# CDI-II Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo de CDI-II do Instituto Superior Técnico (ULisboa): campos escalares e vetoriais, diferenciabilidade, extremos, integrais múltiplos, Green.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-de-lisboa-cdi-ii
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Sigla:** CDI-II
- **Créditos:** 6 ECTS
- **Semestre:** 1.º ano, 2.º semestre (LEIC-A)
- **Pré-requisitos:** Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral I
- **Programa:** Topologia em R^n, campos escalares e vetoriais, limite, continuidade, diferenciabilidade e gradiente, lema de Schwarz, extremos, Taylor, hessiana, multiplicadores de Lagrange, função inversa e implícita, integrais múltiplos, integrais de linha e Teorema de Green
- **Unidade seguinte:** CDI-III Cálculo Diferencial e Integral III
- **Pratique aqui:** [Derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), [integrais múltiplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields)

## Pontos principais

- CDI-II é a unidade curricular de Cálculo Diferencial e Integral II do Técnico, com 6 ECTS, no 2.º semestre do 1.º ano.
- Os pré-requisitos são Álgebra Linear e CDI-I.
- Cobre o cálculo diferencial em várias variáveis, integrais múltiplos, integrais de linha e o Teorema de Green.
- Corresponde a quase todo um Calculus 3 internacional; Gauss e Stokes ficam para CDI-III.

**CDI-II, Cálculo Diferencial e Integral II**, é a segunda unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico, no 2.º semestre do 1.º ano de cursos como a LEIC-A. Vale 6 ECTS e leva o cálculo de CDI-I para funções de várias variáveis, tanto na parte diferencial como na integral. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que CDI-II cobre

Segundo a ficha no Fénix, o objetivo é o domínio do cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais com valores escalares e vetoriais e dos integrais múltiplos e de linha, incluindo teoremas fundamentais do cálculo para integrais de linha e integrais duplos, com aplicações geométricas e físicas.

O programa começa com noções topológicas em $\mathbb{R}^n$ e sucessões, campos escalares e vetoriais, limite e continuidade, diferenciabilidade e gradiente e o teorema do valor intermédio. Seguem-se funções $C^k$ e o lema de Schwarz, extremos e pontos de sela, o teorema de Weierstrass, a fórmula de Taylor, a matriz hessiana, os multiplicadores de Lagrange e os teoremas da função inversa e da função implícita. A parte integral trata de integrais múltiplos e aplicações, curvas, caminhos e integrais de linha, o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, o Teorema de Green e campos gradientes.

Em termos internacionais, CDI-II é quase todo um **Calculus 3**, com um tratamento mais teórico (topologia, função implícita).

## Mapa de temas de CDI-II

| Tema de CDI-II | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Campos escalares e vetoriais | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Diferenciabilidade e gradiente | [Gradiente e derivadas direcionais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente e derivadas direcionais](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Derivada da função composta | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Funções $C^k$ e lema de Schwarz | [Derivadas parciais de segunda ordem](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut (Schwarz)](/theorems/clairauts-theorem) |
| Fórmula de Taylor e plano tangente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation), [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Extremos, hessiana e pontos de sela | [Pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Problemas de otimização](/blog/optimization-problems) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Função implícita | [Derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) |
| Integrais múltiplos | [Regiões gerais](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Mudança de variáveis | [Mudança de variáveis e jacobiano](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Integrais de linha | [Integrais de linha de campos vetoriais](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Vetores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Campos gradientes | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |

## A sequência de CDI no Técnico

| Unidade curricular | Pré-requisitos | Foco |
| --- | --- | --- |
| [CDI-I](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-i) | Não aplicável | Uma variável, séries |
| CDI-II | Álgebra Linear e CDI-I | Várias variáveis, integrais múltiplos e de linha, Green |
| [CDI-III](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-iii) | CDI-II | EDOs, Gauss e Stokes, EDPs e Fourier |

O Teorema de Green fecha CDI-II e é o primeiro dos grandes teoremas integrais. Os teoremas de Gauss e de Stokes, que o generalizam para três dimensões, abrem CDI-III.

## Exemplos de exercícios ao nível de CDI-II

**1. Matriz hessiana.** Para $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$, os pontos críticos são $(\pm 1, 0)$. A hessiana é

$$H = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Em $(1,0)$ é definida positiva (mínimo); em $(-1,0)$ tem valores próprios de sinais opostos (ponto de sela).

**2. Mudança para coordenadas polares.**

$$\iint_{x^2+y^2\le 1} e^{x^2+y^2}\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 e^{r^2} r\,dr\,d\theta = \pi(e - 1)$$

**3. Integral de linha de um campo gradiente.** Para $F = \nabla(x^2 y)$ de $(0,0)$ a $(2,3)$:

$$\int_C F \cdot dr = (2)^2(3) - 0 = 12$$

## Como ter sucesso em CDI-II

- **Consolida Álgebra Linear.** Matrizes, determinantes e valores próprios aparecem na hessiana e na função implícita.
- **Pratica derivadas parciais todos os dias** na [prática](/practice), até se tornarem mecânicas.
- **Desenha sempre a região** antes de escrever os limites de um integral múltiplo.
- **Revê primitivas** no [formulário](/formulas) e os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) antes dos testes.

> **Dica:** antes de calcular um integral de linha, verifica se o campo é um gradiente. Se for, o resultado é apenas a diferença do potencial nos extremos do caminho.

## Perguntas frequentes

### O que é CDI-II no Técnico?

É a unidade curricular Cálculo Diferencial e Integral II, dedicada ao cálculo diferencial de funções de várias variáveis com valores escalares e vetoriais, aos integrais múltiplos e de linha e ao Teorema de Green.

### Quais são os pré-requisitos de CDI-II?

A ficha da unidade curricular indica Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral I.

### O que vem depois de CDI-II?

CDI-III, no 2.º ano, que tem CDI-II como pré-requisito e trata de equações diferenciais ordinárias, teoremas de Gauss e Stokes, equações diferenciais parciais e séries de Fourier.

### CDI-II é difícil?

Exige visualização em várias dimensões e usa bastante álgebra linear, por exemplo na matriz hessiana e no teorema da função implícita. Ter Álgebra Linear bem consolidada ajuda muito.

### Como estudar para CDI-II?

Revê derivadas e integrais de CDI-I e matrizes de Álgebra Linear, pratica derivadas parciais até serem automáticas e desenha sempre as regiões antes de calcular integrais múltiplos.