# Análise Matemática II FEUP (L.EM010): programa, guia e exercícios

> Guia de estudo de Análise Matemática II (L.EM010) da FEUP: funções vetoriais, curvas, derivadas parciais, extremos, Lagrange e integrais duplos e triplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/universidade-do-porto-l-em010
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** L.EM010 (sigla AM II)
- **Créditos:** 6 ECTS (162 horas de trabalho, 58,5 de contacto)
- **Semestre:** 1.º ano, 2.º semestre da Licenciatura em Engenharia Mecânica
- **Conhecimentos prévios:** Os adquiridos em Análise Matemática I
- **Programa:** Funções vetoriais e curvas em R^n, triedro de Frenet, comprimento de arco e curvatura, limites e continuidade em R^n, derivadas parciais e direcionais, gradiente e jacobiana, Teorema de Schwarz, função implícita, Taylor, extremos livres e condicionados, integrais de linha, integrais duplos e triplos
- **Unidade seguinte:** L.EM016 Análise Matemática III
- **Pratique aqui:** [Vetores e espaço](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion), [derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) e [integrais múltiplos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) do Cálculo 3

## Pontos principais

- Análise Matemática II (L.EM010) é a segunda unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da FEUP, com 6 ECTS.
- Começa com funções vetoriais e curvas (Frenet, curvatura, comprimento de arco) e passa para funções de várias variáveis.
- Inclui derivadas parciais, extremos com multiplicadores de Lagrange, integrais de linha e integrais duplos e triplos.
- Corresponde a grande parte de um Calculus 3; os teoremas de Green, Stokes e Gauss ficam para AM III.

**Análise Matemática II (L.EM010, sigla AM II)** é a segunda unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da FEUP, no 2.º semestre do 1.º ano. Vale 6 ECTS e leva o cálculo de AM I para funções vetoriais e funções de várias variáveis. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

## O que Análise Matemática II cobre

A ficha no Sigarra organiza o programa em cinco partes. A primeira trata de **funções vetoriais de variável real**: representação paramétrica de curvas em $\mathbb{R}^n$, limites, continuidade, derivação e integração, vetores tangente, normal principal e binormal (triedro de Frenet), velocidade e aceleração, comprimento de arco, parametrização por comprimento de arco e curvatura.

A segunda e a terceira partes estudam **funções de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$**: noções topológicas, gráficos e algumas superfícies, limite e continuidade, derivadas parciais e direcionais, derivadas de ordem superior e Teorema de Schwarz, diferencial total e condições de diferenciabilidade, gradiente e matriz jacobiana, plano tangente a superfícies de nível, regras de derivação da função composta, teorema da função implícita, fórmula de Taylor e extremos livres e condicionados (multiplicadores de Lagrange).

As duas últimas partes tratam de **integrais de linha** de campos escalares e vetoriais, com aplicação ao trabalho, e de **integrais duplos e triplos**: Teorema de Fubini, regiões gerais, aplicações à geometria de massas e mudança de variáveis para coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

Em termos internacionais, AM II cobre a maior parte de um **Calculus 3**.

## Mapa de temas de AM II

| Tema de AM II | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Curvas, velocidade e aceleração | [Curvas e movimento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Comprimento de arco | [Comprimento de arco paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) | [Integral definido](/rules/definite-integral-properties) |
| Funções de várias variáveis | [Funções de várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciais e Schwarz | [Derivadas parciais de segunda ordem](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut (Schwarz)](/theorems/clairauts-theorem) |
| Gradiente, direcionais e plano tangente | [Gradiente](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente e derivadas direcionais](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Derivação da função composta | [Regra da cadeia em várias variáveis](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| Função implícita | [Derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Derivação implícita](/blog/implicit-differentiation) |
| Extremos livres | [Pontos críticos](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Problemas de otimização](/blog/optimization-problems) |
| Extremos condicionados | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Integrais de linha e trabalho | [Trabalho e integrais de linha](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Integrais duplos e Fubini | [Trocar a ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Geometria de massas | [Área, volume, massa e valor médio](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Integrais duplos](/blog/double-integrals) |
| Integrais triplos e mudança de variáveis | [Cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |

## A sequência de Análise Matemática na FEUP (L.EM)

| Unidade curricular | Ano e semestre | Foco |
| --- | --- | --- |
| [AM I (L.EM005)](/courses/universidade-do-porto-l-em005) | 1.º ano, 1.º semestre | Uma variável |
| AM II (L.EM010) | 1.º ano, 2.º semestre | Curvas, várias variáveis, integrais múltiplos |
| [AM III (L.EM016)](/courses/universidade-do-porto-l-em016) | 2.º ano, 1.º semestre | EDOs, teoremas integrais, Fourier |

Os integrais de linha começam aqui e são aprofundados em AM III, onde surgem os campos conservativos e os teoremas de Green, Stokes e Gauss.

## Exemplos de exercícios ao nível de AM II

**1. Curvatura.** Para a circunferência $r(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $|r'(t)| = R$ e o vetor tangente unitário roda à taxa $\frac{1}{R}$, logo a curvatura é $\kappa = \frac{1}{R}$.

**2. Extremo condicionado.** Minimizar $f = x^2 + y^2$ com $x + 2y = 5$: de $\nabla f = \lambda \nabla g$ vem $2x = \lambda$ e $2y = 2\lambda$, logo $y = 2x$, $x = 1$, $y = 2$ e o mínimo é $f(1,2) = 5$.

**3. Integral duplo com Fubini.**

$$\int_0^2\int_0^1 (x + y)\,dy\,dx = \int_0^2 \left(x + \frac{1}{2}\right)dx = 2 + 1 = 3$$

## Como ter sucesso em AM II

- **Desenha curvas e regiões.** Ver a geometria evita a maior parte dos erros nos limites de integração.
- **Pratica derivadas parciais com regularidade** na [prática](/practice).
- **Revê primitivas de AM I** no [formulário](/formulas): cada integral duplo ou triplo termina em integrais simples.
- **Atenção ao jacobiano** nas mudanças de variáveis; os [erros comuns de cálculo](/blog/common-calculus-mistakes) mostram outros deslizes frequentes.

> **Dica:** antes de um exercício de extremos condicionados, escreve claramente a função e a restrição. A maioria dos erros vem de perder soluções ao resolver o sistema de Lagrange.

## Perguntas frequentes

### O que é Análise Matemática II na FEUP?

É a unidade curricular L.EM010 (AM II), sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vetoriais de uma ou várias variáveis e algumas das suas aplicações.

### O que preciso de saber antes de AM II?

A ficha indica os conhecimentos adquiridos em Análise Matemática I (L.EM005).

### O que vem depois de AM II?

Análise Matemática III (L.EM016), no 2.º ano, com equações diferenciais, transformadas de Laplace, integrais de linha e de superfície, teoremas de Green, Stokes e Gauss e séries de Fourier.

### AM II é difícil?

A passagem para várias variáveis exige visualizar curvas e superfícies no espaço. Desenhar as regiões e praticar derivadas parciais com frequência torna a matéria muito mais acessível.

### Como estudar para AM II?

Revê derivadas e primitivas de AM I, depois pratica derivadas parciais até serem automáticas e treina a montagem de integrais duplos e triplos.