# Análise Matemática I FEUP (L.EM005): programa, guia e exercícios

> Guia de estudo de Análise Matemática I (L.EM005) da FEUP: derivadas, Taylor, séries numéricas, integral de Riemann, primitivação e equações diferenciais.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-do-porto-l-em005
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** L.EM005 (sigla AM I)
- **Créditos:** 6 ECTS (162 horas de trabalho, 58,5 de contacto)
- **Semestre:** 1.º ano, 1.º semestre da Licenciatura em Engenharia Mecânica
- **Conhecimentos prévios:** Funções e gráficos, limite, continuidade e derivada, regras de derivação
- **Programa:** Derivadas da função composta e inversa, Teorema de Lagrange, diferenciais, polinómios e séries de Taylor, séries numéricas, integral de Riemann, Teoremas Fundamentais do Cálculo, primitivação, áreas e volumes, funções hiperbólicas, integrais impróprios e equações diferenciais de 1.ª ordem
- **Unidade seguinte:** L.EM010 Análise Matemática II
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1](/learn/calculus-1) e as unidades de [técnicas de integração](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) e [séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) do Cálculo 2

## Pontos principais

- Análise Matemática I (L.EM005) é a primeira unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da FEUP, com 6 ECTS.
- Pressupõe noções de limite e derivada do secundário e avança para Taylor, séries numéricas, integral de Riemann e primitivação.
- Inclui áreas em coordenadas cartesianas e polares, volumes, integrais impróprios e equações diferenciais de primeira ordem.
- A unidade seguinte é Análise Matemática II (L.EM010), sobre funções de várias variáveis.

**Análise Matemática I (L.EM005, sigla AM I)** é a primeira unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP), da responsabilidade da Secção de Matemática. Vale 6 ECTS, com 162 horas de trabalho, e cobre o cálculo diferencial e integral de funções reais de variável real. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que Análise Matemática I cobre

A ficha da unidade curricular no Sigarra divide o programa em três partes. A **parte A, cálculo diferencial em R**, retoma a definição de derivada e as regras da função composta e da função inversa, com problemas de aplicação, e estuda o Teorema dos Acréscimos Finitos (Lagrange), os diferenciais, a aproximação polinomial por polinómios de Taylor com resto, a série de Taylor como limite desses polinómios, as séries numéricas (propriedades, critérios de convergência, séries alternadas) e uma breve referência às séries de funções e ao intervalo de convergência.

A **parte B, integral de Riemann em R**, trata da definição e propriedades do integral, dos teoremas do valor médio para integrais e dos Teoremas Fundamentais do Cálculo, da primitivação por substituição e por partes, das áreas em coordenadas cartesianas e polares e dos volumes, e da primitivação de frações racionais, expressões trigonométricas racionais e expressões irracionais por substituição trigonométrica. A **parte C** junta funções hiperbólicas, integrais impróprios e equações diferenciais de primeira ordem.

Em termos internacionais, AM I corresponde ao fim de um **Cálculo 1** mais as técnicas de integração, os integrais impróprios e as séries de um **Cálculo 2**. A ficha assume que limites e derivadas básicas já vêm do secundário.

## Mapa de temas de AM I

| Tema de AM I | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Derivada da função composta | [Regra da cadeia](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Derivada da função inversa | [Exponenciais e logaritmos](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) | [Derivada da função inversa](/rules/inverse-function-rule) |
| Teorema de Lagrange | [Aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem) |
| Diferenciais | [Aproximação linear](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Aproximação linear](/blog/linear-approximation) |
| Polinómios e séries de Taylor | [Estimar com Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series), [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Séries numéricas e séries alternadas | [Séries alternadas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critérios de convergência](/blog/convergence-tests) |
| Intervalo de convergência | [Raio de convergência](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries de potências](/blog/power-series) |
| Integral de Riemann | [Somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Somas de Riemann](/blog/riemann-sums), [TVM para integrais](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals) |
| Teoremas Fundamentais do Cálculo | [Derivadas de integrais](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Primitivação por substituição e por partes | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Substituição](/blog/u-substitution) |
| Frações racionais | [Fatores repetidos](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions-repeated) | [Frações parciais](/blog/partial-fractions) |
| Substituição trigonométrica | [Substituição trigonométrica](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution) | [Substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) |
| Áreas cartesianas e polares | [Área em coordenadas polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) | [Área entre curvas](/blog/area-between-curves) |
| Volumes | [Volumes com discos](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |
| Funções hiperbólicas | [Regra da cadeia com e e ln](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials) | [Funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) |
| Integrais impróprios | [Integrar até ao infinito](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrais impróprios](/blog/improper-integrals) |
| Equações diferenciais de 1.ª ordem | [Equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Primitivas](/blog/antiderivatives) |

## A sequência de Análise Matemática na FEUP (L.EM)

| Unidade curricular | Ano e semestre | Foco |
| --- | --- | --- |
| AM I (L.EM005) | 1.º ano, 1.º semestre | Uma variável, séries, primitivação |
| [AM II (L.EM010)](/courses/universidade-do-porto-l-em010) | 1.º ano, 2.º semestre | Funções vetoriais e de várias variáveis |
| [AM III (L.EM016)](/courses/universidade-do-porto-l-em016) | 2.º ano, 1.º semestre | EDOs, Laplace, Green, Stokes, Gauss, Fourier |

Todas têm 6 ECTS.

## Exemplos de exercícios ao nível de AM I

**1. Série alternada.** A série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge pelo critério de Leibniz, porque $\frac{1}{n}$ é decrescente e tende para $0$, mas não converge absolutamente (série harmónica).

**2. Área em coordenadas polares.** A área de uma pétala de $r = \cos(2\theta)$, com $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$:

$$A = \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2(2\theta)\,d\theta = \frac{\pi}{8}$$

**3. Substituição trigonométrica.** Com $x = \sin t$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \int dt = \arcsin x + C$$

## Como ter sucesso em AM I

- **Resolve as folhas de exercícios semana a semana.** O programa é longo e cada parte apoia-se na anterior.
- **Treina primitivação todos os dias** na [prática](/practice): é a parte com mais técnicas diferentes.
- **Tem o [formulário](/formulas) por perto** para primitivas imediatas, identidades trigonométricas e séries de Maclaurin.
- **Revê os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes)** antes de cada teste.

> **Dica:** na escolha entre substituição e partes, a lição [escolher uma estratégia](/learn/calculus-2/integration-techniques/choosing-a-strategy) treina precisamente essa decisão.

## Perguntas frequentes

### O que é Análise Matemática I na FEUP?

É a unidade curricular L.EM005 (AM I) da Licenciatura em Engenharia Mecânica, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais de variável real e algumas das suas aplicações.

### Que conhecimentos prévios são necessários?

A ficha refere conhecimentos matemáticos exigíveis para o ensino superior: funções e gráficos, os conceitos de limite e de continuidade num ponto, a derivada de uma função e as regras de derivação.

### O que vem depois de Análise Matemática I?

Análise Matemática II (L.EM010), no 2.º semestre, sobre funções vetoriais, funções de várias variáveis, integrais de linha e integrais duplos e triplos. No 2.º ano segue-se Análise Matemática III (L.EM016).

### Análise Matemática I é difícil?

O programa é extenso e mistura cálculo diferencial, séries e muitas técnicas de primitivação. Resolver as folhas de exercícios com regularidade é a melhor forma de acompanhar.

### Como me preparar para AM I?

Revê derivadas, funções trigonométricas, exponenciais e logaritmos do secundário. A ficha assume que já conheces as regras de derivação, por isso convém tê-las bem treinadas.