# Derivada de √x (raiz de x): fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de √x é 1/(2√x). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a regra da cadeia para √u, por que x = 0 falha e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-da-raiz-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ para $x > 0$
- **Como potência:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
- **Em x = 0:** Não é diferenciável, a tangente é vertical
- **Versão para integrais:** $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sqrt{x}$ é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, válida para $x > 0$.
- Reescreva $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$ e use a regra da potência: $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.
- Para a raiz quadrada de qualquer expressão, $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- Em $x = 0$ o gráfico tem tangente vertical, então a derivada não existe ali.

A **derivada de $\sqrt{x}$ é $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$**, para todo $x > 0$. Raízes são apenas potências fracionárias, então a regra da potência resolve.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Gráfico de √x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = √x e de sua derivada y = 1/(2√x)'
caption: 'A raiz quadrada sobe de forma acentuada perto de $0$ e depois se achata. Sua derivada é grande perto de $0$ e diminui em direção a $0$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-0.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 6]
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.03, 6]
points:
  - [4, 2, '(4, 2)']
  - [4, 0.25, 'inclinação 1/4']
```

A derivada é sempre positiva, então $\sqrt{x}$ é sempre crescente. Mas ela cresce cada vez mais devagar, e é por isso que a curva se curva para baixo.

## Demonstração pela regra da potência

Reescreva a raiz como potência, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, e use a [regra da potência](/rules/power-rule):

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Demonstração pela definição de limite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Substituir $h = 0$ dá $\frac{0}{0}$, então multiplique numerador e denominador pelo conjugado $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$:

$$\frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

Agora faça $h \to 0$ para obter $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

## Por que x = 0 é um problema

Em $x = 0$ a fórmula dividiria por zero. O quociente de Newton ali é $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$, que cresce sem limite quando $h \to 0^+$. A reta tangente na origem é vertical, então $\sqrt{x}$ não é [diferenciável](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) em $0$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de √u

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{3x}$ | $3x$ | $\frac{3}{2\sqrt{3x}}$ |
| $\sqrt{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ |
| $\sqrt{1 - x^2}$ | $1 - x^2$ | $\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\sqrt{\sin x}$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: junte as potências primeiro.** Derive $x\sqrt{x}$. Como $x\sqrt{x} = x^{3/2}$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$$

**Exemplo 2: um quociente.** $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, então sua derivada é $-\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

**Exemplo 3: uma reta tangente.** Em $x = 9$, $\sqrt{9} = 3$ e a inclinação é $\frac{1}{6}$. A tangente é $y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9)$. Essa reta é a base para estimar $\sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167$, uma [aproximação linear](/blog/linear-approximation) clássica. O valor exato é cerca de $3.162$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o 2.** A resposta é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, não $\frac{1}{\sqrt{x}}$.
2. **Diminuir o expoente do jeito errado.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, não $-\frac{3}{2}$ nem $\frac{3}{2}$.
3. **Esquecer o $u'$.** $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$ precisa do fator $2x$ no numerador.
4. **Substituir $x = 0$.** A fórmula não tem valor em $0$. Diga que a derivada não existe ali, em vez de escrever $\frac{1}{0}$.

O sentido inverso está na página da [integral de √x](/integrals/sqrt-x). A página da [função raiz quadrada](/functions/square-root-function) mostra seu gráfico e domínio.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada da raiz quadrada de x?

É $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Escrevendo $\sqrt{x} = x^{1/2}$, a regra da potência dá $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

### √x é diferenciável em 0?

Não. A função está definida em $0$, mas $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ explode quando $x \to 0^+$. O gráfico tem tangente vertical ali.

### Qual é a derivada de 2√x?

É $2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

### Qual é a derivada de √(2x)?

Pela regra da cadeia, $\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.