# MATA03 UFBA Cálculo B: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da MATA03 da UFBA (Cálculo B): aplicações da integral, curvas, polares, integrais duplas, derivadas parciais, Lagrange e teorema de Green.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufba-mata03
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** MATA03
- **Departamento:** Departamento de Matemática, Instituto de Matemática e Estatística
- **Carga horária:** 90 horas (teórica)
- **Pré-requisitos:** MATA01 Geometria Analítica e MATA02 Cálculo A
- **Vigência do programa:** 2023.1
- **Ementa:** Aplicações do cálculo integral de uma variável, funções de várias variáveis, limite e continuidade, derivadas parciais e direcionais, funções diferenciáveis, regra da cadeia, máximos e mínimos, integrais múltiplas e aplicações, curvas parametrizadas, campo vetorial, integrais de linha, teorema de Green
- **Disciplina anterior:** MATA02 Cálculo A
- **Próxima disciplina:** MATA04 Cálculo C
- **Pratique aqui:** [Cálculo 2](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) e [Cálculo 3](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives)

## Pontos principais

- MATA03 Cálculo B é o segundo cálculo da UFBA e vem depois de MATA02 Cálculo A.
- Começa com aplicações da integral, curvas parametrizadas e coordenadas polares.
- Trata de funções de duas variáveis: integrais duplas, derivadas parciais, extremos e multiplicadores de Lagrange.
- Termina com campos no plano, trabalho, fluxo e o teorema de Green em R2.

A **MATA03 Cálculo B** é a segunda disciplina de cálculo da Universidade Federal da Bahia, oferecida pelo Departamento de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística. Vem depois da MATA02 (Cálculo A) e reúne num só semestre as aplicações da integral e o cálculo de funções de duas variáveis. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

Segundo o programa oficial do componente curricular, vigente desde 2023.1, a MATA03 é uma disciplina teórica de 90 horas com pré-requisitos MATA01 Geometria Analítica e MATA02 Cálculo A. A ementa oficial resume o conteúdo; o mapa de temas abaixo detalha os tópicos que a página do Departamento de Matemática listava, como coordenadas polares e multiplicadores de Lagrange, que podem variar conforme o professor.

## O que a MATA03 cobre

A ementa começa com **aplicações da integral** à geometria e à mecânica, como áreas, volumes, comprimento de arco, centro de massa e trabalho. Em seguida trata de **curvas planas parametrizadas**, **coordenadas polares** e da integral de primeira espécie sobre curvas (integral de linha de uma função escalar).

Depois vem o cálculo de **funções de duas variáveis**. Primeiro a continuidade e a integração: **integrais duplas** em coordenadas cartesianas e polares e o Teorema de Fubini. Depois o cálculo diferencial: **derivadas parciais**, diferenciabilidade, **derivadas direcionais**, **máximos e mínimos**, **multiplicadores de Lagrange**, funções implícitas e curvas de nível.

A parte final trata de **campos planares**, da integral de segunda espécie (com interpretação como **trabalho** e **fluxo**) e do **teorema de Green** e da identidade de Green em $\mathbb{R}^2$.

Em termos internacionais, a MATA03 mistura as aplicações da integral e as polares de um Calculus 2 com a versão bidimensional de um **Calculus 3**.

## Mapa de temas da MATA03

| Tema da MATA03 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Áreas e volumes | [Área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |
| Comprimento de arco | [Comprimento de arco e área de superfície](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/arc-length-and-surface-area) | [Área entre curvas](/blog/area-between-curves) |
| Aplicações à mecânica | [Centro de massa](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/center-of-mass) | [Trabalho](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/work) |
| Curvas parametrizadas | [Curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) | [Comprimento de arco paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) |
| Coordenadas polares | [Coordenadas polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-coordinates) | [Área em polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |
| Integral sobre curvas | [Integrais de linha de funções](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais duplas e Fubini | [Integrais iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais duplas em polares | [Integrais duplas em polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Derivadas parciais | [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas direcionais | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Máximos e mínimos | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Funções implícitas | [Derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) |
| Trabalho e fluxo, Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |

## A sequência de cálculo da UFBA

| Disciplina | Foco |
| --- | --- |
| [MATA02 Cálculo A](/courses/ufba-mata02) | Uma variável: limites, derivadas, integral |
| MATA03 Cálculo B | Aplicações da integral, polares, duas variáveis, Green |
| [MATA04 Cálculo C](/courses/ufba-mata04) | EDOs, Laplace, séries |

## Exemplos de exercícios no nível da MATA03

**1. Área em polares.** A área dentro da cardioide $r = 1 + \cos\theta$ é

$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\left(2\pi + \pi\right) = \frac{3\pi}{2}$$

**2. Extremos.** Para $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$: $f_x = 2x - 2 = 0$ e $f_y = 2y = 0$ dão o ponto crítico $(1, 0)$. Como $f_{xx} = 2 > 0$ e $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 > 0$, é um mínimo, com valor $-1$.

**3. Green.** A área de uma região $D$ é $\frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,dy - y\,dx)$. Para o círculo de raio $a$, com $x = a\cos t$ e $y = a\sin t$, o resultado é $\pi a^2$.

## Como ir bem na MATA03

- **Desenhe a curva ou a região** antes de montar qualquer integral. Em polares, isso evita limites errados.
- **Não esqueça o fator $r$** nas integrais duplas em polares.
- **Pratique derivadas parciais** na [prática](/practice) até ficarem automáticas.
- **Revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes das provas.

> **Dica:** o teorema de Green troca uma integral sobre a fronteira por uma integral dupla sobre a região. Quando a curva é fechada e a integral de linha parece trabalhosa, tente Green primeiro.

## Perguntas frequentes

### O que é a MATA03 da UFBA?

É Cálculo B, a segunda disciplina de cálculo da UFBA. Une as aplicações da integral de uma variável ao cálculo diferencial e integral de funções de duas variáveis.

### A MATA03 tem pré-requisito?

Sim. O programa oficial (vigente desde 2023.1) exige MATA01 Geometria Analítica e MATA02 Cálculo A.

### A MATA03 trabalha com três variáveis?

A ementa fala em funções de duas variáveis, integrais duplas e campos planares, com o teorema de Green em R2. Integrais triplas, Gauss e Stokes não aparecem na ementa.

### O que vem depois da MATA03?

A MATA04 (Cálculo C), com equações diferenciais ordinárias, transformada de Laplace e séries.

### Como estudar para a MATA03?

Revise integrais e primitivas da MATA02, desenhe sempre curvas e regiões antes de montar integrais e pratique derivadas parciais com frequência.