# MAT1162 PUC-Rio Cálculo a Várias Variáveis I: ementa e exercícios

> Guia da MAT1162 da PUC-Rio (Cálculo a Várias Variáveis I): derivadas parciais, pontos críticos, Lagrange e integrais duplas e triplas, com exercícios.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/puc-rio-mat1162
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** MAT1162
- **Créditos:** 4 créditos
- **Departamento:** Departamento de Matemática
- **Pré-requisitos:** Uma de: MAT1158, MAT1161, MAT1181 ou MAT1341
- **Ementa:** Continuidade e diferenciabilidade de funções de duas e três variáveis, gráfico, domínio e imagem, aproximação linear, classificação de pontos críticos, teorema de Weierstrass, multiplicadores de Lagrange, integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas
- **Disciplina anterior:** MAT1161 Cálculo de uma Variável
- **Pratique aqui:** [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) e [integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT1162 Cálculo a Várias Variáveis I é o segundo cálculo da PUC-Rio, com 4 créditos.
- Aceita como pré-requisito qualquer uma de MAT1158, MAT1161, MAT1181 ou MAT1341.
- Trata de funções de duas e três variáveis: diferenciabilidade, aproximação linear, pontos críticos e Lagrange.
- Termina com integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas.

A **MAT1162 Cálculo a Várias Variáveis I** é a disciplina da PUC-Rio que leva o cálculo de uma para duas e três variáveis. Oferecida pelo Departamento de Matemática, vale 4 créditos e, pelo catálogo oficial de ementas, aceita como pré-requisito qualquer uma de MAT1158, MAT1161, MAT1181 ou MAT1341. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT1162 cobre

A ementa começa com **funções de duas e três variáveis**: gráfico, domínio e imagem, e as noções de **continuidade** e **diferenciabilidade**. A partir daí vem a **aproximação linear**, que na prática é o plano tangente, e a **classificação de pontos críticos**.

Para extremos em regiões, a ementa usa o **teorema de Weierstrass**, que garante máximo e mínimo de uma função contínua num conjunto fechado e limitado, e os **multiplicadores de Lagrange**, para extremos com restrição.

A segunda metade é de **integrais duplas e triplas**, calculadas em coordenadas **cartesianas**, **polares**, **cilíndricas** e **esféricas**.

Em termos internacionais, a MAT1162 corresponde às partes de derivadas parciais e integrais múltiplas de um **Calculus 3**. O cálculo vetorial (integrais de linha e de superfície) não está na ementa.

## Mapa de temas da MAT1162

| Tema da MAT1162 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Gráfico, domínio e imagem | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Pontos e distâncias no espaço | [Pontos e distância](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Vetores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Derivadas parciais | [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Diferenciabilidade, regra da cadeia | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Aproximação linear | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation) |
| Gradiente | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Classificação de pontos críticos | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Teorema de Weierstrass | [Extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) | [Teorema do valor extremo](/theorems/extreme-value-theorem) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Integrais duplas cartesianas | [Regiões gerais](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Coordenadas polares | [Integrais duplas em polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais triplas | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Cilíndricas e esféricas | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) |

## A sequência de cálculo da PUC-Rio

| Disciplina | Créditos | Foco |
| --- | --- | --- |
| [MAT1161 Cálculo de uma Variável](/courses/puc-rio-mat1161) | 6 | Limites, derivadas, integral |
| MAT1162 Cálculo a Várias Variáveis I | 4 | Derivadas em várias variáveis, integrais múltiplas |

## Exemplos de exercícios no nível da MAT1162

**1. Aproximação linear.** Para $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ em $(3, 4)$: $f = 5$, $f_x = \frac{3}{5}$, $f_y = \frac{4}{5}$. Então $f(3{,}1;\ 3{,}9) \approx 5 + \frac{3}{5}(0{,}1) + \frac{4}{5}(-0{,}1) = 4{,}98$.

**2. Classificação.** $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ tem pontos críticos $(\pm 1, 0)$. Em $(1, 0)$: $f_{xx} = 6 > 0$ e $D = 6\cdot 2 > 0$, mínimo local. Em $(-1, 0)$: $D = -12 < 0$, ponto de sela.

**3. Coordenadas esféricas.** O volume da bola de raio $R$:

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3$$

## Como ir bem na MAT1162

- **Visualize gráficos e curvas de nível.** Muitas questões ficam claras com um bom desenho.
- **Para extremos em regiões, siga o roteiro de Weierstrass:** pontos críticos no interior, extremos na fronteira (com Lagrange ou parametrização) e compare os valores.
- **Lembre o Jacobiano:** $r$ em polares e cilíndricas, $\rho^2\sin\varphi$ em esféricas.
- **Pratique na [prática](/practice)** e revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Dica:** a aproximação linear em várias variáveis é a mesma ideia da reta tangente, só que com um termo para cada variável. Se você entende $f(a) + f'(a)(x - a)$, já entende o plano tangente.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT1162 da PUC-Rio?

É Cálculo a Várias Variáveis I, disciplina de 4 créditos do Departamento de Matemática da PUC-Rio sobre cálculo diferencial e integral de funções de duas e três variáveis.

### Qual é o pré-requisito da MAT1162?

Uma entre MAT1158, MAT1161, MAT1181 ou MAT1341, segundo o catálogo de ementas da PUC-Rio.

### A MAT1162 inclui integrais de linha e Green?

Não. A ementa vai até integrais duplas e triplas. Integrais de linha, de superfície e os teoremas de Green, Gauss e Stokes não aparecem nela.

### O que é o teorema de Weierstrass na MAT1162?

É o resultado que garante máximo e mínimo para uma função contínua num conjunto fechado e limitado. É a base para procurar extremos em regiões, testando pontos críticos e a fronteira.

### Como estudar para a MAT1162?

Revise derivadas e integrais da MAT1161, pratique derivadas parciais até ficarem automáticas e desenhe sempre a região antes de montar uma integral dupla ou tripla.