# MAT2455 USP Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios

> Guia de estudo da MAT2455 da USP (Cálculo III): integrais duplas e triplas, integrais de linha e de superfície e teoremas de Green, Gauss e Stokes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/cursos/usp-mat2455
Atualizado: 2026-11-03

## Visão geral

- **Código:** MAT2455
- **Créditos:** 4 créditos-aula (60 horas)
- **Tipo:** Semestral
- **Requisito:** MAT2454 (requisito fraco no curso de Engenharia)
- **Conteúdo:** Jacobiano, integrais duplas e triplas, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, integrais de linha e de superfície, teoremas de Green, Gauss e Stokes, campos conservativos
- **Pratique aqui:** [Integrais múltiplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) e [cálculo vetorial](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) do Cálculo 3

## Pontos principais

- MAT2455 é o Cálculo III da Poli: cálculo integral de funções de duas e três variáveis, com 4 créditos-aula e 60 horas.
- O programa vai de integrais duplas e triplas até integrais de superfície e os teoremas de Green, Gauss e Stokes.
- Inclui interpretações físicas de gradiente, divergente e rotacional, com aplicações como a Lei de Faraday.
- Junto com a MAT2454, completa o conteúdo de um Calculus 3 internacional.

A **MAT2455 Cálculo Diferencial e Integral III** fecha a sequência de cálculo da Escola Politécnica da USP. Se a MAT2454 ensinou a derivar funções de várias variáveis, a MAT2455 ensina a integrá-las, sobre regiões, curvas e superfícies, até chegar aos grandes teoremas do cálculo vetorial. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

## O que a MAT2455 cobre

Segundo a página oficial no sistema Júpiter, o programa tem sete blocos: transformações entre espaços reais e o jacobiano; integrais duplas e triplas; mudança de variável com coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; integrais curvilíneas e de superfície; os teoremas de Green, Gauss e Stokes; interpretações físicas de gradiente, divergente e rotacional; e campos conservativos. A ementa cita aplicações à Lei de indução de Faraday e à equação da continuidade em fluidos.

É a segunda metade de um **Calculus 3** internacional, a parte de integração e cálculo vetorial.

## Mapa de temas da MAT2455

| Tema da MAT2455 | Praticar | Ler |
| --- | --- | --- |
| Integrais duplas | [Integrais duplas em retângulos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Regiões gerais e troca da ordem | [Trocando a ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Coordenadas polares | [Integrais duplas em coordenadas polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Integrais duplas](/blog/double-integrals) |
| Integrais triplas | [Integrais triplas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Vetores, produto escalar e vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Coordenadas cilíndricas e esféricas | [Cilíndricas e esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) |
| Jacobiano e mudança de variáveis | [Mudança de variáveis](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Regra da substituição](/rules/u-substitution-rule) |
| Integrais de linha | [Integrais de linha de campos vetoriais](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Campos conservativos | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Divergente e rotacional | [Rotacional e divergente](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema da Divergência](/theorems/divergence-theorem) |
| Integrais de superfície, Gauss e Stokes | [Stokes e Divergência](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## MAT2455 na sequência da Poli

| Disciplina | Pergunta central |
| --- | --- |
| [MAT2453](/courses/usp-mat2453) | Como derivar e integrar funções de uma variável? |
| [MAT2454](/courses/usp-mat2454) | Como derivar e otimizar funções de várias variáveis? |
| MAT2455 | Como integrar sobre regiões, curvas e superfícies? |

O gradiente da MAT2454 reaparece aqui como campo conservativo, e o Teorema de Green é a versão em duas dimensões do Teorema Fundamental do Cálculo da MAT2453.

## Exemplos de exercícios no nível da MAT2455

**1. Integral dupla em coordenadas polares.** A área do disco $x^2 + y^2 \le 4$:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^2 r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} 2\,d\theta = 4\pi$$

**2. Integral de linha de um campo conservativo.** O campo $F = (2x, 2y)$ é o gradiente de $\varphi = x^2 + y^2$. De $(0,0)$ a $(1,2)$, por qualquer caminho:

$$\int_C F \cdot dr = \varphi(1,2) - \varphi(0,0) = 5$$

**3. Teorema de Green.** Para $F = (-y, x)$ no disco unitário, $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$, então

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA = 2\pi$$

## Como ir bem na MAT2455

- **Desenhe sempre a região.** Quase todo erro em integrais múltiplas está nos limites de integração.
- **Escolha bem as coordenadas.** Discos e cilindros pedem polares ou cilíndricas; esferas pedem esféricas. Pratique essa decisão na [prática](/practice).
- **Verifique se o campo é conservativo antes de calcular.** Isso pode transformar uma integral longa em uma subtração.
- **Revise as integrais de uma variável** no [formulário](/formulas): no fim, toda integral múltipla vira uma sequência de integrais simples.

> **Dica:** para cada teorema (Green, Gauss, Stokes), resolva pelo menos um exercício pelos dois lados da igualdade. Ver os dois números coincidirem fixa o enunciado.

## Perguntas frequentes

### O que é a MAT2455 da USP?

É a disciplina Cálculo Diferencial e Integral III, que apresenta o cálculo integral de funções de duas e três variáveis: integrais duplas e triplas, mudança de variáveis, integrais curvilíneas e de superfície e os teoremas de Green, Gauss e Stokes.

### Qual o requisito da MAT2455?

O sistema Júpiter lista a MAT2454 como requisito fraco no curso de Engenharia.

### A MAT2455 é difícil?

Costuma ser vista como exigente porque pede visualização em três dimensões e boa escolha de coordenadas. Fazer o desenho da região antes de montar cada integral evita a maior parte dos erros.

### Como estudar para a MAT2455?

Revise integração de uma variável e derivadas parciais, pratique a montagem de limites de integração em regiões variadas e depois estude cada teorema com exemplos em que as duas formas da conta podem ser comparadas.