# MAT-12 ITA Cálculo I: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da MAT-12 do ITA (Cálculo Diferencial e Integral I): limites, derivadas, Taylor, integrais, séries numéricas e de potências, com exercícios por tema.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ita-mat-12
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** MAT-12
- **Carga semanal:** 5-0-0-5 (5 h de teoria e 5 h de estudo em casa por semana)
- **Período:** 1º Ano Fundamental, 1º período
- **Pré-requisitos:** Não há
- **Conteúdo:** Números reais, funções de uma variável, limites, continuidade, Bolzano-Weierstrass, derivadas, Teorema do Valor Médio, Taylor, L'Hospital, integral de Riemann, TFC, técnicas de integração, integrais impróprias, sequências, séries numéricas e séries de potências
- **Próxima disciplina:** MAT-22 Cálculo Diferencial e Integral II
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1](/learn/calculus-1) e [séries do Cálculo 2](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences)

## Pontos principais

- MAT-12 é o primeiro cálculo do Curso Fundamental do ITA, no 1º período, sem pré-requisito.
- A carga é 5-0-0-5: cinco horas de teoria por semana e outras cinco de estudo em casa.
- Além de limites, derivadas e integrais, a ementa inclui sequências, séries numéricas e séries de potências.
- O ritmo é bem mais rápido que um Cálculo 1 comum: a disciplina cobre também boa parte de um Cálculo 2.

A **MAT-12 Cálculo Diferencial e Integral I** é a primeira disciplina de cálculo do Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Fica no 1º período do 1º Ano Fundamental, comum a todas as engenharias, e não tem pré-requisito. O catálogo de graduação do ITA indica carga semanal 5-0-0-5, ou seja, cinco horas de aula teórica e uma expectativa de cinco horas de estudo em casa por semana. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT-12 cobre

A ementa oficial começa pelos **números reais** e pelas funções reais de uma variável real, passa por **limites** e por funções contínuas, com os teoremas do valor intermediário e de Bolzano-Weierstrass. Em seguida vêm as **derivadas**: definição e propriedades, funções diferenciáveis, regra da cadeia, derivada da função inversa, Teorema do Valor Médio, Fórmula de Taylor, pesquisa de máximos, mínimos e pontos de inflexão, e as regras de L'Hospital.

A segunda metade trata da **integral de Riemann** (definição, propriedades, interpretação geométrica), do Teorema Fundamental do Cálculo, de técnicas de integração, aplicações e integrais impróprias. A ementa termina com um bloco que, em muitas universidades, só aparece no segundo semestre: **sequências numéricas** (monótonas, completude dos reais), **séries numéricas** com os critérios do termo geral, da razão, da raiz, da integral e de Leibniz, convergência absoluta e condicional, e **séries de potências**, com intervalo de convergência, Teorema de Abel, derivação e integração termo a termo e séries de Taylor das funções elementares.

Comparada a um **Cálculo 1** padrão, a MAT-12 vai bem além: cobre o Cálculo 1 inteiro, técnicas de integração, integrais impróprias e a parte de séries de um Cálculo 2.

## Mapa de temas da MAT-12

| Tema da MAT-12 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Funções reais de uma variável | [Notação de funções](/learn/calculus-1/functions-warmup/function-notation) | [Funções polinomiais](/functions/polynomial-functions) |
| Limites | [Fatorar e cancelar](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) | [O que é um limite?](/blog/what-is-a-limit), [propriedades dos limites](/rules/limit-laws) |
| Continuidade, valor intermediário | [Teorema do valor intermediário](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem) | [Teorema do valor intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem) |
| Derivada: definição | [Definição por limite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) | [Derivada pela definição](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Regra da cadeia, função inversa | [Regra da cadeia geral](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule), [regra da função inversa](/rules/inverse-function-rule) |
| Teorema do Valor Médio | [Aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem), [Rolle](/theorems/rolles-theorem) |
| Máximos, mínimos e inflexão | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) | [Esboço de gráficos](/blog/curve-sketching-with-derivatives) |
| Regras de L'Hospital | [Regra de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule) | [Regra de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) |
| Integral de Riemann e TFC | [Somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Teorema Fundamental, parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |
| Técnicas de integração | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Frações parciais](/blog/partial-fractions) |
| Integrais impróprias | [Limites de integração infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrais impróprias](/blog/improper-integrals) |
| Sequências numéricas | [Sequências](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Testes de convergência](/blog/convergence-tests) |
| Critérios de convergência | [Testes da razão e da raiz](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Teste da razão](/rules/ratio-test), [séries alternadas](/rules/alternating-series-test) |
| Séries de potências e de Taylor | [Raio de convergência](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries de potências](/blog/power-series), [séries de Taylor](/blog/taylor-series) |

## A sequência de cálculo do ITA

| Disciplina | Carga semanal | Foco |
| --- | --- | --- |
| MAT-12 Cálculo I | 5-0-0-5 | Uma variável, sequências e séries |
| [MAT-22 Cálculo II](/courses/ita-mat-22) | 4-0-0-5 | Várias variáveis, integrais múltiplas |
| [MAT-36 Cálculo Vetorial](/courses/ita-mat-36) | 3-0-0-3 | Integrais de linha e de superfície, Green, Gauss, Stokes |

## Exemplos de exercícios no nível da MAT-12

**1. Limite com L'Hospital.** $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ é da forma $\frac{0}{0}$. Derivando duas vezes: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$.

**2. Integral imprópria.** $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$, logo converge.

**3. Série de potências.** Para $\sum_{n\ge 1} \frac{x^n}{n}$, o teste da razão dá $|x| < 1$. Em $x = 1$ temos a série harmônica, que diverge; em $x = -1$ a série alternada converge pelo critério de Leibniz. O intervalo é $[-1, 1)$.

## Como ir bem na MAT-12

- **Não deixe a parte de séries para o fim.** Ela chega quando o semestre já está apertado e costuma pesar nas provas finais.
- **Leve as demonstrações a sério.** Teorema do Valor Médio, completude dos reais e Bolzano-Weierstrass aparecem como teoria, não só como ferramenta.
- **Automatize derivadas e primitivas** na [prática](/practice) para gastar o tempo de estudo com os problemas mais difíceis.
- **Use o [formulário](/formulas)** para revisar as séries de Taylor de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\ln(1+x)$.

> **Dica:** nas séries, siga sempre a mesma ordem: primeiro o critério do termo geral, depois compare com séries geométricas ou $p$-séries, e só então razão, raiz ou integral. O guia de [testes de convergência](/blog/convergence-tests) resume quando usar cada um.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT-12 do ITA?

É Cálculo Diferencial e Integral I, a disciplina de cálculo do 1º período do 1º Ano Fundamental, comum a todas as engenharias do ITA.

### A MAT-12 tem pré-requisito?

Não. O catálogo de graduação do ITA indica "Requisito: Não há".

### O que vem depois da MAT-12?

A MAT-22 (Cálculo Diferencial e Integral II), no 2º período, sobre funções de várias variáveis e integrais múltiplas. No 2º ano vem a MAT-36 (Cálculo Vetorial).

### Por que a MAT-12 parece tão pesada?

Porque junta num só semestre o cálculo de uma variável completo e ainda séries numéricas e de potências, com ênfase em demonstrações como o Teorema do Valor Médio e a completude dos reais.

### Como me preparar para a MAT-12?

Chegue com funções, exponenciais, logaritmos e trigonometria em dia. Depois treine limites e derivadas até ficarem rápidos, para sobrar tempo para a parte teórica e para as séries.