# MAT002 UFMG Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo da MAT002 da UFMG (Cálculo III): integrais de funções de várias variáveis, integrais de linha e de superfície e teoremas de Gauss e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufmg-mat002
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** MAT002
- **Créditos:** 4 créditos (60 horas)
- **Pré-requisitos:** MAT039
- **Conteúdo:** Integração de funções de duas ou mais variáveis, integrais de linha e de superfície, teoremas de Gauss e de Stokes
- **Pratique aqui:** [Integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT002 é o Cálculo III da UFMG, com 4 créditos e 60 horas, e tem a MAT039 como pré-requisito.
- A ementa trata de integração de funções de duas ou mais variáveis, integrais de linha e de superfície e dos teoremas de Gauss e Stokes.
- Corresponde à parte integral e vetorial de um Calculus 3 internacional.
- No curso de Física, a MAT002 é pré-requisito de disciplinas como Análise I e Introdução à Geometria Diferencial.

A **MAT002 Cálculo Diferencial e Integral III** é a terceira disciplina de cálculo da UFMG, cursada depois da MAT039 por engenharias, Física, Matemática e outros cursos de exatas. Ela trata da integração em várias variáveis e termina nos teoremas de Gauss e Stokes. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT002 cobre

O ementário do curso de Física da UFMG descreve a MAT002 com três itens: integração de funções de duas ou mais variáveis, integrais de linha e de superfície, e os teoremas de Gauss e de Stokes. A disciplina tem 4 créditos e 60 horas, é obrigatória no terceiro período do curso de Física e exige a MAT039.

Na prática, isso inclui integrais duplas e triplas, mudanças de coordenadas, integrais de linha de campos escalares e vetoriais, campos conservativos, Teorema de Green, integrais de superfície e fluxo, e os teoremas da divergência (Gauss) e de Stokes. É a metade integral de um **Calculus 3** internacional.

## Mapa de temas da MAT002

| Tema da MAT002 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Integrais duplas | [Integrais duplas em retângulos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Troca da ordem de integração | [Trocando a ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Coordenadas polares | [Integrais duplas em polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais triplas | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |
| Cilíndricas, esféricas e jacobiano | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Regra da substituição](/rules/u-substitution-rule) |
| Campos vetoriais | [Campos vetoriais](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | [Vetores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Integrais de linha | [Trabalho e integrais de linha](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Campos conservativos e Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Teorema da Divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Teoremas de Gauss e Stokes | [Stokes e Divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## MAT002 na sequência da UFMG

| Disciplina | Pré-requisito | Foco |
| --- | --- | --- |
| [MAT001 Cálculo I](/courses/ufmg-mat001) | Nenhum | Uma variável |
| [MAT039 Cálculo II](/courses/ufmg-mat039) | MAT001 | Séries e derivadas em várias variáveis |
| MAT002 Cálculo III | MAT039 | Integrais múltiplas e teoremas vetoriais |

O gradiente e as superfícies quádricas da MAT039 são usados o tempo todo aqui: o gradiente reaparece nos campos conservativos, e as quádricas são as regiões e superfícies sobre as quais se integra.

## Exemplos de exercícios no nível da MAT002

**1. Troca da ordem de integração.** A integral $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ não tem primitiva elementar em $y$, mas trocando a ordem:

$$\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \frac{e - 1}{2}$$

**2. Cilíndricas.** O volume dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 1$ entre $z = 0$ e $z = 3$:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3 r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = 3\pi$$

**3. Teorema de Gauss.** Para $F = (x, y, z)$ e a bola de raio $2$, $\nabla \cdot F = 3$, então o fluxo para fora é

$$\iiint_B 3\,dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi (2)^3 = 32\pi$$

## Como ir bem na MAT002

- **Desenhe a região antes de qualquer conta.** É ali que nascem os limites de integração.
- **Escolha bem as coordenadas.** Simetria circular pede polares ou cilíndricas; simetria esférica pede esféricas. Treine na [prática](/practice).
- **Verifique a orientação** de curvas e superfícies antes de aplicar Green, Gauss ou Stokes.
- **Revise primitivas** no [formulário](/formulas): toda integral múltipla termina em integrais simples.

> **Dica:** quando uma integral dupla parecer impossível, tente trocar a ordem de integração antes de procurar outra técnica, como no primeiro exemplo acima.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT002 da UFMG?

É a disciplina Cálculo Diferencial e Integral III, dedicada à integração de funções de várias variáveis, às integrais de linha e de superfície e aos teoremas de Gauss e Stokes.

### Qual o pré-requisito da MAT002?

A MAT039 (Cálculo Diferencial e Integral II), segundo o ementário do curso de Física da UFMG.

### A MAT002 é difícil?

Ela pede visualização em três dimensões e boa escolha de coordenadas e parametrizações. Desenhar cada região e cada superfície antes de calcular reduz muito os erros.

### Como estudar para a MAT002?

Revise derivadas parciais, gradiente e quádricas da MAT039 e integração da MAT001. Depois pratique integrais duplas e triplas até a montagem dos limites ficar natural, e só então os teoremas.