# Teorema do Valor Médio: enunciado, teorema de Rolle e como achar c

> Entenda o Teorema do Valor Médio com gráficos: o que ele diz, o teorema de Rolle, como achar o valor de c passo a passo e quando o teorema não se aplica.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/teorema-do-valor-medio
Atualizado: 2026-09-24

## Pontos principais

- Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, existe algum $c$ em $(a, b)$ com $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- Geometricamente, em algum ponto a reta tangente é paralela à reta secante que liga as extremidades.
- O teorema de Rolle é o caso particular $f(a) = f(b)$, que garante uma tangente horizontal com $f'(c) = 0$.
- Para achar $c$, calcule a inclinação média, iguale $f'(c)$ a ela, resolva e fique só com as soluções estritamente entre $a$ e $b$.

O professor escreve "verifique que o Teorema do Valor Médio se aplica e encontre todos os valores de $c$", e o teorema parece uma afirmação abstrata de existência sem utilidade óbvia. Na verdade, o **Teorema do Valor Médio** diz algo em que você já acredita sobre dirigir, e achar $c$ leva umas quatro linhas de álgebra depois que você enxerga o padrão.

## O que diz o Teorema do Valor Médio

O **Teorema do Valor Médio (TVM)** diz que, em qualquer trecho suave de uma função, a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média pelo menos uma vez.

Formalmente: se $f$ é **contínua** em $[a, b]$ e **diferenciável** em $(a, b)$, então existe pelo menos um número $c$ com $a < c < b$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

O lado direito é a inclinação da **reta secante** que passa por $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$, a taxa de variação média. O lado esquerdo é a inclinação da **reta tangente** em $c$, a taxa de variação instantânea. Então o teorema diz: em algum lugar entre $a$ e $b$, a reta tangente é **paralela** à reta secante.

Uma versão da vida real: você dirige 120 km em exatamente 2 horas. Sua velocidade média é de 60 km/h. Você não pode ter ficado abaixo de 60 o tempo todo (não teria chegado) nem acima de 60 o tempo todo (teria ido mais longe). Então em algum instante sua velocidade foi exatamente 60 km/h.

## O Teorema do Valor Médio no gráfico

```graph
title: 'Teorema do Valor Médio para y = x³ − x em [0, 2]: a tangente em c é paralela à reta secante'
caption: 'A secante de $(0, 0)$ a $(2, 6)$ tem inclinação $3$. Em $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ a reta tangente também tem inclinação $3$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-2, 8]
functions:
  - expr: x^3 - x
    label: y = x³ − x
  - expr: 3x
    label: reta secante, inclinação 3
  - expr: 3x - 3.0792
    label: tangente em c, inclinação 3
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [2, 6, '(2, 6)']
  - [1.1547, 0.3849, 'c']
```

Deslize a reta secante para o lado sem girá-la. Antes de ela sair completamente da curva, ela encosta na curva num único ponto. Esse ponto de tangência é $c$.

## Como achar c no Teorema do Valor Médio

1. **Verifique as hipóteses.** $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$? Polinômios, $\sin$, $\cos$ e $e^x$ sempre são. Fique atento a denominadores que se anulam, raízes de números negativos e módulos.
2. **Calcule a inclinação média** $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
3. **Iguale $f'(c)$ a essa inclinação** e resolva para $c$.
4. **Fique só com as soluções com $a < c < b$.** Descarte tudo o que estiver fora ou nas extremidades.

## Exemplo resolvido 1: uma parábola

Encontre $c$ para $f(x) = x^2$ em $[1, 3]$.

**Passo 1.** $f$ é um polinômio, então as hipóteses valem.

**Passo 2.** $f(1) = 1$ e $f(3) = 9$, então a inclinação média é

$$\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$$

**Passo 3.** $f'(x) = 2x$, então $2c = 4$ e $c = 2$.

**Passo 4.** $2$ está em $(1, 3)$. Então $c = 2$.

Para qualquer parábola, $c$ é sempre o ponto médio do intervalo. Isso dá uma boa conferência.

## Exemplo resolvido 2: uma cúbica (o gráfico acima)

Encontre todos os $c$ para $f(x) = x^3 - x$ em $[0, 2]$.

**Passo 1.** Polinômio, então as hipóteses valem.

**Passo 2.** $f(0) = 0$ e $f(2) = 8 - 2 = 6$, então a inclinação média é $\frac{6 - 0}{2 - 0} = 3$.

**Passo 3.** $f'(x) = 3x^2 - 1$. Iguale a $3$:

$$3c^2 - 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$$

**Passo 4.** $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ está fora de $(0, 2)$, então descarte. A resposta é $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$.

## Exemplo resolvido 3: uma raiz quadrada

Encontre $c$ para $f(x) = \sqrt{x}$ em $[0, 4]$.

**Passo 1.** $\sqrt{x}$ é contínua em $[0, 4]$. Não é diferenciável em $0$ (a tangente ali é vertical), mas o teorema só exige diferenciabilidade no intervalo **aberto** $(0, 4)$, e isso vale.

**Passo 2.** Inclinação média: $\frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

**Passo 3.** $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, então

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$

**Passo 4.** $1$ está em $(0, 4)$. Então $c = 1$.

## Teorema de Rolle: o caso particular

O **teorema de Rolle** é o Teorema do Valor Médio quando as extremidades estão na mesma altura. Se $f$ é contínua em $[a, b]$, diferenciável em $(a, b)$ e $f(a) = f(b)$, então existe um $c$ em $(a, b)$ com

$$f'(c) = 0$$

A reta secante é horizontal, então a tangente paralela também é horizontal. Imagine jogar uma bola para cima e pegá-la na mesma altura: no ponto mais alto, a velocidade dela é zero.

### Exemplo resolvido 4: teorema de Rolle

Verifique o teorema de Rolle para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ em $[1, 3]$ e encontre $c$.

**Passo 1.** Polinômio, então contínua e diferenciável em toda parte.

**Passo 2.** Confira as extremidades: $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ e $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. Elas coincidem.

**Passo 3.** $f'(x) = 2x - 4 = 0$ dá $c = 2$, que está em $(1, 3)$.

Outro clássico: $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$ tem $f(0) = f(\pi) = 0$, e $f'(c) = \cos c = 0$ em $c = \frac{\pi}{2}$, o topo do arco.

## Quando o Teorema do Valor Médio não se aplica

As duas hipóteses importam. Aqui estão duas funções em que a conclusão falha porque uma hipótese falha.

**Um bico.** $f(x) = |x|$ em $[-1, 1]$. As duas extremidades valem $1$, então a inclinação média é $0$. Mas $f'(x)$ é $-1$ ou $1$ em toda parte, exceto em $x = 0$, onde não existe. Nenhum $c$ serve, porque $|x|$ não é diferenciável em $0$.

**Uma quebra.** $f(x) = \frac{1}{x}$ em $[-1, 1]$. A inclinação média é $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, mas $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ é sempre negativa. Nenhum $c$ serve, porque $f$ nem está definida (muito menos é contínua) em $0$.

> **Dica:** quando a questão perguntar se o TVM se aplica, diga qual é o ponto e qual é a hipótese que falha. "Não é diferenciável em $x = 0$" vale pontos; "não funciona" não vale.

## Por que o Teorema do Valor Médio importa

O TVM é a ponte entre a derivada e a variação real, e ele prova resultados que você usa o tempo todo:

- **Derivada nula significa constante.** Se $f'(x) = 0$ num intervalo, então $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0$ para quaisquer $a, b$, então $f$ nunca muda. É por isso que duas antiderivadas da mesma função diferem por uma constante $C$.
- **Derivada positiva significa crescente.** Se $f' > 0$, então $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$ sempre que $b > a$. Isso sustenta o [esboço de gráficos](/blog/curve-sketching-with-derivatives).
- **Limitações.** Suponha que $f(0) = 2$ e $f'(x) \le 5$ para todo $x$. Quão grande $f(3)$ pode ser? Pelo TVM, $f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15$, então $f(3) \le 17$.

## Resumo rápido

| Teorema                    | Hipóteses                                                    | Conclusão                                |
| -------------------------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------- |
| Teorema do Valor Médio     | Contínua em $[a, b]$, diferenciável em $(a, b)$              | $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$      |
| Teorema de Rolle           | As mesmas, mais $f(a) = f(b)$                                | $f'(c) = 0$                              |
| Consequência               | $f'(x) = 0$ num intervalo                                    | $f$ é constante ali                      |
| Consequência               | $\lvert f'(x) \rvert \le M$ em $(a, b)$                      | $\lvert f(b) - f(a) \rvert \le M(b - a)$ |

## Erros comuns com o Teorema do Valor Médio

1. **Pular a verificação das hipóteses.** Muitas questões são feitas de modo que o teorema não se aplique. Sempre procure bicos, assíntotas e problemas de domínio primeiro.
2. **Ficar com as soluções erradas.** No exemplo 2, $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ resolve a equação, mas não está em $(0, 2)$. O intervalo faz parte da resposta.
3. **Confundir $f$ com $f'$.** Você iguala a **derivada** em $c$ à inclinação média, não $f(c)$.
4. **Achar que o teorema diz onde $c$ está.** Ele só garante a existência. Você encontra $c$ resolvendo.
5. **Exigir diferenciabilidade nas extremidades.** Só o intervalo aberto importa, e é por isso que $\sqrt{x}$ em $[0, 4]$ não tem problema.

## Pratique achar c

O TVM vira rotina rápido: verificar, calcular a inclinação, resolver, filtrar. A lição interativa abaixo traz funções para testar, pega as soluções que caem fora do intervalo e explica a correção sempre que um passo dá errado. Depois de algumas rodadas, você vai enxergar uma hipótese que falha num relance.

## Perguntas frequentes

### O que diz o Teorema do Valor Médio, em palavras simples?

Em algum momento, sua taxa de variação instantânea é igual à sua taxa de variação média. Se você dirige 120 km em 2 horas, sua velocidade média é de 60 km/h, então em algum instante o velocímetro marcou exatamente 60 km/h.

### Quais são as hipóteses do Teorema do Valor Médio?

A função precisa ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a, b)$. Se alguma das hipóteses falhar, por exemplo por um salto, uma assíntota ou um bico dentro do intervalo, a conclusão pode falhar.

### Qual é a diferença entre o teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio?

O teorema de Rolle é o caso particular em que $f(a) = f(b)$. Aí a reta secante é horizontal, então o teorema garante um ponto onde $f'(c) = 0$. O Teorema do Valor Médio vale para quaisquer valores nas extremidades.

### Pode haver mais de um valor de c?

Sim. O teorema só promete pelo menos um. Uma função ondulada pode ter vários pontos onde a tangente é paralela à secante, e você deve listar todas as soluções que estão estritamente dentro de $(a, b)$.

### Por que o Teorema do Valor Médio é importante?

Ele liga a derivada à variação real da função. Ele prova que uma função com derivada nula é constante, que derivada positiva significa função crescente, e fornece limitações como $|f(b) - f(a)| \le M(b - a)$ quando $|f'| \le M$.