

Troque a razão por uma variável e a fórmula da soma vira uma afirmação sobre funções:

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad \text{para } |x| < 1$$

Essa única identidade é a semente das [séries de potências](/blog/power-series). Substitua $x$ por $-x$ e você obtém $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots$. Substitua por $-x^2$ e obtém $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$, que, integrada termo a termo, dá a série de $\arctan x$. A condição $|x| < 1$ vem direto de $|r| < 1$, e é o primeiro exemplo de intervalo de convergência.

## Erros comuns com séries geométricas

1. **Usar o primeiro termo errado.** Quando a soma começa em $n = 1$ ou depois, $a$ é o primeiro termo que você realmente soma, e não o coeficiente na frente.
2. **Aplicar a fórmula quando $|r| \ge 1$.** A fórmula só funciona para séries convergentes. Uma "soma" negativa de termos positivos é um sinal de alerta.
3. **Ler a razão errado.** Em $\frac{2^n}{3^{n+1}}$, a razão é $\frac23$, e não $\frac{2}{3^{n+1}}$. Reescreva os termos como $a\cdot r^n$ primeiro.
4. **Esquecer o sinal em $1 - r$.** Com $r = -\frac23$, o denominador é $1 + \frac23$.
5. **Confundir a sequência com a série.** Os termos $\left(\frac12\right)^n$ tendem a 0. A soma deles tende a 2.

## Referência rápida

| Grandeza                     | Fórmula                                |
| ---------------------------- | -------------------------------------- |
| Termo geral                  | $ar^n$ (começando em $n = 0$)          |
| Razão                        | $r = \frac{\text{termo}_{n+1}}{\text{termo}_n}$ |
| $n$-ésima soma parcial       | $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$           |
| Soma infinita, $\lvert r\rvert < 1$ | $\frac{a}{1-r}$                 |
| Diverge quando               | $\lvert r\rvert \ge 1$                 |

## Pratique até a fórmula ficar automática

As séries geométricas aparecem de novo e de novo: no teste da razão, nos argumentos de comparação e como ponto de partida para as [séries de potências](/blog/power-series). Ficar rápido para encontrar $a$ e $r$ compensa pelo resto do curso. A lição interativa abaixo dá feedback imediato em cada passo, para que um primeiro termo errado ou um deslize de sinal sejam pegos na hora.

## Perguntas frequentes

### Qual é a fórmula da soma de uma série geométrica?

Se o primeiro termo é $a$ e a razão é $r$ com $|r| < 1$, a soma infinita é $\frac{a}{1-r}$. Para um número finito de termos, a soma dos $n$ primeiros termos é $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$.

### Como saber se uma série geométrica converge?

Encontre a razão $r$ dividindo qualquer termo pelo anterior. A série converge se $|r| < 1$ e diverge se $|r| \ge 1$. Não há outros casos, o que faz das séries geométricas as séries mais fáceis de classificar.

### Por que 0,999... é igual a 1?

Escreva $0.999\ldots$ como $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$, uma série geométrica com $a = \frac{9}{10}$ e $r = \frac{1}{10}$. Sua soma é $\frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$. A dízima infinita é exatamente 1, e não apenas algo próximo de 1.

### Qual é a diferença entre progressão geométrica e série geométrica?

Uma progressão (ou sequência) geométrica é uma lista de números como $1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots$, em que cada termo é o anterior vezes $r$. Uma série geométrica é a soma desses termos, $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, que aqui vale 2.

### Como encontrar o primeiro termo quando a soma começa em n = 1?

Substitua o índice inicial na fórmula dos termos. Em $\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n$, o primeiro termo é $3\cdot\frac25 = \frac65$, e não 3. Usar o primeiro termo errado é o erro mais comum com a fórmula da soma.