# CB0707 UFC Cálculo Fundamental III: ementa, guia e exercícios

> Guia de Cálculo Fundamental III (CB0707) da UFC: extremos condicionados, rotacional, divergente, integrais múltiplas e teoremas de Green, Gauss e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufc-cb0707
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** CB0707
- **Créditos:** 4 créditos teóricos
- **Departamento:** Departamento de Matemática, Centro de Ciências
- **Pré-requisitos:** Cálculo Fundamental II (CB0705)
- **Conteúdo:** Revisão de diferenciabilidade, máximos e mínimos livres e condicionados, campos conservativos, lema de Poincaré, rotacional, divergente, laplaciano, EDPs da Física Matemática, integrais de linha, integrais múltiplas, integrais de superfície, teoremas de Green, Gauss, Stokes e Cauchy
- **Pratique aqui:** [Integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- Cálculo Fundamental III (CB0707) é o terceiro cálculo do Departamento de Matemática da UFC, com CB0705 como pré-requisito.
- A primeira parte trata de extremos livres e condicionados, campos conservativos e dos operadores rotacional, divergente e laplaciano.
- A segunda parte reúne integrais múltiplas, de linha e de superfície com os teoremas de Green, Gauss e Stokes.
- O programa liga tudo à física: EDPs da Física Matemática, potencial, eletromagnetismo e fluidos.

**Cálculo Fundamental III (CB0707)** é a terceira disciplina de cálculo do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará. A ementa oficial, preparada para Engenharia Elétrica, indica 4 créditos teóricos e Cálculo Fundamental II como pré-requisito. É a disciplina que reúne integrais múltiplas e cálculo vetorial. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

## O que a CB0707 cobre

A ementa está em duas partes. A **primeira parte** começa com uma revisão de diferenciabilidade de funções e aplicações de várias variáveis e segue para problemas de **máximos e mínimos**, incluindo **máximos e mínimos condicionados**. Depois vêm os **campos vetoriais**: campos conservativos, o lema de Poincaré, EDPs de primeira ordem, o **rotacional** e o **divergente** com interpretações geométrica e física, e o **laplaciano**. A parte fecha com as equações diferenciais parciais da Física Matemática, deduzidas a partir de pressupostos físicos ou variacionais.

A **segunda parte** trata de **integrais de linha**, **integrais múltiplas** e **integrais de superfície**, e da análise vetorial com os **teoremas de Green, Gauss, Stokes e Cauchy**. As aplicações citadas são a teoria do potencial, o eletromagnetismo e a mecânica dos fluidos.

Em termos internacionais, a CB0707 corresponde à segunda metade de um **Calculus 3**: extremos condicionados, integrais múltiplas e cálculo vetorial, com mais ligação à física do que é comum.

## Mapa de temas da CB0707

| Tema da CB0707 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Máximos e mínimos | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Extremos condicionados | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Campos vetoriais | [Campos vetoriais](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Campos conservativos, Poincaré | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Rotacional, divergente, laplaciano | [Rotacional e divergente](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Integrais de linha | [Integrais de linha de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais duplas | [Regiões gerais](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais triplas | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Mudança de coordenadas | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Teoremas de Gauss e Stokes | [Stokes e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem), [Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

O teorema de Cauchy (da análise complexa) e a dedução das EDPs da Física Matemática não têm lição própria aqui; use o material da disciplina para esses tópicos.

## A sequência de cálculo da UFC

| Disciplina | Créditos | Foco |
| --- | --- | --- |
| [CB0704 Cálculo Fundamental I](/courses/ufc-cb0704) | 4 | Uma variável |
| [CB0705 Cálculo Fundamental II](/courses/ufc-cb0705) | 4 | Técnicas de integração, várias variáveis |
| CB0707 Cálculo Fundamental III | 4 | Extremos, operadores vetoriais, Green, Gauss, Stokes |

## Exemplos de exercícios no nível da CB0707

**1. Rotacional.** Para $\mathbf{F} = (yz,\ xz,\ xy)$, $\nabla\times\mathbf{F} = (x - x,\ y - y,\ z - z) = \mathbf{0}$, então o campo é conservativo, com potencial $f = xyz$.

**2. Integral dupla.** Sobre o triângulo $0 \le y \le x \le 1$:

$$\iint_D xy\,dA = \int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}$$

**3. Lagrange.** Minimizar $x^2 + y^2$ sujeito a $x + 2y = 5$: $(2x, 2y) = \lambda(1, 2)$ dá $y = 2x$, então $x = 1$, $y = 2$ e o mínimo é $5$.

## Como ir bem na CB0707

- **Entenda o sentido físico dos operadores.** Divergente mede fonte, rotacional mede giro; isso ajuda a escolher entre Gauss e Stokes.
- **Desenhe a região** antes de montar qualquer integral múltipla.
- **Teste se o campo é conservativo** antes de parametrizar uma curva: pode poupar todo o cálculo.
- **Pratique na [prática](/practice)** e revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) antes das provas.

> **Dica:** Green, Gauss e Stokes são versões do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões maiores: a integral de uma derivada sobre uma região é igual a uma integral sobre a fronteira. Pensar assim torna os enunciados fáceis de lembrar.

## Perguntas frequentes

### O que é a CB0707 da UFC?

É Cálculo Fundamental III, disciplina de 4 créditos do Departamento de Matemática da UFC que completa o cálculo de várias variáveis e o cálculo vetorial.

### Qual é o pré-requisito da CB0707?

Cálculo Fundamental II (CB0705), conforme a ementa oficial.

### As integrais duplas e triplas ficam na CB0707?

Sim. Na sequência da UFC, as integrais múltiplas aparecem na segunda parte da CB0707, junto com integrais de linha e de superfície.

### O que a CB0707 tem de diferente?

Além do cálculo vetorial clássico, a ementa inclui o lema de Poincaré, a dedução de EDPs da Física Matemática e o teorema de Cauchy, com aplicações à teoria do potencial, ao eletromagnetismo e à mecânica dos fluidos.

### Como estudar para a CB0707?

Revise derivadas parciais e gradiente da CB0705, treine a montagem de integrais duplas e triplas e só então passe às integrais de linha e de superfície.