# CDI-III Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo de CDI-III do Instituto Superior Técnico (ULisboa): EDOs, transformada de Laplace, teoremas de Gauss e Stokes, EDPs e séries de Fourier.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-de-lisboa-cdi-iii
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Sigla:** CDI-III
- **Créditos:** 6 ECTS
- **Semestre:** 2.º ano, 1.º semestre (LEIC-A)
- **Pré-requisitos:** Cálculo Diferencial e Integral II
- **Programa:** EDOs de primeira ordem e fatores integrantes, existência e unicidade, sistemas lineares, transformada de Laplace, integrais de superfície, teoremas de Gauss e de Stokes, divergência e rotacional, EDPs de onda, calor e Laplace, séries e transformada de Fourier
- **Pratique aqui:** [Cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) do Cálculo 3 e [equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) do Cálculo 2

## Pontos principais

- CDI-III é a unidade curricular de Cálculo Diferencial e Integral III do Técnico, com 6 ECTS, e tem CDI-II como pré-requisito.
- Combina equações diferenciais ordinárias, os teoremas de Gauss e de Stokes e uma introdução às EDPs com séries de Fourier.
- A parte de Gauss e Stokes completa o Calculus 3; o resto corresponde a uma disciplina de equações diferenciais.
- É o fecho da sequência CDI-I, CDI-II e CDI-III.

**CDI-III, Cálculo Diferencial e Integral III**, é a terceira unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico, no 1.º semestre do 2.º ano de cursos como a LEIC-A. Vale 6 ECTS e reúne três grandes temas: equações diferenciais ordinárias, os teoremas integrais de Gauss e de Stokes, e equações diferenciais parciais com séries de Fourier. Este guia liga cada tema a exercícios com correção imediata, sobretudo na parte de cálculo vetorial.

## O que CDI-III cobre

Segundo a ficha no Fénix, o programa tem três blocos. O primeiro é de **equações diferenciais ordinárias**: exemplos de EDOs de primeira ordem resolúveis, fatores de integração, existência, unicidade e dependência contínua de soluções de sistemas de primeira ordem, fórmula de variação das constantes, EDOs de ordem superior a um e transformada de Laplace.

O segundo bloco trata de **superfícies em $\mathbb{R}^3$**, integrais de superfície de campos escalares e vetoriais, os teoremas de Gauss e de Stokes e a divergência e o rotacional, com a obtenção das equações de continuidade, da onda, do calor, de Laplace e de Poisson. O terceiro bloco cobre **EDPs lineares de primeira ordem** e as equações da onda, do calor, de Laplace e de Poisson, resolvidas por separação de variáveis e séries de Fourier trigonométricas, e termina com a transformada de Fourier.

Em termos internacionais, o segundo bloco completa um **Calculus 3**; os outros dois correspondem a uma disciplina de equações diferenciais.

## Mapa de temas de CDI-III

| Tema de CDI-III | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| EDOs separáveis e de primeira ordem | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Primitivas](/blog/antiderivatives) |
| Fatores de integração | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Integração por partes](/blog/integration-by-parts) |
| Transformada de Laplace | [Integrais impróprios](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrais impróprios](/blog/improper-integrals) |
| Superfícies e integrais de superfície | [Integrais de superfície e fluxo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Produto vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Divergência e rotacional | [Rotacional e divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema da Divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Teoremas de Gauss e de Stokes | [Stokes e Divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Integrais triplos (revisão para Gauss) | [Integrais triplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Séries de Fourier | [Potências de seno e cosseno](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals) | [Função seno](/functions/sine-function), [função cosseno](/functions/cosine-function) |
| Derivadas parciais nas EDPs | [Derivadas parciais de segunda ordem](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |

As lições ligadas a Laplace e Fourier treinam as técnicas de integração que esses cálculos exigem, não as transformadas propriamente ditas.

## A sequência de CDI no Técnico

| Unidade curricular | Semestre (LEIC-A) | Foco |
| --- | --- | --- |
| [CDI-I](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-i) | 1.º ano, 1.º semestre | Uma variável, séries |
| [CDI-II](/courses/universidade-de-lisboa-cdi-ii) | 1.º ano, 2.º semestre | Várias variáveis, Green |
| CDI-III | 2.º ano, 1.º semestre | EDOs, Gauss e Stokes, EDPs e Fourier |

CDI-III usa quase tudo o que veio antes: primitivação de CDI-I nas EDOs e nos coeficientes de Fourier, e integrais múltiplos e de linha de CDI-II nos teoremas de Gauss e de Stokes.

## Exemplos de exercícios ao nível de CDI-III

**1. Fator integrante.** Em $y' - \frac{y}{t} = t$ (com $t > 0$), o fator é $\frac{1}{t}$:

$$\left(\frac{y}{t}\right)' = 1 \quad\Rightarrow\quad y = t^2 + Ct$$

**2. Teorema da Divergência.** Para $F = (x, y, z)$ no cubo $[0,1]^3$, $\nabla\cdot F = 3$, logo o fluxo para fora é

$$\iiint_{[0,1]^3} 3\,dV = 3$$

**3. Coeficiente de Fourier.** Para $f(x) = x$ em $[-\pi, \pi]$, os coeficientes em seno são

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

## Como ter sucesso em CDI-III

- **Organiza um resumo de métodos para EDOs.** Saber reconhecer o tipo da equação é metade do trabalho.
- **Revê primitivação por partes** no [formulário](/formulas): aparece na transformada de Laplace e nos coeficientes de Fourier.
- **Pratica integrais de superfície e fluxo** na [prática](/practice) antes de aplicar Gauss e Stokes.
- **Confirma sempre as orientações** de superfícies e curvas. Os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) mostram outros deslizes frequentes.

> **Dica:** Green, Gauss e Stokes dizem a mesma coisa em dimensões diferentes. Resolver um exercício pelos dois lados da igualdade é a melhor forma de fixar os enunciados.

## Perguntas frequentes

### O que é CDI-III no Técnico?

É a unidade curricular Cálculo Diferencial e Integral III, que trata de equações diferenciais ordinárias, dos teoremas de Gauss e de Stokes, de divergência e rotacional, de equações diferenciais parciais lineares elementares e de séries e transformada de Fourier.

### Qual é o pré-requisito de CDI-III?

A ficha da unidade curricular indica Cálculo Diferencial e Integral II.

### CDI-III é difícil?

O programa é variado e junta técnicas diferentes: métodos para EDOs, transformadas, integrais de superfície e séries de Fourier. Organizar um resumo de quando usar cada método ajuda bastante.

### Como estudar para CDI-III?

Revê primitivação de CDI-I, sobretudo por partes, e integrais múltiplos e de linha de CDI-II. Depois pratica cada tipo de EDO separadamente antes de misturar.