# Somas de Riemann: à esquerda, à direita e ponto médio, com exemplos

> Aprenda somas de Riemann passo a passo: retângulos à esquerda, à direita e no ponto médio, notação sigma, erro por excesso ou falta e a integral definida.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/somas-de-riemann
Atualizado: 2026-09-12

## Pontos principais

- Uma soma de Riemann estima a área sob uma curva somando as áreas de retângulos: $\sum f(x_i^*)\,\Delta x$.
- Com $n$ pedaços iguais em $[a, b]$, cada retângulo tem largura $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, e a altura vem de uma extremidade esquerda, de uma extremidade direita ou de um ponto médio.
- Numa função crescente, a soma à esquerda subestima e a soma à direita superestima; numa função decrescente, é o contrário.
- Quando $n \to \infty$, as somas de Riemann se aproximam da integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$.

Achar a área de um retângulo é fácil. Achar a área sob uma curva como $y = x^2$ não é, porque a borda de cima se curva. As **somas de Riemann** resolvem isso preenchendo a região com retângulos finos e somando-os, e são a ideia sobre a qual toda a integral definida é construída.

## O que é uma soma de Riemann?

Uma **soma de Riemann** é uma estimativa, feita com retângulos, da área sob $y = f(x)$ num intervalo $[a, b]$:

1. Divida $[a, b]$ em $n$ pedaços iguais, cada um com largura

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

2. Em cada pedaço, escolha um ponto amostral $x_i^*$ e use $f(x_i^*)$ como altura do retângulo.
3. Some as áreas, altura vezes largura:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

A única escolha que você faz é **onde**, em cada pedaço, tomar a altura. Essa escolha dá as três regras padrão.

## Somas de Riemann à esquerda, à direita e no ponto médio

Com $x_0 = a$, $x_1 = a + \Delta x$, $x_2 = a + 2\Delta x$ e assim por diante até $x_n = b$:

| Regra              | Ponto amostral no pedaço $i$                     | Soma                                                       |
| ------------------ | ------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
| Soma à esquerda    | extremidade esquerda, $x_{i-1} = a + (i-1)\Delta x$ | $L_n = \Delta x\,[f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})]$   |
| Soma à direita     | extremidade direita, $x_i = a + i\,\Delta x$     | $R_n = \Delta x\,[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$       |
| Soma no ponto médio | meio, $a + (i - \frac{1}{2})\Delta x$           | $M_n = \Delta x\,[f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_n)]$       |

Repare que a soma à esquerda usa todos os pontos **menos o último**, e a soma à direita usa todos os pontos **menos o primeiro**.

## Exemplo resolvido 1: área sob y = x² de 0 a 2

Estime $\int_0^2 x^2\,dx$ com $n = 4$ usando as somas à esquerda, à direita e no ponto médio.

**Passo 1. Largura.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$. Os pontos de divisão são $0, 0.5, 1, 1.5, 2$.

```graph
title: 'Área sob y = x² de 0 a 2 com alturas nas extremidades direitas de 4 retângulos'
caption: 'Cada pedaço tem largura $0.5$. Os pontos marcam as alturas nas extremidades direitas, $0.25, 1, 2.25$ e $4$. A área exata sombreada é $\frac{8}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [0.5, 0.25, '0.25']
  - [1, 1, '1']
  - [1.5, 2.25, '2.25']
  - [2, 4, '4']
vertical:
  - {x: 0.5}
  - {x: 1}
  - {x: 1.5}
  - {x: 2}
```

**Passo 2. Soma à esquerda.** Alturas em $0, 0.5, 1, 1.5$:

$$L_4 = 0.5\,[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 0.5(3.5) = 1.75$$

**Passo 3. Soma à direita.** Alturas em $0.5, 1, 1.5, 2$:

$$R_4 = 0.5\,[0.25 + 1 + 2.25 + 4] = 0.5(7.5) = 3.75$$

**Passo 4. Soma no ponto médio.** Pontos médios $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$:

$$M_4 = 0.5\,[0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625] = 0.5(5.25) = 2.625$$

A área exata (que vamos confirmar mais abaixo) é $\frac{8}{3} \approx 2.667$. A soma à esquerda fica muito abaixo, a soma à direita muito acima, e a soma no ponto médio erra por apenas $0.04$.

## Por excesso ou por falta?

Numa função **crescente** como $x^2$ em $[0, 2]$, a extremidade esquerda de cada pedaço é o ponto mais baixo, então todo retângulo à esquerda fica abaixo da curva: **as somas à esquerda subestimam**. A extremidade direita é o ponto mais alto, então **as somas à direita superestimam**. Numa função decrescente, troque as duas.

A regra do ponto médio depende da **concavidade**. Numa curva com concavidade para cima como $x^2$, a soma no ponto médio subestima (só um pouco), e numa curva com concavidade para baixo ela superestima.

| Formato da função          | Soma à esquerda | Soma à direita | Soma no ponto médio |
| -------------------------- | --------------- | -------------- | ------------------- |
| Crescente                  | Falta           | Excesso        | (veja a concavidade) |
| Decrescente                | Excesso         | Falta          | (veja a concavidade) |
| Concavidade para cima      |                 |                | Falta               |
| Concavidade para baixo     |                 |                | Excesso             |

A média das somas à esquerda e à direita dá a **regra dos trapézios**: $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. Numa curva com concavidade para cima, a regra dos trapézios superestima, então o valor verdadeiro fica entre as estimativas do ponto médio e dos trapézios: $2.625 < \frac{8}{3} < 2.75$.

## Exemplo resolvido 2: uma função decrescente

Estime $\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ com $n = 4$ usando as três regras.

**Passo 1. Largura.** $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$. Pontos de divisão: $1, 1.5, 2, 2.5, 3$.

**Passo 2. Soma à esquerda.** Alturas $f(1) = 1$, $f(1.5) \approx 0.6667$, $f(2) = 0.5$, $f(2.5) = 0.4$:

$$L_4 = 0.5\,[1 + 0.6667 + 0.5 + 0.4] \approx 1.2833$$

**Passo 3. Soma à direita.** Alturas em $1.5, 2, 2.5, 3$:

$$R_4 = 0.5\,[0.6667 + 0.5 + 0.4 + 0.3333] = 0.5(1.9) = 0.95$$

**Passo 4. Soma no ponto médio.** Os pontos médios $1.25, 1.75, 2.25, 2.75$ dão as alturas $0.8$, $0.5714$, $0.4444$, $0.3636$:

$$M_4 \approx 0.5(2.1795) \approx 1.0898$$

O valor exato é $\ln 3 \approx 1.0986$. Desta vez a função é **decrescente**, então a soma à esquerda fica grande demais e a soma à direita pequena demais: o contrário do exemplo 1. A curva tem concavidade para cima, então a soma no ponto médio fica de novo um pouco abaixo.

## Exemplo resolvido 3: somas de Riemann a partir de uma tabela

A velocidade de um carro é registrada a cada segundo:

| $t$ (s)      | 0 | 1 | 2 | 3 | 4  |
| ------------ | - | - | - | - | -- |
| $v$ (m/s)    | 0 | 4 | 7 | 9 | 10 |

Estime a distância percorrida de $t = 0$ a $t = 4$.

A distância é a área sob a curva da velocidade, e $\Delta t = 1$.

**Soma à esquerda:** $1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20$ m.

**Soma à direita:** $1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30$ m.

A velocidade só aumenta na tabela, então (supondo que ela também aumente entre as leituras) a distância verdadeira fica entre $20$ e $30$ metros. Aqui não dá para usar uma soma no ponto médio com $n = 4$, porque a tabela não tem leituras em $t = 0.5, 1.5, \ldots$. Com $n = 2$ daria: os pontos médios $t = 1$ e $t = 3$ dão $2 \cdot (4 + 9) = 26$ m.

## Escrevendo somas de Riemann em notação sigma

Para uma soma à direita em $[a, b]$ com $n$ pedaços, os pontos amostrais são $x_i = a + i\,\Delta x$, então

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(a + i\,\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}$$

Para somas à esquerda, troque $i$ por $i - 1$; para pontos médios, troque por $i - \frac{1}{2}$.

### Exemplo resolvido 4: a área exata como limite

Encontre $\int_0^2 x^2\,dx$ como limite de somas à direita.

**Passo 1. Monte.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ e $x_i = \frac{2i}{n}$, então $f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}$.

**Passo 2. Escreva a soma.**

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{4i^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$

**Passo 3. Use a fórmula da soma dos quadrados** $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

$$R_n = \frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$$

**Passo 4. Calcule o limite.** Quando $n \to \infty$, os dois termos $\frac{1}{n}$ tendem a $0$:

$$\lim_{n\to\infty} R_n = \frac{4}{3}(1)(2) = \frac{8}{3}$$

Então a área exata é $\frac{8}{3}$. Com $n = 4$, a fórmula dá $\frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75$, o mesmo resultado do exemplo resolvido 1.

## Das somas de Riemann à integral definida

A conta acima é exatamente como a **integral definida** é definida:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

A notação até imita a soma: $\int$ é um "S" esticado de soma, $f(x)$ é a altura e $dx$ é a largura infinitamente fina. Onde $f$ é negativa, os retângulos têm altura negativa, então a integral mede a área **com sinal**: a área acima do eixo conta como positiva e a área abaixo, como negativa.

Calcular um limite de somas toda vez seria penoso. O [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) mostra que dá para pular isso: $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$, usando [antiderivadas](/blog/antiderivatives). As somas de Riemann continuam sendo a forma de aproximar integrais a partir de dados ou de funções sem antiderivada simples.

## Erros comuns com somas de Riemann

1. **Usar $n + 1$ alturas.** Com $n = 4$ há 5 pontos de divisão, mas só 4 retângulos. A soma à esquerda descarta o último ponto; a soma à direita descarta o primeiro.
2. **Esquecer de multiplicar por $\Delta x$.** Somar as alturas dá $7.5$ no exemplo 1, não a área $3.75$.
3. **Pontos médios errados.** O ponto médio de $[1, 1.5]$ é $1.25$. Calcule $f(1.25)$, não a média de $f(1)$ e $f(1.5)$ (isso é a regra dos trapézios).
4. **Larguras desiguais numa tabela.** Se os dados não forem igualmente espaçados, cada retângulo precisa de sua própria largura. Não use um único $\Delta x$.
5. **Confundir excesso com falta.** Crescente ou decrescente decide as somas à esquerda e à direita; a concavidade decide as regras do ponto médio e dos trapézios.

## Pratique com retângulos

As somas de Riemann recompensam uma rotina constante: encontrar $\Delta x$, listar os pontos amostrais, calcular, somar, multiplicar. A lição interativa abaixo permite montar somas à esquerda, à direita e no ponto médio com feedback imediato, para você ver exatamente qual altura ou largura saiu errada e corrigir na próxima tentativa.

## Perguntas frequentes

### O que é uma soma de Riemann?

Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva cortando o intervalo em pedaços, construindo um retângulo sobre cada pedaço e somando as áreas dos retângulos. Mais pedaços dão uma estimativa melhor e, no limite, você obtém a área exata, a integral definida.

### Qual é a diferença entre a soma de Riemann à esquerda e à direita?

Elas usam alturas diferentes. A soma de Riemann à esquerda toma a altura de cada retângulo no valor da função na extremidade esquerda do pedaço, e a soma à direita, na extremidade direita. No mesmo intervalo e com o mesmo $n$, elas compartilham todas as alturas menos uma.

### A regra do ponto médio é mais precisa que as somas à esquerda e à direita?

Geralmente sim, e por muito. A regra do ponto médio toma as alturas no meio de cada pedaço, então o excesso de um lado de cada retângulo compensa aproximadamente a falta do outro. Seu erro costuma ser cerca de metade do erro da regra dos trapézios e muito menor que o das somas à esquerda ou à direita.

### Como saber se uma soma de Riemann é uma estimativa por excesso ou por falta?

Nas somas à esquerda e à direita, veja se a função é crescente ou decrescente. Se $f$ é crescente, as somas à esquerda ficam pequenas demais e as somas à direita, grandes demais. Na regra do ponto médio, olhe a concavidade: concavidade para cima significa que a soma no ponto médio fica pequena demais.

### Como as somas de Riemann se relacionam com as integrais?

A integral definida é definida como o limite das somas de Riemann: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$. O Teorema Fundamental do Cálculo então dá um atalho para calcular esse limite com antiderivadas.