# Análise Matemática I Coimbra: programa, guia e exercícios

> Guia de Análise Matemática I da Universidade de Coimbra (Engenharia Civil e do Ambiente): limites, derivadas, Taylor, primitivas, integrais e várias variáveis.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-de-coimbra-analise-matematica-i
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Unidade curricular:** Análise Matemática I (área científica M)
- **Créditos:** 6 ECTS (162 horas de trabalho; contacto T 42 h, TP 28 h)
- **Semestre:** 1.º ano, 1.º semestre
- **Cursos:** Licenciatura em Engenharia Civil e Licenciatura em Engenharia do Ambiente
- **Conhecimentos de base:** Programa de Matemática A do Ensino Secundário
- **Programa:** Sucessões, funções trigonométricas e hiperbólicas e inversas, limites, continuidade, diferenciabilidade, fórmula de Taylor, primitivas, integral definido e aplicações, integrais impróprios, funções de duas ou três variáveis, derivadas parciais e direcionais, regra da cadeia, plano tangente, extremos e multiplicadores de Lagrange
- **Unidade seguinte:** Análise Matemática II
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1](/learn/calculus-1) e [derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) do Cálculo 3

## Pontos principais

- Análise Matemática I é a primeira unidade curricular de cálculo das licenciaturas em Engenharia Civil e do Ambiente da Universidade de Coimbra, com 6 ECTS.
- Os conhecimentos de base recomendados são os de Matemática A do secundário.
- Cobre sucessões, limites, derivadas, Taylor, primitivas, integral definido e integrais impróprios.
- Termina já em várias variáveis: derivadas parciais, plano tangente, extremos e multiplicadores de Lagrange.

**Análise Matemática I** é a primeira unidade curricular de cálculo das licenciaturas em **Engenharia Civil** e em **Engenharia do Ambiente** da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Segundo a ficha da unidade curricular, é semestral, do 1.º semestre do 1.º ano, vale 6 ECTS (162 horas de trabalho) e tem 42 horas teóricas e 28 teórico-práticas de contacto. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que Análise Matemática I cobre

O programa está dividido em três capítulos. O primeiro trata de **sucessões e funções reais de variável real**: sucessões, funções trigonométricas e hiperbólicas e respetivas inversas, **limites**, **continuidade** e **diferenciabilidade**, e a **fórmula de Taylor**.

O segundo capítulo é de **integração**: **primitivas**, o **integral definido** e as suas aplicações, e **integrais impróprios**.

O terceiro capítulo introduz as **funções reais de duas ou três variáveis**: limite e continuidade, **derivadas parciais** e **direcionais** e a regra da cadeia, **plano tangente**, e **extremos**, incluindo extremos condicionados com **multiplicadores de Lagrange**.

Em termos internacionais, AM I cobre um **Calculus 1** completo, a parte de integrais impróprios de um Calculus 2 e o início do cálculo diferencial de um Calculus 3.

## Mapa de temas de Análise Matemática I

| Tema de AM I | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Sucessões | [Sequências](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [O que é um limite?](/blog/what-is-a-limit) |
| Funções trigonométricas inversas | [Valores trigonométricos](/learn/calculus-1/functions-warmup/key-trig-values) | [Arco seno](/functions/arcsine), [arco tangente](/functions/arctangent) |
| Funções hiperbólicas | [Exponenciais e logaritmos](/learn/calculus-1/functions-warmup/exponentials-and-logs) | [Funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) |
| Limites | [Fatorizar e simplificar](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) | [Como calcular limites](/blog/how-to-evaluate-limits) |
| Continuidade | [Continuidade](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Teorema do valor intermédio](/theorems/intermediate-value-theorem) |
| Diferenciabilidade | [Diferenciabilidade](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) | [Derivada pela definição](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Regras de derivação | [Regra da cadeia geral](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Derivadas de inversas trigonométricas | [Derivadas trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) | [Regra da função inversa](/rules/inverse-function-rule) |
| Fórmula de Taylor | [Polinómios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Primitivas | [Desfazer derivadas](/learn/calculus-1/integrals/undoing-derivatives) | [Primitivas](/blog/antiderivatives) |
| Primitivação por partes | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Integração por partes](/blog/integration-by-parts) |
| Integral definido e aplicações | [Área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) | [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Integrais impróprios | [Limites de integração infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrais impróprios](/blog/improper-integrals) |
| Derivadas parciais e direcionais | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Regra da cadeia em várias variáveis | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Plano tangente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation) |
| Extremos e Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |

## As unidades de análise em Engenharia Civil

| Unidade curricular | Semestre | ECTS | Foco |
| --- | --- | --- | --- |
| Análise Matemática I | 1.º ano, 1.º semestre | 6 | Uma variável, introdução a várias variáveis |
| [Análise Matemática II](/courses/universidade-de-coimbra-analise-matematica-ii) | 1.º ano, 2.º semestre | 6 | Integrais múltiplos, Green, Stokes, divergência, EDO lineares |

## Exemplos de exercícios ao nível de AM I

**1. Fórmula de Taylor.** O polinómio de Taylor de ordem 3 de $\sin x$ em torno de $0$ é $x - \frac{x^3}{6}$. Para $x = 0{,}2$ dá $0{,}198667$, com erro inferior a $\frac{0{,}2^5}{120} \approx 2{,}7\times 10^{-6}$.

**2. Integral impróprio.** $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_\varepsilon^1 = 2$, logo converge.

**3. Extremo condicionado.** Maximizar $f(x,y) = x + y$ sobre $x^2 + y^2 = 2$: $(1, 1) = \lambda(2x, 2y)$ dá $x = y$, logo $x = y = 1$ e o máximo é $2$.

## Como ter sucesso em AM I

- **Revê a Matemática A logo no início.** Trigonometria e funções exponenciais e logarítmicas são usadas desde a primeira semana.
- **Pratica primitivas com regularidade** na [prática](/practice); são a base do capítulo de integração.
- **Consulta o [formulário](/formulas)** para derivadas das funções hiperbólicas e trigonométricas inversas.
- **Revê os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes de cada frequência ou exame.

> **Dica:** o capítulo de várias variáveis chega no fim do semestre, quando o tempo aperta. Começa a treinar derivadas parciais cedo: são derivadas normais, com as outras variáveis tratadas como constantes.

## Perguntas frequentes

### O que é Análise Matemática I em Coimbra?

É a unidade curricular de cálculo do 1.º semestre do 1.º ano das licenciaturas em Engenharia Civil e em Engenharia do Ambiente da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, com 6 ECTS.

### O que preciso de saber antes de AM I?

A ficha recomenda o programa de Matemática A do Ensino Secundário português.

### O que vem depois de AM I?

Análise Matemática II, no 2.º semestre, com integrais duplos e triplos, integrais curvilíneos e de superfície, os teoremas de Green, Stokes e da divergência e equações diferenciais lineares.

### AM I inclui várias variáveis?

Sim. O terceiro capítulo do programa trata de funções de duas ou três variáveis: limites, derivadas parciais e direcionais, regra da cadeia, plano tangente e extremos, incluindo multiplicadores de Lagrange.

### Como estudar para AM I?

Revê funções e trigonometria do secundário, pratica derivadas e primitivas até serem automáticas e não deixes a parte de várias variáveis para a última semana.