# Derivada de 1/x²: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de 1/x² é -2/x³. Veja as demonstrações pela regra da potência e do quociente, a regra da cadeia para 1/u², o gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-1-sobre-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\dfrac{2}{x^3}$ para $x \ne 0$
- **Como potência:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}$
- **Derivada segunda:** $\dfrac{6}{x^4}$
- **Versão para integrais:** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\frac{1}{x^2}$ é $-\frac{2}{x^3}$.
- Reescreva $\frac{1}{x^2}$ como $x^{-2}$ antes de derivar. O expoente passa de $-2$ para $-3$.
- A derivada é positiva para $x < 0$ e negativa para $x > 0$, então o gráfico sobe e depois desce.
- Para $\frac{1}{u^2}$, use a regra da cadeia: $-\frac{2u'}{u^3}$.

A **derivada de $\dfrac{1}{x^2}$ é $-\dfrac{2}{x^3}$**. Suba a potência para o numerador como $x^{-2}$ e a regra da potência resolve tudo em um passo.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfico de 1/x² e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = 1/x² e de sua derivada y = -2/x³'
caption: 'À esquerda, $\frac{1}{x^2}$ sobe em direção à assíntota, então a derivada é positiva. À direita ela desce, então a derivada é negativa.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
  - expr: -2/x^3
    label: y = -2/x³ (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), inclinação -2']
  - [-1, 1, '(-1, 1), inclinação 2']
```

O gráfico de $\frac{1}{x^2}$ é simétrico em relação ao eixo $y$, então suas inclinações em $x$ e em $-x$ são opostas. É por isso que a derivada é uma função ímpar.

## Demonstração pela regra da potência

$$\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

Esta é a [regra da potência](/rules/power-rule) com $n = -2$. O único cuidado é com a subtração: $-2 - 1 = -3$.

## Demonstração pela regra do quociente

Com numerador $1$ e denominador $x^2$, a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) dá

$$\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$$

Mesmo resultado, mais trabalho. Reescrever como potência é o hábito mais rápido.

## Demonstração pela definição de limite

$$\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}$$

Quando $h \to 0$, isso se torna $\frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de 1/u²

$$\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}$.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$. Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, isso coincide com a [derivada de sec²x](/derivatives/sec-squared-x), $2\sec^2 x\tan x$.

## Mais exemplos resolvidos

**Exemplo 4: uma forma da física.** A gravidade e a intensidade luminosa seguem $F = \frac{k}{r^2}$. A taxa de variação em relação à distância é $\frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}$. Dobrar a distância reduz a força a um quarto e a taxa de variação a um oitavo.

**Exemplo 5: derivada segunda.** $\frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Ela é positiva em todo o domínio, então os dois ramos têm concavidade para cima.

## Como memorizar

Pense em $\frac{1}{x^2}$ como uma potência que por acaso está no denominador. Suba-a como $x^{-2}$, aplique a regra da potência como em qualquer outra potência e depois desça o resultado de volta se quiser uma fração. Os mesmos três passos funcionam para $\frac{1}{x^3}$, $\frac{1}{x^{10}}$ ou $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Uma checagem rápida de sinal também ajuda: para $x$ positivo a curva está descendo, então a derivada precisa ser negativa ali, e $-\frac{2}{x^3}$ é.

## Erros comuns

1. **Escrever $-2x^{-1}$.** Descer uma unidade a partir de $-2$ leva a $-3$.
2. **Inverter a derivada do denominador.** $\frac{1}{2x}$ não é a derivada de $\frac{1}{x^2}$.
3. **Perder o sinal de menos.** O expoente $-2$ desce como um coeficiente negativo.

No sentido inverso, $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$ está na página da [integral de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared). Compare com a [derivada de 1/x](/derivatives/1-over-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de 1/x²?

É $-\frac{2}{x^3}$. Escreva $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ e use a regra da potência: $-2x^{-3}$.

### Qual é a derivada de 3/x²?

É $3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}$.

### Qual é a derivada de 1/(x + 1)²?

Pela regra da cadeia, $-2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.

### A derivada de 1/x² é igual a 1/(2x)?

Não. Derivar o denominador e inverter não funciona. A resposta correta é $-\frac{2}{x^3}$.