# MAT-36 ITA Cálculo Vetorial: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da MAT-36 do ITA (Cálculo Vetorial): curvas, integrais de linha, Green, superfícies, divergente, rotacional e teoremas de Gauss e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ita-mat-36
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** MAT-36
- **Carga semanal:** 3-0-0-3 (3 h de teoria e 3 h de estudo em casa por semana)
- **Período:** 2º Ano Fundamental, 1º período
- **Pré-requisitos:** MAT-22 Cálculo Diferencial e Integral II
- **Conteúdo:** Curvas no plano e no espaço, comprimento de arco, integrais de linha, teorema de Green, campos conservativos, superfícies parametrizadas, área de superfície, integrais de superfície, divergente e rotacional, teoremas de Gauss e Stokes, coordenadas curvilíneas ortogonais
- **Pratique aqui:** [Cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT-36 é o Cálculo Vetorial do ITA, no 1º período do 2º Ano Fundamental, com MAT-22 como requisito.
- Começa com curvas e integrais de linha, campos conservativos e o teorema de Green.
- Passa para superfícies parametrizadas, área e integrais de superfície, divergente, rotacional, Gauss e Stokes.
- Termina com gradiente, divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas curvilíneas ortogonais.

A **MAT-36 Cálculo Vetorial** fecha a sequência de cálculo do Curso Fundamental do ITA. É cursada no 1º período do 2º ano, junto com Equações Diferenciais Ordinárias (MAT-32), e tem a MAT-22 como requisito. A carga semanal no catálogo é 3-0-0-3: três horas de teoria e três de estudo em casa. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT-36 cobre

A ementa oficial começa com **curvas no plano e no espaço**: parametrização, curvas regulares, reparametrização, reta tangente e reta normal, orientação de uma curva regular e comprimento de arco. Depois vêm as **integrais de linha**, com suas propriedades, o **teorema de Green** e os **campos conservativos**.

A segunda parte trata de **superfícies no $\mathbb{R}^3$**: parametrização, superfícies regulares, plano tangente e reta normal, reparametrização e área de superfície, seguidas das **integrais de superfície**. O ponto alto é a dupla **divergente e rotacional** de um campo, com o **teorema de Gauss** (da divergência) e o **teorema de Stokes**.

A ementa termina com **coordenadas curvilíneas ortogonais**: elemento de volume e as expressões do gradiente, divergente, rotacional e laplaciano nesses sistemas de coordenadas, um tema que muitos cursos deixam de fora e que é muito usado em física.

Em termos internacionais, a MAT-36 corresponde à parte de cálculo vetorial de um **Calculus 3**.

## Mapa de temas da MAT-36

| Tema da MAT-36 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Curvas, tangente, comprimento de arco | [Curvas e movimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Campos vetoriais | [Campos vetoriais](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Integral de linha de função escalar | [Integrais de linha de funções](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integral de linha de campo (trabalho) | [Integrais de linha de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Projeções e trabalho](/learn/calculus-3/vectors-and-space/projections-and-work) |
| Campos conservativos | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Divergente e rotacional | [Rotacional e divergente](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Superfícies e integrais de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Teoremas de Gauss e Stokes | [Stokes e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem), [Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Coordenadas curvilíneas | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |

## A sequência de cálculo do ITA

| Disciplina | Carga semanal | Foco |
| --- | --- | --- |
| [MAT-12 Cálculo I](/courses/ita-mat-12) | 5-0-0-5 | Uma variável, sequências e séries |
| [MAT-22 Cálculo II](/courses/ita-mat-22) | 4-0-0-5 | Várias variáveis, integrais múltiplas |
| MAT-36 Cálculo Vetorial | 3-0-0-3 | Integrais de linha e de superfície |

## Exemplos de exercícios no nível da MAT-36

**1. Campo conservativo.** $\mathbf{F} = (2xy,\ x^2)$ tem $\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x = \frac{\partial}{\partial y}(2xy)$, então é conservativo com potencial $f = x^2y$. A integral de $(0,0)$ a $(1,2)$ vale $f(1,2) - f(0,0) = 2$, por qualquer caminho.

**2. Teorema de Green.** Para $\oint_C (-y\,dx + x\,dy)$ no círculo $x^2 + y^2 = 1$ orientado no sentido anti-horário:

$$\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \iint_D (1 - (-1))\,dA = 2\pi$$

**3. Divergência.** Para $\mathbf{F} = (x, y, z)$, $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3$. O fluxo para fora da esfera de raio $R$ é $3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$.

## Como ir bem na MAT-36

- **Cuide da orientação.** Sentido da curva e normal da superfície mudam o sinal do resultado; defina-os antes de calcular.
- **Pergunte primeiro se o campo é conservativo.** Quando é, a integral de linha vira uma diferença de potencial.
- **Escolha o teorema certo.** Superfície fechada sugere Gauss; curva que borda uma superfície sugere Stokes.
- **Pratique na [prática](/practice)** e revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) antes das provas.

> **Dica:** os três grandes teoremas dizem a mesma coisa: a integral de uma "derivada" sobre uma região é igual à integral da função na fronteira. Ver Green, Stokes e Gauss como versões do Teorema Fundamental do Cálculo ajuda a lembrar de cada um.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT-36 do ITA?

É a disciplina de Cálculo Vetorial do 2º ano do Curso Fundamental, que completa a sequência de cálculo com integrais de linha e de superfície e os grandes teoremas integrais.

### Qual é o pré-requisito da MAT-36?

A MAT-22 (Cálculo Diferencial e Integral II), segundo o catálogo de graduação do ITA.

### A MAT-36 é muito longa?

A carga é menor que a das anteriores (3-0-0-3), mas a ementa é densa. Ela é cursada no mesmo período que MAT-32 Equações Diferenciais Ordinárias.

### Onde a MAT-36 é usada depois?

Em eletromagnetismo, mecânica dos fluidos e em equações diferenciais parciais, que usam divergente, rotacional e laplaciano o tempo todo.

### Como estudar para a MAT-36?

Revise parametrizações e integrais múltiplas da MAT-22, depois treine integrais de linha e o teorema de Green antes de chegar às superfícies.