# Teorema Fundamental do Cálculo: partes 1 e 2 com exemplos

> Aprenda as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo: calcule integrais definidas com antiderivadas e derive integrais com limites variáveis.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/blog/teorema-fundamental-do-calculo
Atualizado: 2026-09-28

## Pontos principais

- A parte 2 calcula integrais definidas: se $F'= f$, então $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
- A parte 1 diz que integrar e depois derivar leva você de volta ao ponto de partida: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
- Com um limite superior variável $u(x)$, use a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)$.
- Integrais definidas medem área com sinal, então a área abaixo do eixo $x$ conta como negativa.

Calcular a área sob $y = x^2$ com [somas de Riemann](/blog/riemann-sums) exige uma página de álgebra e um limite. O **Teorema Fundamental do Cálculo** faz isso em uma linha: $\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$. É por causa dele que as integrais são práticas, e ele une as duas metades do cálculo num único assunto.

## O que o Teorema Fundamental do Cálculo diz

Em linguagem simples: **derivação e integração são processos inversos.** O teorema tem duas partes, uma para cada sentido.

**Parte 1 (derivada de uma integral).** Se $f$ é contínua em $[a, b]$, então a função área $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ é diferenciável e

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

**Parte 2 (cálculo de integrais).** Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $F$ é qualquer antiderivada de $f$ (ou seja, $F' = f$), então

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Escrevemos $F(b) - F(a)$ de forma abreviada como $\Big[F(x)\Big]_a^b$.

A maioria dos livros numera as partes assim, embora alguns troquem os rótulos. O que importa é reconhecer qual tarefa você está fazendo: calcular um número ou derivar uma integral.

## Por que funciona: a área se acumula a uma taxa igual à altura

Imagine a área sob $y = f(t)$ de $a$ até $x$, e empurre $x$ um pouquinho para a direita, de $h$. A área extra é uma faixa fina de largura $h$ e altura aproximada $f(x)$, então

$$g(x + h) - g(x) \approx f(x)\cdot h \quad\Rightarrow\quad \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \approx f(x)$$

Quando $h \to 0$, isso vira $g'(x) = f(x)$: **a taxa com que a área cresce é a altura da curva.** Essa é a parte 1. A parte 2 vem em seguida: $g$ é uma antiderivada de $f$, qualquer outra antiderivada $F$ difere dela por uma constante, e $\int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a)$.

## Como calcular uma integral definida (parte 2 do TFC)

1. Encontre uma antiderivada $F(x)$. Dispense o $+C$, ele se cancela.
2. Calcule $F(b)$, no limite superior.
3. Calcule $F(a)$, no limite inferior.
4. Subtraia: $F(b) - F(a)$.

### Exemplo resolvido 1: um polinômio

Calcule $\int_0^2 x^2\,dx$.

**Passo 1.** Uma antiderivada de $x^2$ é $\frac{x^3}{3}$.

**Passo 2.** $F(2) = \frac{8}{3}$.

**Passo 3.** $F(0) = 0$.

**Passo 4.**

$$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$

Esse é exatamente o limite das somas de Riemann calculado pelo caminho longo, sem precisar de notação de somatório.

### Exemplo resolvido 2: raízes e constantes

Calcule $\int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx$.

**Passo 1.** Escreva $3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$. Sua antiderivada é $3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}$, e a antiderivada de $-2$ é $-2x$. Então $F(x) = 2x^{3/2} - 2x$.

**Passo 2.** $F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8$.

**Passo 3.** $F(1) = 2(1) - 2(1) = 0$.

**Passo 4.**

$$\int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx = 8 - 0 = 8$$

### Exemplo resolvido 3: a área sob um arco do seno

Calcule $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$.

**Passo 1.** Uma antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$.

**Passos 2 a 4.**

$$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (1) - (-1) = 2$$

```graph
title: 'A área sob um arco de y = sen(x) de 0 a π é igual a 2'
caption: 'A região sombreada tem área exatamente $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2$, encontrada com uma única antiderivada e nenhum retângulo.'
x: [-0.5, 3.8]
y: [-0.5, 1.5]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen(x)
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [0, 0, '0']
  - [3.14159, 0, 'π']
```

Os dois sinais de menos são onde a maioria dos erros acontece. Escreva os colchetes por extenso, como acima, todas as vezes.

### Exemplo resolvido 4: um logaritmo

Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

### Exemplo resolvido 5: exponenciais e uma constante que não some

Calcule $\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx$.

**Passo 1.** Uma antiderivada é $F(x) = e^x + x^2$.

**Passo 2.** $F(1) = e + 1$.

**Passo 3.** $F(0) = e^0 + 0 = 1$. Atenção aqui: $e^0$ é $1$, não $0$, então o limite inferior não desaparece.

**Passo 4.**

$$\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx = (e + 1) - 1 = e \approx 2.718$$

## Área com sinal: quando a integral é negativa

Uma integral definida conta a área **acima** do eixo $x$ como positiva e a área **abaixo** como negativa. Por exemplo,

$$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$$

O arco acima do eixo (área $2$) cancela o arco abaixo (área $2$). Se a questão pedir a **área total**, e não a integral, divida nos zeros e some os valores absolutos: $2 + 2 = 4$.

### Exemplo resolvido 6: deslocamento e distância percorrida

A mesma ideia aparece em problemas de movimento, em que a parte 2 costuma ser chamada de **teorema da variação total**: integrar uma taxa dá a variação total. Uma partícula se move com velocidade $v(t) = 3t^2 - 6t$ m/s. Encontre seu deslocamento e a distância total percorrida de $t = 0$ até $t = 3$.

**Passo 1. Deslocamento.** Uma antiderivada de $v$ é $t^3 - 3t^2$, então

$$\int_0^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^3 = (27 - 27) - 0 = 0$$

A partícula termina onde começou.

**Passo 2. Descubra onde ela inverte o sentido.** $v(t) = 3t(t - 2)$ é negativa em $(0, 2)$ e positiva em $(2, 3)$.

**Passo 3. Distância.** Integre $|v|$ dividindo em $t = 2$:

$$\int_0^2 -(3t^2 - 6t)\,dt = -\Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^2 = -(8 - 12) = 4$$

$$\int_2^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_2^3 = 0 - (-4) = 4$$

Ela se move $4$ m para trás e depois $4$ m para a frente, então a distância total é $8$ m, embora o deslocamento seja $0$.

## Derivadas de integrais (parte 1 do TFC)

A parte 1 permite derivar uma integral sem calculá-la, o que importa quando o integrando não tem antiderivada simples.

### Exemplo resolvido 7: x no limite superior

Encontre $\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$.

Não existe antiderivada simples de $\sqrt{t^3 + 1}$, e você não precisa de uma. Pela parte 1, troque $t$ por $x$:

$$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt = \sqrt{x^3 + 1}$$

O limite inferior $1$ não importa. Mudá-lo só desloca a função área por uma constante.

### Exemplo resolvido 8: uma função no limite superior

Encontre $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$.

Aqui o limite superior é $u = x^2$, então a regra da cadeia acrescenta um fator $u' = 2x$:

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot 2x$$

**Confira calculando primeiro:** $\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2)$, e $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$. Confere.

A regra geral é

$$\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)$$

### Exemplo resolvido 9: x no limite inferior

Encontre $\frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt$.

**Passo 1. Inverta os limites.** Trocar os limites muda o sinal: $\int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt$.

**Passo 2. Aplique a parte 1.**

$$\frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt = -e^{x^2}$$

Se os dois limites dependem de $x$, divida a integral numa constante: $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x)$.

## Referência rápida

| Tarefa                                  | Regra                                                    |
| --------------------------------------- | -------------------------------------------------------- |
| Calcular $\int_a^b f(x)\,dx$            | $F(b) - F(a)$ em que $F' = f$                            |
| $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt$         | $f(x)$                                                   |
| $\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt$    | $f(u(x))\,u'(x)$                                         |
| $\frac{d}{dx}\int_{x}^{a} f(t)\,dt$     | $-f(x)$                                                  |
| $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$ | $f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x)$                      |
| Inverter os limites                     | $\int_b^a f = -\int_a^b f$                               |

## Erros comuns com o Teorema Fundamental

1. **Subtrair na ordem errada.** É $F(\text{cima}) - F(\text{baixo})$. Inverter muda o sinal da resposta.
2. **Esquecer parênteses com negativos.** No exemplo 3, $(-\cos\pi) - (-\cos 0)$ precisa de todos os parênteses. Escrever $-\cos\pi - \cos 0$ dá $0$ em vez de $2$.
3. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ é $2x\cos(x^2)$, e não $\cos(x^2)$.
4. **Integrar quando a parte 1 se aplica.** Se a questão pede a derivada de uma integral, raramente é preciso encontrar uma antiderivada.
5. **Confundir integral com área total.** Se a curva desce abaixo do eixo, $\int_a^b f$ não é a área. Divida nos zeros.
6. **Aplicar o teorema sobre uma descontinuidade.** $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$ não é $\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2$. O integrando explode em $0$, então o teorema não se aplica. Isso é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals).

## Pratique o cálculo de integrais

Depois que o teorema faz sentido, toda integral definida vira uma antiderivada mais uma aritmética cuidadosa. A maioria dos erros é de sinal, então repetir com feedback é o caminho mais rápido para ganhar confiança. A lição interativa abaixo confere cada resposta na hora e mostra todo o trabalho com os colchetes sempre que um sinal escapa. Para integrandos mais difíceis, o próximo passo é a [substituição (mudança de variável)](/blog/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### O que é o Teorema Fundamental do Cálculo, em palavras simples?

Ele diz que derivar e integrar desfazem um ao outro. Parte 1: a derivada de uma função de área acumulada é a função original. Parte 2: para encontrar a área sob uma curva, pegue qualquer antiderivada e subtraia os seus valores nas duas extremidades.

### Qual é a diferença entre a parte 1 e a parte 2 do TFC?

A parte 1 trata de derivadas de integrais: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. A parte 2 trata do cálculo de integrais: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ para qualquer antiderivada $F$. A parte 1 garante que as antiderivadas existem; a parte 2 é a que você usa para calcular.

### Precisa do +C ao calcular uma integral definida?

Não. Se você somar $C$ à antiderivada, ele aparece tanto em $F(b) + C$ quanto em $F(a) + C$ e se cancela na subtração. Qualquer antiderivada dá a mesma resposta, então use a que tem $C = 0$.

### Como derivar uma integral com x no limite superior?

Substitua o limite superior no integrando e multiplique pela derivada do limite superior. Por exemplo, $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot 2x$. Se a variável estiver no limite inferior, inverta os limites primeiro, o que acrescenta um sinal de menos.

### Uma integral definida pode ser negativa?

Sim. Uma integral definida soma a área acima do eixo $x$ e subtrai a área abaixo dele. Por exemplo, $\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx = -2$, porque a curva do seno está abaixo do eixo nesse trecho.