# MAC128 UFRJ Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios > Guia de estudo da MAC128 da UFRJ (Cálculo II): EDOs de 1ª e 2ª ordem, funções vetoriais, curvas, comprimento de arco, retas, planos e superfícies. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufrj-mac128 Atualizado: 2026-11-03 ## Visão geral - **Código:** MAC128 - **Período:** 2º período (no plano de ensino do Instituto de Química) - **Conteúdo:** EDOs de 1ª ordem (separáveis e lineares), EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, funções vetoriais, curvas paramétricas, velocidade e aceleração, comprimento de arco, vetores, retas e planos no espaço, cilindros e superfícies de revolução - **Próxima disciplina:** MAC238 Cálculo Diferencial e Integral III - **Pratique aqui:** [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations), [curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) e [vetores no espaço](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) ## Pontos principais - MAC128 é o Cálculo Diferencial e Integral II da UFRJ, cursado no segundo período. - O plano de ensino divide o semestre entre equações diferenciais ordinárias e curvas e vetores no plano e no espaço. - É diferente de um Cálculo 2 americano: em vez de séries, começa por EDOs e prepara a geometria do espaço para a MAC238. - A MAC128 é pré-requisito da MAC238 (Cálculo III). A **MAC128 Cálculo Diferencial e Integral II** é a segunda disciplina de cálculo da UFRJ, cursada no segundo período. Ela tem uma organização diferente da maioria dos Cálculo 2: a primeira metade é dedicada a equações diferenciais ordinárias, e a segunda a curvas e vetores no plano e no espaço. Este guia associa cada tema da MAC128 a exercícios com correção imediata. ## O que a MAC128 cobre O plano de ensino publicado pelo Instituto de Química divide o semestre em três blocos. O primeiro é de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: equações separáveis, fator integrante e equações lineares não homogêneas, com modelos matemáticos. O segundo trata de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, homogêneas e não homogêneas, pelo método dos coeficientes a determinar, também com modelos. Depois da primeira avaliação, a disciplina passa para curvas e vetores no plano: funções vetoriais, equações paramétricas de retas, parábolas, elipses, hipérboles e círculos, vetores velocidade e aceleração e comprimento de arco. O semestre fecha com vetores no espaço tridimensional, retas e planos, cilindros e superfícies de revolução. Em comparação com um **Cálculo 2** internacional, a MAC128 compartilha as curvas paramétricas, o comprimento de arco e as equações separáveis, e antecipa vetores no espaço, que normalmente abrem um **Cálculo 3**. ## Mapa de temas da MAC128 | Tema da MAC128 | Praticar | Ler | | --- | --- | --- | | EDOs separáveis | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Primitivas](/blog/antiderivatives) | | Fator integrante e EDOs lineares | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Integração por partes](/blog/integration-by-parts) | | EDOs de 2ª ordem com coeficientes constantes | [Exponenciais e logaritmos](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) | [Função exponencial natural](/functions/natural-exponential-function) | | Funções vetoriais e curvas paramétricas | [Curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) | | Velocidade e aceleração | [Curvas e movimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) | | Comprimento de arco | [Comprimento de arco paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) | [Integral definida](/rules/definite-integral-properties) | | Vetores no espaço | [Vetores e comprimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/vectors-and-length) | [Produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) | | Retas e planos | [Planos no espaço](/learn/calculus-3/vectors-and-space/planes-in-space) | [Vetores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) | | Cilindros e superfícies de revolução | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) | ## MAC128 na sequência da UFRJ | Disciplina | Período | Foco | | --- | --- | --- | | [MAC118 Cálculo I](/courses/ufrj-mac118) | 1º | Uma variável | | MAC128 Cálculo II | 2º | EDOs, curvas e vetores | | [MAC238 Cálculo III](/courses/ufrj-mac238) | 3º | Integrais múltiplas e teoremas vetoriais | A geometria do espaço vista aqui é exatamente o que a MAC238 usa para montar integrais triplas, parametrizar superfícies e calcular integrais de linha. ## Exemplos de exercícios no nível da MAC128 **1. EDO linear com fator integrante.** Para $y' + 2y = 4$, o fator é $e^{2x}$: $$(e^{2x}y)' = 4e^{2x} \quad\Rightarrow\quad y = 2 + Ce^{-2x}$$ **2. EDO de 2ª ordem.** Em $y'' - 5y' + 6y = 0$, a equação característica $r^2 - 5r + 6 = 0$ tem raízes $2$ e $3$: $$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$$ **3. Comprimento de arco.** Para $r(t) = (3\cos t, 3\sin t, 4t)$ com $0 \le t \le 2\pi$, $|r'(t)| = \sqrt{9 + 16} = 5$, então $$L = \int_0^{2\pi} 5\,dt = 10\pi$$ ## Como ir bem na MAC128 - **Revise integração antes das EDOs.** Resolver uma EDO quase sempre termina em uma integral; use o [formulário](/formulas). - **Confira cada solução derivando.** Substituir a resposta na equação é a melhor forma de achar erros. - **Pratique vetores com frequência** na [prática](/practice): produto escalar e vetorial precisam estar automáticos antes da MAC238. - **Atenção aos sinais.** O guia de [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) lista os deslizes mais frequentes. > **Dica:** para entender comprimento de arco, pense na velocidade escalar $|r'(t)|$ integrada no tempo: distância é velocidade vezes tempo, somada aos pouquinhos. ## Perguntas frequentes ### O que é a MAC128 da UFRJ? É a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II. Segundo o plano de ensino do Instituto de Química, ela estuda equações diferenciais ordinárias de 1ª e 2ª ordem e depois funções vetoriais, curvas, vetores, retas, planos e superfícies no espaço. ### O que vem antes e depois da MAC128? Antes vem a MAC118 (Cálculo I). Depois vem a MAC238 (Cálculo III), que tem a MAC128 como pré-requisito. ### A MAC128 tem séries? O plano de ensino do Instituto de Química não inclui séries na MAC128. O conteúdo é formado por EDOs e por curvas e vetores no espaço. ### A MAC128 é difícil? As EDOs exigem boa técnica de integração, e a parte de geometria pede visualização em três dimensões. Quem chega com a MAC118 bem resolvida costuma ter menos dificuldade. ### Como estudar para a MAC128? Revise integração por partes e substituição antes das EDOs e pratique produto escalar e vetorial antes de retas e planos.