# CDI-I Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo de CDI-I do Instituto Superior Técnico (ULisboa): números reais, sucessões, derivadas, primitivação, integral de Riemann e séries.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-de-lisboa-cdi-i
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Sigla:** CDI-I
- **Créditos:** 6 ECTS
- **Semestre:** 1.º ano, 1.º semestre (LEIC-A)
- **Pré-requisitos:** Não aplicável
- **Programa:** Números reais e indução, sucessões, limites e continuidade, teoremas do valor intermédio e de Weierstrass, derivadas, teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy, regra de l'Hôpital, primitivação, integral de Riemann, Teorema Fundamental do Cálculo, polinómio de Taylor, séries numéricas e de potências
- **Unidade seguinte:** CDI-II Cálculo Diferencial e Integral II
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1](/learn/calculus-1) e [sequências e séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) do Cálculo 2

## Pontos principais

- CDI-I é a unidade curricular de Cálculo Diferencial e Integral I do Técnico, com 6 ECTS, no 1.º semestre do 1.º ano.
- O programa começa nos axiomas dos números reais e na indução e termina em séries de potências e séries de Taylor.
- Cobre o equivalente a um Cálculo 1 completo mais a parte de séries de um Cálculo 2, com mais ênfase teórica.
- A unidade seguinte é CDI-II, que tem Álgebra Linear e CDI-I como pré-requisitos.

**CDI-I, Cálculo Diferencial e Integral I**, é a primeira unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa, no 1.º semestre do 1.º ano de cursos como a Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores (LEIC-A). Vale 6 ECTS e cobre todo o cálculo a uma variável, das bases teóricas dos números reais até às séries de Taylor. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que CDI-I cobre

Segundo a ficha da unidade curricular no Fénix, o objetivo é dominar os conceitos e as técnicas do cálculo diferencial e integral a uma variável. O programa começa nos números reais (axiomas algébricos, de ordem e do supremo), números naturais e indução matemática, e sucessões com o conceito de limite. Seguem-se funções reais de variável real, limites e continuidade, funções elementares e as propriedades globais das funções contínuas: os teoremas do valor intermédio e de Weierstrass.

A parte diferencial inclui o conceito de derivada, derivadas das funções elementares, os teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy, a regra de l'Hôpital, derivadas de ordem superior e funções inversas. A parte integral trata da primitivação (por partes, por substituição e de funções racionais), do integral de Riemann, do Teorema Fundamental do Cálculo e da regra de Barrow, com aplicações ao cálculo de áreas, à definição de funções como o logaritmo, a função erro e a função gama, e a equações diferenciais separáveis. O programa termina com o polinómio de Taylor, séries numéricas, critérios de convergência, séries de potências e séries de Taylor.

Em termos internacionais, CDI-I corresponde a um **Cálculo 1** completo mais as unidades de técnicas de integração e de séries de um **Cálculo 2**.

## Mapa de temas de CDI-I

| Tema de CDI-I | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Sucessões e limites | [Sucessões e os seus limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Limites no infinito](/blog/limits-at-infinity) |
| Limites de funções | [O que é um limite?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) | [Propriedades dos limites](/rules/limit-laws) |
| Continuidade, valor intermédio e Weierstrass | [Continuidade](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Teorema do Valor Intermédio](/theorems/intermediate-value-theorem), [Teorema de Weierstrass](/theorems/extreme-value-theorem) |
| Derivadas das funções elementares | [Derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) | [Derivadas trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions) |
| Rolle, Lagrange e Cauchy | [Aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem), [Teorema de Lagrange](/theorems/mean-value-theorem) |
| Regra de l'Hôpital | [Regra de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule) | [Regra de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) |
| Funções inversas | [Regra da cadeia geral](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) | [Derivada da função inversa](/rules/inverse-function-rule) |
| Primitivação por partes e substituição | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Primitivas](/blog/antiderivatives), [substituição](/blog/u-substitution) |
| Primitivação de funções racionais | [Frações parciais](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Frações parciais](/blog/partial-fractions) |
| Integral de Riemann e regra de Barrow | [Somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |
| Teorema Fundamental do Cálculo | [Derivadas de integrais](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) |
| Equações separáveis | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Primitivas](/blog/antiderivatives) |
| Polinómio de Taylor | [Polinómios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Séries numéricas e critérios | [Escolher um critério](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) | [Critérios de convergência](/blog/convergence-tests) |
| Séries de potências e de Taylor | [Raio de convergência](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series) |

## A sequência de CDI no Técnico

| Unidade curricular | Semestre (LEIC-A) | Foco |
| --- | --- | --- |
| CDI-I | 1.º ano, 1.º semestre | Uma variável, séries |
| [CDI-II](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-ii) | 1.º ano, 2.º semestre | Várias variáveis, integrais múltiplos e de linha |
| [CDI-III](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-iii) | 2.º ano, 1.º semestre | EDOs, Gauss e Stokes, EDPs e Fourier |

Cada unidade vale 6 ECTS. CDI-II exige Álgebra Linear e CDI-I, e CDI-III exige CDI-II.

## Exemplos de exercícios ao nível de CDI-I

**1. Indução matemática.** Para provar $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$: vale para $n = 1$, e se vale para $n$, então

$$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

**2. Limite de uma sucessão.**

$$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2$$

**3. Primitivação por partes.**

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Como ter sucesso em CDI-I

- **Não subestimes a parte teórica.** Supremo, indução e sucessões aparecem logo nas primeiras semanas e são a base dos limites.
- **Resolve exercícios todos os dias** na [prática](/practice), sobretudo de derivadas e primitivas.
- **Tem o [formulário](/formulas) sempre à mão** para primitivas imediatas e séries de Maclaurin.
- **Aprende com os erros.** O guia de [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) mostra os deslizes mais frequentes.

> **Dica:** quase todos os critérios de convergência comparam com uma série geométrica. Começa pela [fórmula da série geométrica](/rules/geometric-series-formula) antes de estudar os critérios da razão e da raiz.

## Perguntas frequentes

### O que é CDI-I no Técnico?

É a unidade curricular Cálculo Diferencial e Integral I do Instituto Superior Técnico. O objetivo é dominar conceitos e técnicas de cálculo diferencial e integral a uma variável e desenvolver pensamento analítico.

### O que vem depois de CDI-I?

CDI-II (Cálculo Diferencial e Integral II), no 2.º semestre, que tem Álgebra Linear e CDI-I como pré-requisitos e trata de cálculo em várias variáveis. Em cursos como a LEIC-A segue-se ainda CDI-III.

### CDI-I é difícil?

É mais teórica do que muitos Cálculo I de outros países: começa nos axiomas dos números reais e na indução e inclui sucessões e séries. Estudar com regularidade e resolver muitas fichas de exercícios faz toda a diferença.

### Como me preparar para CDI-I?

Revê funções, exponenciais, logaritmos e trigonometria do secundário e pratica limites e derivadas com exercícios curtos. Treinar a escrita de pequenas demonstrações por indução também ajuda.

### Como é a avaliação de CDI-I?

A página da unidade curricular indica exame ou testes, possivelmente com nota mínima, com componente de avaliação contínua e/ou provas orais para classificações acima de 17 valores. As regras concretas são publicadas em cada semestre.