# MAT-22 ITA Cálculo II: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da MAT-22 do ITA (Cálculo Diferencial e Integral II): derivadas parciais, gradiente, Lagrange, Jacobiana e integrais múltiplas, com exercícios.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ita-mat-22
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** MAT-22
- **Carga semanal:** 4-0-0-5 (4 h de teoria e 5 h de estudo em casa por semana)
- **Período:** 1º Ano Fundamental, 2º período
- **Pré-requisitos:** MAT-12 Cálculo Diferencial e Integral I
- **Conteúdo:** Topologia no Rn, curvas parametrizadas, funções de várias variáveis, limite e continuidade, derivadas parciais e direcionais, diferenciabilidade, regra da cadeia, gradiente, Taylor, máximos, mínimos e pontos de sela, Lagrange, Jacobiana, funções implícita e inversa, integrais duplas e triplas, mudança de variáveis
- **Próxima disciplina:** MAT-36 Cálculo Vetorial
- **Pratique aqui:** [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) e [integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT-22 é o segundo cálculo do ITA, no 2º período do 1º Ano Fundamental, com MAT-12 como requisito.
- Trata de funções de várias variáveis: derivadas parciais, gradiente, extremos e multiplicadores de Lagrange.
- Inclui a matriz Jacobiana e os teoremas da função implícita e da função inversa.
- Fecha com integrais duplas e triplas, Fubini e mudança de variáveis em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

A **MAT-22 Cálculo Diferencial e Integral II** é a segunda disciplina de cálculo do ITA, oferecida no 2º período do 1º Ano Fundamental. O requisito é a MAT-12 e a carga semanal, pela convenção do catálogo, é 4-0-0-5: quatro horas de teoria e cinco de estudo em casa. Como as séries já ficaram na MAT-12, a MAT-22 entra direto no cálculo de várias variáveis. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT-22 cobre

A ementa oficial começa com **noções de topologia no $\mathbb{R}^n$** e **curvas parametrizadas**. Depois estuda funções de várias variáveis, curvas e superfícies de nível, limite e continuidade.

O núcleo da disciplina é o **cálculo diferencial**: derivadas direcionais e parciais, diferenciabilidade e diferencial, regra da cadeia, o vetor gradiente e sua interpretação, derivadas parciais de ordem superior, Fórmula de Taylor e pesquisa de máximos, mínimos e pontos de sela, e extremos condicionados com **multiplicadores de Lagrange**. A ementa também trata de transformações entre espaços reais, com a diferencial e a **matriz Jacobiana**, conjuntos de nível e os **teoremas da função implícita e da função inversa**.

A parte final é de **integrais múltiplas**: integral dupla e tripla, integral iterada e Teorema de Fubini, mudança de variáveis na integral, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, e aplicações.

Em termos internacionais, a MAT-22 corresponde às partes de derivadas parciais e integrais múltiplas de um **Calculus 3**, com um pouco mais de teoria (função implícita e inversa) do que é comum.

## Mapa de temas da MAT-22

| Tema da MAT-22 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Curvas parametrizadas | [Curvas e movimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Funções de várias variáveis, curvas de nível | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciais | [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Ordem superior | [Segundas derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Regra da cadeia | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Diferenciabilidade, plano tangente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation) |
| Gradiente e derivada direcional | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Máximos, mínimos e pontos de sela | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Integrais iteradas e Fubini | [Integrais iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Regiões gerais e troca de ordem | [Inverter a ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Coordenadas polares | [Integrais duplas em polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integral tripla, cilíndricas e esféricas | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Mudança de variáveis e Jacobiano | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |

## A sequência de cálculo do ITA

| Disciplina | Carga semanal | Foco |
| --- | --- | --- |
| [MAT-12 Cálculo I](/courses/ita-mat-12) | 5-0-0-5 | Uma variável, sequências e séries |
| MAT-22 Cálculo II | 4-0-0-5 | Várias variáveis, integrais múltiplas |
| [MAT-36 Cálculo Vetorial](/courses/ita-mat-36) | 3-0-0-3 | Integrais de linha e de superfície |

## Exemplos de exercícios no nível da MAT-22

**1. Gradiente.** Para $f(x,y) = x^2y + y^3$: $\nabla f = (2xy,\ x^2 + 3y^2)$. Em $(1,1)$ o gradiente é $(2, 4)$, e a derivada direcional máxima vale $|\nabla f| = 2\sqrt{5}$.

**2. Lagrange.** Maximizar $f = xy$ com $x + y = 10$: $\nabla f = \lambda \nabla g$ dá $y = \lambda$ e $x = \lambda$, logo $x = y = 5$ e o máximo é $25$.

**3. Coordenadas polares.**

$$\iint_{x^2+y^2\le 4} (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot 4 = 8\pi$$

## Como ir bem na MAT-22

- **Visualize antes de calcular.** Esboçar curvas de nível e regiões de integração evita a maioria dos erros de limites.
- **Não esqueça o Jacobiano.** O fator $r$ nas polares e $\rho^2\sin\varphi$ nas esféricas são os esquecimentos mais comuns.
- **Pratique derivadas parciais** na [prática](/practice) até não precisar pensar nelas.
- **Revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes das provas.

> **Dica:** nos teoremas da função implícita e da função inversa, a pergunta prática é sempre a mesma: o determinante da Jacobiana (ou a derivada parcial certa) é diferente de zero no ponto? Se for, a função se comporta bem localmente.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT-22 do ITA?

É Cálculo Diferencial e Integral II, a disciplina do 2º período do Curso Fundamental dedicada ao cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis.

### Qual é o pré-requisito da MAT-22?

A MAT-12 (Cálculo Diferencial e Integral I), segundo o catálogo de graduação do ITA.

### A MAT-22 inclui séries?

Não. No ITA as séries já são vistas na MAT-12. A MAT-22 começa direto em várias variáveis.

### O que vem depois da MAT-22?

A MAT-36 (Cálculo Vetorial), no 1º período do 2º ano, com integrais de linha e de superfície e os teoremas de Green, Gauss e Stokes.

### Como estudar para a MAT-22?

Treine derivadas parciais até ficarem automáticas, desenhe as regiões antes de montar qualquer integral dupla ou tripla e revise geometria analítica no espaço.