# Análise Matemática II Coimbra: programa, guia e exercícios

> Guia de Análise Matemática II da Universidade de Coimbra: integrais duplos e triplos, Green, Stokes, divergência e equações diferenciais lineares.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-de-coimbra-analise-matematica-ii
Atualizado: 2026-11-08

## Visão geral

- **Unidade curricular:** Análise Matemática II
- **Créditos:** 6 ECTS (162 horas de trabalho; contacto T 42 h, TP 28 h)
- **Semestre:** 1.º ano, 2.º semestre
- **Cursos:** Licenciatura em Engenharia Civil e Licenciatura em Engenharia do Ambiente
- **Conhecimentos de base:** Análise Matemática I e Álgebra Linear e Geometria Analítica
- **Programa:** Integral duplo e triplo e aplicações, mudança de variáveis, integral curvilíneo e teorema de Green, integral de superfície, teoremas de Stokes e da divergência, equações diferenciais de 1.ª ordem, equações lineares de ordem superior, sistemas lineares com coeficientes constantes
- **Unidade anterior:** Análise Matemática I
- **Pratique aqui:** [Integrais múltiplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- Análise Matemática II é a segunda unidade de cálculo das licenciaturas em Engenharia Civil e do Ambiente da Universidade de Coimbra, com 6 ECTS.
- Os conhecimentos de base recomendados são Análise Matemática I e Álgebra Linear e Geometria Analítica.
- A primeira parte é cálculo integral em R2 e R3: integrais duplos, triplos, curvilíneos e de superfície, com Green, Stokes e divergência.
- A segunda parte é de equações diferenciais lineares, incluindo sistemas com coeficientes constantes.

**Análise Matemática II** é a segunda unidade curricular de cálculo das licenciaturas em **Engenharia Civil** e em **Engenharia do Ambiente** da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Segundo a ficha da unidade curricular, é do 2.º semestre do 1.º ano, vale 6 ECTS (162 horas de trabalho) e tem 42 horas teóricas e 28 teórico-práticas de contacto. Os conhecimentos de base recomendados são Análise Matemática I e Álgebra Linear e Geometria Analítica. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que Análise Matemática II cobre

O programa tem duas partes. A primeira é o **cálculo integral em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$**: o **integral duplo** e as suas aplicações, o **integral triplo** e as suas aplicações, a **mudança de variáveis** nos integrais duplos e triplos, o **integral curvilíneo** e o **teorema de Green**, e o **integral de superfície** com os **teoremas de Stokes e da divergência**.

A segunda parte é de **equações diferenciais lineares**: equações de 1.ª ordem de variáveis separáveis e lineares; equações lineares de ordem superior resolvidas pelos métodos do polinómio anulador, de abaixamento de ordem e da variação das constantes; e **sistemas de equações lineares com coeficientes constantes**, que usam a álgebra linear do 1.º semestre.

Em termos internacionais, a primeira parte corresponde à metade integral de um **Calculus 3**; a segunda equivale a uma introdução às equações diferenciais.

## Mapa de temas de Análise Matemática II

| Tema de AM II | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Integral duplo | [Integrais iterados](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Regiões gerais e ordem de integração | [Inverter a ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Aplicações do integral duplo | [Aplicações de integrais duplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Integral triplo | [Integrais triplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Mudança de variáveis | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Coordenadas polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) |
| Cilíndricas e esféricas | [Coordenadas cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Integral curvilíneo | [Integrais de linha de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integral de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Rotacional e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) |
| Stokes e divergência | [Stokes e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem), [divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| EDO de variáveis separáveis | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Crescimento e decaimento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Comportamento das soluções | [Campos de direções](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) | [Método de Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method) |

As equações lineares de ordem superior e os sistemas lineares não têm lição própria aqui; as lições acima cobrem as ferramentas de cálculo que esses métodos usam.

## As unidades de análise em Engenharia Civil

| Unidade curricular | Semestre | ECTS | Foco |
| --- | --- | --- | --- |
| [Análise Matemática I](/courses/universidade-de-coimbra-analise-matematica-i) | 1.º ano, 1.º semestre | 6 | Uma variável, introdução a várias variáveis |
| Análise Matemática II | 1.º ano, 2.º semestre | 6 | Integrais múltiplos, Green, Stokes, divergência, EDO lineares |

## Exemplos de exercícios ao nível de AM II

**1. Integral duplo em polares.** A área do disco de raio $2$ é $\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r\,dr\,d\theta = 4\pi$.

**2. Teorema da divergência.** Para $\mathbf{F} = (x^2, y, z)$ no cubo $[0,1]^3$: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + 2$, e o fluxo para fora é

$$\iiint_{[0,1]^3}(2x + 2)\,dV = 1 + 2 = 3$$

**3. EDO linear de ordem 2.** $y'' + 4y = 0$ tem polinómio característico $r^2 + 4$, com raízes $\pm 2i$. A solução geral é $y = c_1\cos 2x + c_2\sin 2x$.

## Como ter sucesso em AM II

- **Desenha as regiões e as superfícies.** A maioria dos erros em integrais múltiplos está nos limites de integração.
- **Escolhe as coordenadas pela simetria:** polares para discos, cilíndricas para cilindros, esféricas para bolas.
- **Pratica com regularidade** na [prática](/practice) e consulta o [formulário](/formulas).
- **Revê os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes da frequência e do exame.

> **Dica:** Green, Stokes e a divergência dizem todos o mesmo: o integral de uma "derivada" numa região é igual a um integral na fronteira. Pensar neles como versões do Teorema Fundamental do Cálculo ajuda a decidir qual usar.

## Perguntas frequentes

### O que é Análise Matemática II em Coimbra?

É a unidade curricular do 2.º semestre do 1.º ano das licenciaturas em Engenharia Civil e em Engenharia do Ambiente da Universidade de Coimbra, com 6 ECTS, sobre cálculo integral em várias variáveis e equações diferenciais lineares.

### O que preciso de saber antes de AM II?

A ficha recomenda Análise Matemática I e Álgebra Linear e Geometria Analítica.

### AM II tem derivadas parciais?

Não como tema novo: as derivadas parciais, o plano tangente e os extremos ficaram em AM I. AM II parte daí para integrais múltiplos e cálculo vetorial.

### Que equações diferenciais aparecem em AM II?

Equações de 1.ª ordem de variáveis separáveis e lineares, equações lineares de ordem superior (métodos do polinómio anulador, abaixamento de ordem e variação das constantes) e sistemas de equações lineares com coeficientes constantes.

### Como estudar para AM II?

Revê primitivas e derivadas parciais de AM I, desenha sempre a região antes de montar um integral e pratica muitas equações diferenciais até os métodos ficarem rotina.