# MAC238 UFRJ Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo da MAC238 da UFRJ (Cálculo III): integrais duplas e triplas, jacobiano, integrais de linha e de superfície e teoremas de Green e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/ufrj-mac238
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** MAC238
- **Créditos:** 4 créditos (4 horas semanais, 60 horas no semestre)
- **Pré-requisitos:** MAC128 Cálculo Diferencial e Integral II
- **Conteúdo:** Integrais duplas e triplas, jacobiano e mudança de variáveis, coordenadas cilíndricas e esféricas, integrais de linha, campos conservativos, Teorema de Green, integrais de superfície, rotacional e Teorema de Stokes
- **Pratique aqui:** [Integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAC238 é o Cálculo Diferencial e Integral III da UFRJ, com 4 créditos e 60 horas, e tem a MAC128 como pré-requisito.
- O plano de ensino cobre integrais múltiplas, integrais de linha, Teorema de Green, integrais de superfície e Teorema de Stokes.
- Corresponde à parte integral e vetorial de um Calculus 3 internacional.
- Usa diretamente os vetores, retas, planos e superfícies estudados na MAC128.

A **MAC238 Cálculo Diferencial e Integral III** é a terceira disciplina de cálculo da UFRJ, cursada no terceiro período depois da MAC128. Ela leva a integração para duas e três dimensões e termina nos teoremas que ligam integrais sobre regiões a integrais sobre fronteiras. Este guia associa cada tema da MAC238 a exercícios com correção imediata.

## O que a MAC238 cobre

O plano de ensino publicado pelo Instituto de Química tem quatro blocos. O primeiro é de integrais múltiplas: integral dupla e integrais iteradas em domínios limitados e fechados, aplicações, jacobiano e mudança de variáveis na integral dupla, integral tripla, aplicações e mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas.

O segundo bloco trata de integrais de linha de campos escalares e vetoriais, campos conservativos e independência do caminho, Teorema de Green e a caracterização dos campos conservativos no plano. Depois da primeira avaliação vêm as integrais de superfície (parametrização, área, integrais de campos escalares e vetoriais e aplicações) e, por fim, o rotacional, o Teorema de Stokes e campos conservativos no espaço.

Em termos internacionais, a MAC238 é a metade integral de um **Calculus 3**, com cálculo vetorial.

## Mapa de temas da MAC238

| Tema da MAC238 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Integrais duplas e iteradas | [Integrais duplas em retângulos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Domínios gerais | [Regiões gerais](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Aplicações da integral dupla | [Área, volume, massa e valor médio](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Área entre curvas](/blog/area-between-curves) |
| Jacobiano e mudança de variáveis | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Regra da substituição](/rules/u-substitution-rule) |
| Integrais triplas | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |
| Coordenadas cilíndricas e esféricas | [Cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais de linha | [Integrais de linha de funções](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) | [Vetores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Campos conservativos | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrais de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Teorema da Divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Rotacional e Teorema de Stokes | [Rotacional e divergente](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## MAC238 na sequência da UFRJ

| Disciplina | Período | O que entrega para a próxima |
| --- | --- | --- |
| [MAC118 Cálculo I](/courses/ufrj-mac118) | 1º | Técnicas de integração |
| [MAC128 Cálculo II](/courses/ufrj-mac128) | 2º | Curvas, vetores, retas, planos e superfícies |
| MAC238 Cálculo III | 3º | Integrais múltiplas e cálculo vetorial |

## Exemplos de exercícios no nível da MAC238

**1. Integral tripla.** O volume do tetraedro limitado por $x + y + z = 1$ e os planos coordenados:

$$\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{6}$$

**2. Coordenadas esféricas.** O volume da bola de raio $R$:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

**3. Integral de linha.** Para $F = (y, x)$ ao longo de $r(t) = (t, t^2)$, $0 \le t \le 1$:

$$\int_C F\cdot dr = \int_0^1 (t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t)\,dt = \int_0^1 3t^2\,dt = 1$$

Como $F = \nabla(xy)$, o resultado também sai de $xy$ em $(1,1)$ menos em $(0,0)$.

## Como ir bem na MAC238

- **Desenhe a região sempre.** Limites de integração errados são o erro mais comum.
- **Teste se o campo é conservativo** antes de parametrizar: pode poupar uma conta inteira.
- **Pratique a mudança de coordenadas** na [prática](/practice) até reconhecer de imediato quando usar polares, cilíndricas ou esféricas.
- **Revise primitivas** no [formulário](/formulas), porque toda integral múltipla vira integrais simples.

> **Dica:** lembre do fator $\rho^2 \sin\phi$ em esféricas e do fator $r$ em polares e cilíndricas. Esquecer o jacobiano é um dos erros mais frequentes nas provas.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAC238 da UFRJ?

É a disciplina Cálculo Diferencial e Integral III, dedicada a integrais duplas e triplas, integrais de linha e de superfície e aos teoremas de Green e Stokes.

### Qual o pré-requisito da MAC238?

A MAC128 (Cálculo Diferencial e Integral II), segundo o plano de ensino publicado pelo Instituto de Química da UFRJ.

### A MAC238 é difícil?

Exige visualizar regiões em três dimensões e escolher bem as coordenadas. Desenhar cada região antes de montar a integral resolve boa parte das dificuldades.

### Como estudar para a MAC238?

Revise vetores e superfícies da MAC128 e as técnicas de integração da MAC118. Depois pratique a montagem de integrais duplas e triplas e a parametrização de curvas e superfícies.