# CM043 UFPR Cálculo III: ementa, guia de estudo e exercícios

> Guia da CM043 da UFPR (Cálculo III): séries numéricas e de potências, Taylor, equações diferenciais ordinárias e transformada de Laplace.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufpr-cm043
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Código:** CM043
- **Créditos:** 4 créditos (4 aulas semanais, 60 aulas no semestre)
- **Departamento:** Departamento de Matemática, Setor de Ciências Exatas
- **Pré-requisitos:** Cálculo II e Álgebra Linear
- **Conteúdo:** Séries numéricas, critérios de comparação, razão e raiz, séries de potências e de Taylor, raio de convergência, EDOs, existência e unicidade, equações de segunda ordem, Wronskiano, coeficientes a determinar, variação de parâmetros, soluções em séries, Frobenius, sistemas lineares, transformada de Laplace
- **Disciplina anterior:** CM042 Cálculo II
- **Pratique aqui:** [Sequências e séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) e [séries de potências](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) do Cálculo 2

## Pontos principais

- CM043 é o Cálculo III da UFPR, do Departamento de Matemática, com 4 créditos e 60 aulas semestrais.
- Os pré-requisitos são Cálculo II e Álgebra Linear.
- Começa com séries numéricas e de potências, incluindo séries de Taylor e raio de convergência.
- A maior parte do programa é de equações diferenciais ordinárias, sistemas lineares e transformada de Laplace.

A **CM043 Cálculo III** é a terceira disciplina de cálculo do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná. Pela ficha da disciplina, tem 4 aulas semanais, 4 créditos e 60 aulas no semestre, e os pré-requisitos são Cálculo II e Álgebra Linear. A ementa foi aprovada pela Resolução nº 81/96-CEP. Este guia associa cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que a CM043 cobre

O programa oficial tem quatro itens. O primeiro trata de **séries numéricas e de potências**: convergência, critérios de comparação, da razão e da raiz, séries de potências, séries de potências como **séries de Taylor** e **raio de convergência**.

O segundo, o mais longo, é de **equações diferenciais ordinárias**: o teorema de existência e unicidade e suas consequências, equações de segunda ordem, equações homogêneas com coeficientes constantes, soluções fundamentais, independência linear e **Wronskiano**, equação característica, **método dos coeficientes a determinar** e **variação de parâmetros**. Segue a solução em séries de equações lineares, pelo método das séries de potências e pelo **método de Frobenius**, com as equações de Euler, Legendre e Bessel. O item fecha com **sistemas de EDOs lineares de primeira ordem**, autovalores e sistemas não homogêneos.

O terceiro trata da **transformada de Laplace**: transformação integral, transformadas de funções elementares, inversas imediatas, convolução e aplicações. O quarto, "Tópicos de Cálculo", fica a critério do professor.

Em termos internacionais, a parte de séries corresponde ao final de um **Calculus 2**; o restante equivale a uma disciplina de equações diferenciais.

## Mapa de temas da CM043

| Tema da CM043 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Séries numéricas | [Séries e somas parciais](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) | [Série geométrica](/blog/geometric-series), [fórmula](/rules/geometric-series-formula) |
| Convergência, termo geral | [Teste do termo geral](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) | [Teste do termo geral](/rules/nth-term-test) |
| Critérios de comparação | [Testes de comparação](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) | [Testes de convergência](/blog/convergence-tests) |
| Critérios da razão e da raiz | [Testes da razão e da raiz](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Teste da razão](/rules/ratio-test) |
| Séries de potências, raio | [Raio de convergência](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries de potências](/blog/power-series) |
| Séries de Taylor | [Séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series), [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| EDOs de primeira ordem | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Crescimento e decaimento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Comportamento das soluções | [Campos de direções](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) | [Crescimento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) |
| Integrais para Laplace | [Limites de integração infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrais impróprias](/blog/improper-integrals) |
| Inversa de Laplace | [Frações parciais](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Frações parciais](/blog/partial-fractions) |

Equações de segunda ordem, Wronskiano, Frobenius e sistemas lineares não têm lição própria aqui; as lições acima cobrem as ferramentas de cálculo que esses métodos usam.

## A sequência de cálculo da UFPR

| Disciplina | Créditos | Foco |
| --- | --- | --- |
| CM041 Cálculo I | | Uma variável |
| [CM042 Cálculo II](/courses/ufpr-cm042) | 6 (90 aulas) | Várias variáveis e cálculo vetorial |
| CM043 Cálculo III | 4 (60 aulas) | Séries, EDOs, transformada de Laplace |

## Exemplos de exercícios no nível da CM043

**1. Critério da razão.** Para $\sum \frac{n}{2^n}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$, então a série converge.

**2. Coeficientes constantes.** $y'' - 3y' + 2y = 0$ tem equação característica $r^2 - 3r + 2 = 0$, com raízes $1$ e $2$. A solução geral é $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$.

**3. Transformada de Laplace.** Para $y' + y = 0$ com $y(0) = 2$: $sY - 2 + Y = 0$, logo $Y = \frac{2}{s+1}$ e $y = 2e^{-t}$.

$$\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s) = \int_0^\infty e^{-(s+1)t}\,dt = \frac{1}{s+1}$$

## Como ir bem na CM043

- **Tenha um roteiro para séries:** termo geral, comparação com geométrica ou $p$-série, depois razão ou raiz.
- **Revise frações parciais e autovalores** antes da parte de Laplace e sistemas.
- **Treine na [prática](/practice)** e consulte o [formulário](/formulas) para as séries de Taylor clássicas.
- **Revise os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes das provas.

> **Dica:** a transformada de Laplace troca derivadas por multiplicação por $s$. Uma EDO com coeficientes constantes vira uma equação algébrica em $Y(s)$; a parte difícil costuma ser só a decomposição em frações parciais para voltar.

## Perguntas frequentes

### O que é a CM043 da UFPR?

É Cálculo III, disciplina de 4 créditos do Departamento de Matemática da UFPR sobre séries, equações diferenciais ordinárias e transformada de Laplace.

### Quais são os pré-requisitos da CM043?

Cálculo II e Álgebra Linear, conforme a ficha da disciplina. Álgebra Linear é usada nos sistemas de EDOs, com autovalores.

### Por que este guia trata a CM043 como Cálculo 2?

Porque séries numéricas, séries de potências e séries de Taylor são temas típicos de um Calculus 2 internacional. A parte de EDOs equivale a uma disciplina de equações diferenciais.

### A CM043 é difícil?

A parte de séries pede atenção para escolher o critério certo; a de EDOs pede muita prática de cálculo. Frações parciais e integração por partes voltam o tempo todo.

### Como estudar para a CM043?

Revise técnicas de integração e autovalores. Depois treine os critérios de convergência com exercícios curtos e resolva muitas EDOs de segunda ordem.