# CM042 UFPR Cálculo II: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da CM042 da UFPR (Cálculo II): funções vetoriais, derivadas parciais, Lagrange, integrais múltiplas e teoremas de Green, Gauss e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufpr-cm042
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** CM042
- **Créditos:** 6 créditos (6 aulas semanais, 90 aulas no semestre)
- **Departamento:** Departamento de Matemática, Setor de Ciências Exatas
- **Pré-requisitos:** Cálculo I (CM041)
- **Conteúdo:** Funções vetoriais, comprimento de arco e curvatura, limites e continuidade em várias variáveis, derivadas parciais e direcionais, gradiente, planos tangentes, extremos, funções implícitas, multiplicadores de Lagrange, diferencial exata, integrais duplas e triplas, mudança de variáveis, campos vetoriais, integrais de linha e de superfície, teoremas de Green, Gauss e Stokes
- **Próxima disciplina:** CM043 Cálculo III
- **Pratique aqui:** [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), [integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- CM042 é o Cálculo II da UFPR, do Departamento de Matemática, com 6 créditos e 90 aulas semestrais.
- O pré-requisito é Cálculo I (CM041).
- Cobre todo o cálculo de várias variáveis: derivadas parciais, extremos, Lagrange e integrais múltiplas.
- Termina com cálculo vetorial e os teoremas de Green, Gauss e Stokes, ou seja, um Calculus 3 completo.

A **CM042 Cálculo II** é a disciplina de cálculo em várias variáveis do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná. Pela ficha da disciplina, tem 6 aulas semanais, 6 créditos e 90 aulas no semestre, e o pré-requisito é Cálculo I. A ementa foi aprovada pela Resolução nº 81/96-CEP. Este guia associa cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que a CM042 cobre

O programa oficial tem cinco itens. O primeiro trata de **funções vetoriais de uma variável real**: limites, derivadas e integrais, comprimento de arco, vetores unitários tangente e normal com interpretação física, comprimento de arco como parâmetro e **curvatura**.

O segundo é o **cálculo diferencial de funções de mais de uma variável**: limites e continuidade, gráfico e curvas de nível, **derivadas parciais** e diferenciabilidade, regra da cadeia, derivadas de ordem superior, **derivadas direcionais e gradiente**, planos tangentes e normais a superfícies, **extremos**, derivação de funções implícitas, **multiplicadores de Lagrange** e a obtenção de uma função a partir do seu gradiente (diferencial exata).

O terceiro é a **integração múltipla**: integrais duplas com cálculo de áreas e volumes, integração tripla e mudança de variáveis. O quarto é o **cálculo vetorial**: campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfície e os **teoremas de Green, Gauss e Stokes**. O quinto, "Tópicos de Cálculo", fica a critério do professor.

Em termos internacionais, a CM042 corresponde a um **Calculus 3** completo.

## Mapa de temas da CM042

| Tema da CM042 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Funções vetoriais, curvatura | [Curvas e movimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Funções de várias variáveis, curvas de nível | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciais | [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Regra da cadeia | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Ordem superior | [Segundas derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Gradiente e derivadas direcionais | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Planos tangentes | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation) |
| Extremos | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Integrais duplas, áreas e volumes | [Aplicações de integrais duplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integração tripla | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Mudança de variáveis | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Campos e integrais de linha | [Integrais de linha de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais de superfície, Gauss e Stokes | [Stokes e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem), [Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## A sequência de cálculo da UFPR

| Disciplina | Créditos | Foco |
| --- | --- | --- |
| CM041 Cálculo I | | Uma variável |
| CM042 Cálculo II | 6 (90 aulas) | Várias variáveis e cálculo vetorial |
| [CM043 Cálculo III](/courses/ufpr-cm043) | 4 (60 aulas) | Séries, EDOs, transformada de Laplace |

## Exemplos de exercícios no nível da CM042

**1. Curvatura.** Para o círculo $\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $|\mathbf{r}'| = R$ e $|\mathbf{T}'| = 1$, então $\kappa = \frac{1}{R}$: quanto maior o círculo, menor a curvatura.

**2. Diferencial exata.** $\nabla f = (2x + y,\ x + 3y^2)$. Integrando em $x$: $f = x^2 + xy + g(y)$; derivando em $y$: $x + g'(y) = x + 3y^2$, logo $f = x^2 + xy + y^3 + C$.

**3. Integral tripla.** O volume do tetraedro $x, y, z \ge 0$, $x + y + z \le 1$ é

$$\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \frac{1}{6}$$

## Como ir bem na CM042

- **Mantenha o ritmo.** O programa é longo e cada parte usa a anterior.
- **Desenhe regiões e superfícies** antes de montar integrais.
- **Pratique derivadas parciais** na [prática](/practice) para ganhar tempo nas partes finais.
- **Revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes das provas.

> **Dica:** "obter uma função a partir do seu gradiente" e "campo conservativo" são a mesma ideia. Se você domina a primeira, a integral de linha de um campo conservativo vira só $f(B) - f(A)$.

## Perguntas frequentes

### O que é a CM042 da UFPR?

É Cálculo II, disciplina de 6 créditos do Departamento de Matemática da UFPR sobre funções vetoriais, cálculo diferencial de várias variáveis, integração múltipla e cálculo vetorial.

### Qual é o pré-requisito da CM042?

Cálculo I, conforme a ficha da disciplina.

### A CM042 tem séries?

Não. Na UFPR as séries numéricas e de potências ficam na CM043 (Cálculo III), junto com equações diferenciais e transformada de Laplace.

### A CM042 é pesada?

É longa: num semestre de 90 aulas cobre o que muitas universidades dividem em duas disciplinas, de derivadas parciais até os teoremas de Gauss e Stokes. Manter o ritmo desde a primeira semana é essencial.

### Como estudar para a CM042?

Revise vetores e geometria analítica, treine derivadas parciais até ficarem automáticas e desenhe sempre as regiões antes de montar integrais múltiplas.