# Derivada da raiz cúbica de x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada da raiz cúbica de x é 1/(3∛(x²)). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a tangente vertical em 0 e a regra da cadeia.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-da-raiz-cubica-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ para $x \ne 0$
- **Como potência:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$
- **Em x = 0:** Não é diferenciável, a tangente é vertical
- **Domínio:** Todos os números reais, ao contrário de $\sqrt{x}$

## Pontos principais

- A derivada de $\sqrt[3]{x}$ é $\frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
- A raiz cúbica está definida para $x$ negativo, e a fórmula também vale ali.
- A derivada é sempre positiva, então $\sqrt[3]{x}$ é sempre crescente.
- Em $x = 0$ a inclinação é infinita, então a derivada não existe ali.

A **derivada de $\sqrt[3]{x}$ é $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$**, para todo $x \ne 0$. Escreva a raiz cúbica como a potência $x^{1/3}$ e a regra da potência faz o resto.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

## Gráfico de ∛x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = ∛x e de sua derivada'
caption: 'A raiz cúbica passa pela origem com uma tangente vertical. Sua derivada é positiva dos dois lados e dispara perto de $x = 0$.'
x: [-6, 6]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: x^(1/3)
    label: y = ∛x
  - expr: 1/(3abs(x)^(2/3))
    label: y = 1/(3∛(x²)) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), inclinação 1/3']
  - [-1, -1, '(-1, -1), inclinação 1/3']
```

Observe que a derivada é a mesma em $x = 1$ e em $x = -1$. Como $x^2$ é igual para $x$ e $-x$, a derivada é uma função par.

## Demonstração pela regra da potência

Usando a [regra da potência](/rules/power-rule) com $n = \frac{1}{3}$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

Um expoente negativo leva a potência para o denominador, e $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

## Demonstração pela definição de limite

Sejam $a = \sqrt[3]{x + h}$ e $b = \sqrt[3]{x}$. Então $a^3 - b^3 = h$. A diferença de cubos $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ dá

$$\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}$$

Quando $h \to 0$, $a \to b$, então o limite é $\frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Isso exige $b \ne 0$, e é exatamente por isso que $x = 0$ falha.

## Por que a derivada falha em 0

Em $x = 0$ o quociente de Newton é $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}$, que vai para $+\infty$ pelos dois lados. A curva é contínua, mas tem tangente vertical, um exemplo clássico de função contínua que não é [diferenciável](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

## Regra da cadeia e outras raízes

Para a raiz cúbica de uma expressão, a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dá

$$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}$.

**Exemplo 3.** Qualquer raiz funciona do mesmo jeito: $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$. Para $n = 4$ isso é $\frac{1}{4}x^{-3/4}$.

**Exemplo 4: uma reta tangente.** Em $x = 8$, $\sqrt[3]{8} = 2$ e a inclinação é $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$. Assim, $\sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083$. O valor exato é cerca de $2.080$.

## Erros comuns

1. **Escrever $x^{-1/3}$.** O novo expoente é $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
2. **Colocar o 3 no lugar errado.** A resposta é $\frac{1}{3}x^{-2/3}$, não $3x^{-2/3}$.
3. **Achar que $x$ negativo está proibido.** Raízes cúbicas de números negativos são reais, então a derivada existe para todo $x$ exceto $0$.

Compare com a [derivada de √x](/derivatives/sqrt-x), que só está definida para $x > 0$.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada da raiz cúbica de x?

É $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, que é o mesmo que $\frac{1}{3}x^{-2/3}$.

### A raiz cúbica de x é diferenciável em 0?

Não. A função é contínua em $0$, mas o quociente de Newton $\frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3}$ cresce sem limite, então a tangente na origem é vertical.

### Qual é a derivada de x^(2/3)?

Pela regra da potência, $\frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Ao contrário de $x^{1/3}$, esta muda de sinal em $0$, o que forma uma cúspide.

### Qual é a derivada da raiz cúbica de (x² + 1)?

Pela regra da cadeia, $\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$.