# MAT039 UFMG Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo da MAT039 da UFMG (Cálculo II): séries, séries de potências, Fórmula de Taylor, cônicas, coordenadas polares e derivadas em várias variáveis.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufmg-mat039
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** MAT039
- **Créditos:** 4 créditos (60 horas)
- **Pré-requisitos:** MAT001 e MAT105, segundo o programa do Departamento de Matemática
- **Conteúdo:** Sequências e séries numéricas, séries de potências, Fórmula de Taylor, cônicas e coordenadas polares, funções de várias variáveis, derivadas parciais, gradiente, plano tangente, máximos e mínimos livres e condicionados
- **Próxima disciplina:** MAT002 Cálculo Diferencial e Integral III
- **Pratique aqui:** [Sequências e séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) do Cálculo 2 e [derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT039 é o Cálculo II da UFMG, com 4 créditos e 60 horas.
- Combina temas de um Cálculo 2 (séries, Taylor, coordenadas polares) com a parte diferencial de um Cálculo 3.
- Inclui cônicas, superfícies quádricas, derivadas parciais, gradiente e extremos condicionados.
- É pré-requisito da MAT002 (Cálculo III).

A **MAT039 Cálculo Diferencial e Integral II** é a segunda disciplina de cálculo da UFMG. Em 60 horas, ela fecha o cálculo de uma variável com séries e a Fórmula de Taylor e abre o cálculo de várias variáveis com derivadas parciais e otimização. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT039 cobre

O programa do Departamento de Matemática lista seis blocos. Sequências numéricas (limites, sequências monótonas e limitadas) e séries numéricas (série geométrica e harmônica, critérios para séries de termos positivos e alternadas, convergência absoluta e condicional). Séries de potências (raio e intervalo de convergência, derivação e integração termo a termo, desenvolvimentos de $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln(1+x)$). A Fórmula de Taylor com avaliação do resto. Seções cônicas e coordenadas polares, com áreas e comprimentos de curvas.

O último bloco é o de funções reais de várias variáveis: domínios, gráficos, superfícies de nível, superfícies cilíndricas e quádricas, limite e continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e reta normal, derivadas de ordem superior e o teorema da inversão da ordem de derivação, regra da cadeia e derivação implícita, derivada direcional e gradiente, máximos e mínimos locais, absolutos e condicionados.

Em termos internacionais, a MAT039 é a segunda metade de um **Calculus 2** mais a parte diferencial de um **Calculus 3**.

## Mapa de temas da MAT039

| Tema da MAT039 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Sequências | [Sequências e limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Limites no infinito](/blog/limits-at-infinity) |
| Séries geométrica e harmônica | [Série geométrica](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) | [Série geométrica](/blog/geometric-series), [teste do termo geral](/rules/nth-term-test) |
| Critérios de convergência | [Testes de comparação](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) | [Testes de convergência](/blog/convergence-tests) |
| Séries alternadas | [Séries alternadas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Teste da série alternada](/rules/alternating-series-test) |
| Séries de potências | [Raio de convergência](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries de potências](/blog/power-series) |
| Fórmula e séries de Taylor | [Estimando com Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series), [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Coordenadas polares | [Área em coordenadas polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) | [Área entre curvas](/blog/area-between-curves) |
| Funções de várias variáveis | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciais e ordem de derivação | [Derivadas de segunda ordem](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Plano tangente e gradiente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Gradiente e derivadas direcionais](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Máximos e mínimos condicionados | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |

## MAT039 na sequência da UFMG

| Disciplina | Pré-requisito | Foco |
| --- | --- | --- |
| [MAT001 Cálculo I](/courses/ufmg-mat001) | Nenhum | Uma variável |
| MAT039 Cálculo II | MAT001 | Séries, Taylor, polares, derivadas em várias variáveis |
| [MAT002 Cálculo III](/courses/ufmg-mat002) | MAT039 | Integração em várias variáveis |

Na UFMG, a MAT039 também é pré-requisito de disciplinas de equações diferenciais, como a MAT015 no curso de Física.

## Exemplos de exercícios no nível da MAT039

**1. Série geométrica.**

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^n} = \frac{2}{1 - 1/3} = 3$$

**2. Raio de convergência.** Para $\sum \frac{x^n}{n \, 2^n}$, o teste da razão dá $\lim \frac{|x|}{2} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{|x|}{2}$, logo o raio é $R = 2$.

**3. Plano tangente.** Para $z = x^2 + y^2$ no ponto $(1, 2, 5)$: $z_x = 2$, $z_y = 4$, e

$$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$$

## Como ir bem na MAT039

- **Separe os blocos no estudo.** Séries, polares e várias variáveis usam técnicas bem diferentes; pratique cada um na [prática](/practice).
- **Monte uma tabela de séries de Maclaurin** e confira no [formulário](/formulas).
- **Desenhe curvas de nível e quádricas.** Visualizar ajuda muito no gradiente e nos extremos.
- **Cuidado com o teste do termo geral:** ele só prova divergência. Os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) explicam essa e outras armadilhas.

> **Dica:** quase todo critério de convergência compara a série com uma série geométrica. Comece pela [fórmula da série geométrica](/rules/geometric-series-formula).

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT039 da UFMG?

É a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II: sequências e séries, séries de potências, Fórmula de Taylor, cônicas, coordenadas polares e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

### Quais os pré-requisitos da MAT039?

O programa do Departamento de Matemática lista MAT001 e MAT105. O ementário do curso de Física indica MAT001 como pré-requisito, então confira a grade do seu curso.

### O que vem depois da MAT039?

A MAT002 (Cálculo Diferencial e Integral III), que tem a MAT039 como pré-requisito e trata de integração em várias variáveis e dos teoremas de Gauss e Stokes.

### A MAT039 é difícil?

A dificuldade vem da variedade: séries, geometria plana e várias variáveis em 60 horas. Estudar cada bloco com exercícios próprios ajuda a não misturar técnicas.

### Como estudar para a MAT039?

Revise limites e derivadas da MAT001, pratique a escolha de testes de convergência e depois treine derivadas parciais e o cálculo do gradiente.