# Taxas relacionadas: método passo a passo com escada e cone

> Resolva problemas de taxas relacionadas com um método claro: escada deslizando, balão inflando e cone enchendo, resolvidos por completo, e os erros a evitar.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/taxas-relacionadas
Atualizado: 2026-08-23

## Pontos principais

- Taxas relacionadas conectam a rapidez com que grandezas diferentes mudam: encontre uma equação que ligue as grandezas e derive os dois lados em relação ao tempo $t$.
- Toda variável que muda ganha sua própria taxa, então $\frac{d}{dt}(x^2) = 2x\frac{dx}{dt}$.
- Substitua os números específicos só depois de derivar. Substituir antes transforma grandezas que variam em constantes e dá derivada zero.
- Confira os sinais: uma grandeza que diminui tem taxa negativa, e sua resposta deve fazer sentido físico.

Ar é bombeado para dentro de um balão a uma taxa constante. O raio também cresce a uma taxa constante? Não, e descobrir exatamente com que rapidez ele cresce é um problema de **taxas relacionadas**. Esses problemas assustam muitos estudantes porque têm enunciados longos, mas todos seguem a mesma receita curta. Depois que você a enxerga, a escada, o balão e o cone são o mesmo problema com fantasias diferentes.

## O que são taxas relacionadas?

Num problema de **taxas relacionadas**, duas ou mais grandezas variam com o tempo e estão amarradas por uma equação. Você sabe a rapidez com que uma delas varia e quer a rapidez com que outra varia num instante específico.

A ferramenta é a [derivação implícita](/blog/implicit-differentiation) em relação ao tempo. Se $x$ e $y$ dependem ambos de $t$, a [regra da cadeia](/blog/chain-rule) dá, por exemplo,

$$\frac{d}{dt}\left(x^2 + y^2\right) = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}$$

Cada variável ganha sua própria taxa. É essa única equação que faz as taxas ficarem "relacionadas".

## O método das taxas relacionadas

1. **Faça um desenho** e rotule com uma variável cada grandeza que varia. Rotule as constantes com seus valores.
2. **Liste o que você sabe e o que quer**, como taxas: por exemplo, "sei $\frac{dx}{dt} = 2$, quero $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 6$".
3. **Escreva uma equação** que relacione as variáveis (Pitágoras, uma fórmula de volume, semelhança de triângulos).
4. **Derive os dois lados em relação a $t$.**
5. **Substitua os valores no instante pedido** e resolva para a taxa desconhecida. Inclua as unidades e confira o sinal.

A regra mais importante está nos passos 4 e 5: **primeiro derive, depois substitua.**

## Exemplo resolvido 1: a escada deslizando

Uma escada de 10 metros está apoiada numa parede. A base escorrega para longe da parede a 2 metros por segundo. Com que rapidez o topo desliza para baixo quando a base está a 6 metros da parede?

**Passo 1. Desenho.** Seja $x$ a distância da parede até a base da escada e $y$ a altura do topo. O comprimento da escada, 10, é constante.

**Passo 2. Sei e quero.** Sei $\frac{dx}{dt} = 2$ m/s. Quero $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 6$.

**Passo 3. Equação.** A parede, o chão e a escada formam um triângulo retângulo:

$$x^2 + y^2 = 100$$

**Passo 4. Derive em relação a $t$.**

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$$

**Passo 5. Substitua e resolva.** Quando $x = 6$, a equação dá $y = \sqrt{100 - 36} = 8$. Então

$$2(6)(2) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 24 + 16\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{2}$$

**Resposta:** o topo desliza para baixo a 1,5 metro por segundo. O sinal negativo significa que a altura está diminuindo, o que bate com o desenho.

```graph
title: 'Altura do topo da escada y = √(100 - x²) em função da distância da base, com a tangente em x = 6'
caption: 'Em $x = 6$ a curva tem inclinação $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -0.75$. Mover a base a 2 m/s faz, portanto, o topo se mover a $-0.75 \times 2 = -1.5$ m/s.'
x: [0, 11]
y: [0, 13]
functions:
  - expr: sqrt(100 - x^2)
    label: altura do topo
  - expr: -0.75x + 12.5
    label: tangente em x = 6
    dashed: true
points:
  - [6, 8, '(6, 8)']
```

O gráfico mostra algo que a fórmula esconde. A curva fica mais íngreme quando $x$ se aproxima de 10, então, mesmo com a base se movendo a constantes 2 m/s, o topo cai cada vez mais rápido perto do fim.

## Exemplo resolvido 2: o balão inflando

Ar é bombeado para dentro de um balão esférico a 100 centímetros cúbicos por segundo. Com que rapidez o raio está aumentando quando o raio mede 5 cm?

**Passo 1. Desenho.** Uma esfera de raio $r$ e volume $V$, ambos variando.

**Passo 2. Sei e quero.** Sei $\frac{dV}{dt} = 100$ cm³/s. Quero $\frac{dr}{dt}$ quando $r = 5$.

**Passo 3. Equação.** O volume da esfera:

$$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$$

**Passo 4. Derive em relação a $t$.**

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

**Passo 5. Substitua e resolva.**

$$100 = 4\pi(5)^2\frac{dr}{dt} = 100\pi\frac{dr}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}$$

**Resposta:** nesse instante, o raio cresce cerca de 0,32 cm por segundo.

Isso responde à pergunta do início. Resolver o passo 4 de forma geral dá $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^2} = \frac{25}{\pi r^2}$, que diminui quando $r$ cresce. O ar entra a uma taxa constante, mas precisa se espalhar por uma superfície cada vez maior, então o raio cresce mais devagar.

```graph
title: 'Taxa de crescimento do raio dr/dt = 25/(πr²) para um balão enchido a 100 cm³/s'
caption: 'Quanto maior o balão, mais devagar o raio cresce. Em $r = 5$, $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.32$ cm/s.'
x: [0, 10]
y: [0, 3]
functions:
  - expr: 25/(pi x^2)
    label: dr/dt em função de r
points:
  - [5, 0.3183, '(5, 1/π)']
```

Dá para levar o mesmo exemplo mais longe. A área da superfície é $S = 4\pi r^2$, então $\frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt} = 8\pi(5)\cdot\frac{1}{\pi} = 40$ cm²/s nesse mesmo instante.

## Exemplo resolvido 3: enchendo um tanque em forma de cone

Um tanque é um cone de cabeça para baixo, com 12 metros de altura e raio de 4 metros no topo. A água entra a 2 metros cúbicos por minuto. Com que rapidez o nível da água sobe quando a água tem 6 metros de profundidade?

**Passo 1. Desenho.** A água forma um cone menor, com profundidade $h$ e raio da superfície $r$, ambos variando.

**Passo 2. Sei e quero.** Sei $\frac{dV}{dt} = 2$ m³/min. Quero $\frac{dh}{dt}$ quando $h = 6$.

**Passo 3. Equação.** O volume do cone é $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, que tem duas variáveis que mudam. Elimine $r$ com **semelhança de triângulos**: o cone de água tem o mesmo formato do tanque, então

$$\frac{r}{h} = \frac{4}{12} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{h}{3}$$

Substitua essa relação (ela vale em todo instante, então é seguro usá-la agora):

$$V = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$$

**Passo 4. Derive em relação a $t$.**

$$\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27}\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}$$

**Passo 5. Substitua e resolva.** Com $h = 6$:

$$2 = \frac{\pi(36)}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \text{ m/min}$$

**Resposta:** o nível da água sobe cerca de 0,16 metro por minuto, ou seja, uns 16 centímetros por minuto.

> **Dica:** em problemas com cone, elimine o raio com semelhança de triângulos **antes** de derivar. Caso contrário, você fica com $\frac{dr}{dt}$ e $\frac{dh}{dt}$ e uma única equação.

## Erros comuns: substituir cedo demais, e outros

**1. Substituir os números antes de derivar.** Esse é o maior de todos. No problema da escada, suponha que você substitua $x = 6$ primeiro:

$$36 + y^2 = 100$$

Derivar agora dá $2y\frac{dy}{dt} = 0$, então $\frac{dy}{dt} = 0$. Isso diz que o topo da escada não se move, o que é absurdo. Ao substituir $x = 6$, você congelou $x$ e apagou $\frac{dx}{dt}$. Os valores no "instante pedido" são uma fotografia; substitua-os só depois de calcular a derivada.

A exceção é uma constante de verdade. O comprimento da escada, 10, e as dimensões do tanque, 4 e 12, nunca mudam, então você pode usá-los desde o começo. A relação $r = \frac{h}{3}$ também é segura, porque vale em todo instante.

**2. Esquecer um fator de taxa.** $\frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}$, não $3r^2$. Toda variável que muda carrega sua própria taxa.

**3. Sinais errados.** Se uma grandeza está diminuindo (um tanque esvaziando, o topo de uma escada caindo), sua taxa é negativa. Coloque-a assim e confira o sinal da resposta com o desenho.

**4. Valores faltando.** No problema da escada você recebe $x$, mas também precisa de $y$. Use a equação original para encontrá-lo.

**5. Misturar unidades.** Taxas têm unidades como m/s ou cm³/s. Se uma taxa estiver em minutos e outra em segundos, converta antes de substituir.

## Resumo rápido

| Tipo de problema    | Equação                          | Depois de derivar                                             |
| ------------------- | -------------------------------- | ------------------------------------------------------------- |
| Escada, distância   | $x^2 + y^2 = L^2$                | $x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0$                         |
| Volume da esfera    | $V = \frac{4}{3}\pi r^3$         | $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$                       |
| Área do círculo     | $A = \pi r^2$                    | $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$                         |
| Cone, $r = kh$      | $V = \frac{1}{3}\pi k^2 h^3$     | $\frac{dV}{dt} = \pi k^2 h^2\frac{dh}{dt}$                    |
| Cilindro, $r$ fixo  | $V = \pi r^2 h$                  | $\frac{dV}{dt} = \pi r^2\frac{dh}{dt}$                        |

## Ganhe confiança com a prática

Taxas relacionadas só parecem difíceis até o método virar hábito: desenho, equação, derivar e depois substituir. A lição interativa abaixo divide cada problema nesses passos e dá feedback imediato, para você aprender a pegar uma substituição precoce ou uma taxa esquecida antes que isso custe pontos numa prova.

## Perguntas frequentes

### O que são taxas relacionadas em cálculo?

Problemas de taxas relacionadas envolvem duas ou mais grandezas que variam com o tempo e estão ligadas por uma equação. Você sabe a rapidez com que uma delas varia e usa a derivada da equação em relação ao tempo para descobrir a rapidez com que outra varia num instante específico.

### Como resolver problemas de taxas relacionadas?

Faça um desenho, liste as taxas conhecidas e a desconhecida, escreva uma equação que relacione as grandezas, derive os dois lados em relação a $t$, depois substitua os valores no instante pedido e resolva para a taxa desconhecida.

### Por que não posso substituir os números antes de derivar?

Porque as grandezas estão variando. Se você substituir $x = 6$ antes de derivar, $x$ vira uma constante e sua derivada é zero, o que joga fora justamente a taxa de que você precisa. Só grandezas realmente constantes, como o comprimento de uma escada, podem ser substituídas antes.

### Por que a taxa é negativa no problema da escada?

O topo da escada se move para baixo, então sua altura está diminuindo. Uma grandeza que diminui tem derivada negativa. A resposta $\frac{dy}{dt} = -1.5$ metros por segundo significa que o topo desliza para baixo a 1,5 metro por segundo.

### Taxas relacionadas é o mesmo que derivação implícita?

Usa a mesma técnica, mas deriva em relação ao tempo $t$ em vez de $x$. Cada variável é tratada como função de $t$, então cada uma ganha seu próprio fator de taxa, como $\frac{dx}{dt}$ ou $\frac{dr}{dt}$.