# Derivada de 1/x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de 1/x é -1/x². Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da potência com x⁻¹, a regra da cadeia para 1/u e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-1-sobre-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{x^2}$ para $x \ne 0$
- **Como potência:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}$
- **Sinal:** Sempre negativa, então $\frac{1}{x}$ decresce de cada lado de $0$
- **Versão para integrais:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\frac{1}{x}$ é $-\frac{1}{x^2}$.
- Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{-1}$ e a regra da potência dá $-x^{-2}$.
- Para o inverso de qualquer expressão, $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$.
- Não confunda com $\ln x$: é $\ln x$ que tem derivada $\frac{1}{x}$.

A **derivada de $\dfrac{1}{x}$ é $-\dfrac{1}{x^2}$**. O sinal de menos indica que a curva está sempre descendo, dos dois lados da assíntota vertical.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfico de 1/x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = 1/x e de sua derivada y = -1/x²'
caption: 'Os dois ramos de $\frac{1}{x}$ descem da esquerda para a direita, então a derivada é negativa em todo ponto onde existe.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -1/x^2
    label: y = -1/x² (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), inclinação -1']
```

Perto de $x = 0$ os ramos são quase verticais, e $-\frac{1}{x^2}$ é um número negativo enorme. Longe de $0$ a curva fica mais plana, e $-\frac{1}{x^2}$ se aproxima de $0$.

## Demonstração pela definição de limite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$$

Junte as frações do numerador sobre o denominador comum $x(x + h)$:

$$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

Divida por $h$ e faça $h \to 0$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x + h)} = -\frac{1}{x^2}$$

## Demonstração pela regra da potência

Como $\frac{1}{x} = x^{-1}$, a [regra da potência](/rules/power-rule) dá $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. A [regra do quociente](/rules/quotient-rule) confirma: $\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de 1/u

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}\cdot u' = -\frac{u'}{u^2}$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\frac{1}{2x + 5}$ | $2x + 5$ | $-\frac{2}{(2x + 5)^2}$ |
| $\frac{1}{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ |
| $\frac{1}{\sin x}$ | $\sin x$ | $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\frac{1}{e^x + 1}$ | $e^x + 1$ | $-\frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$ |

A terceira linha é o mesmo que $-\csc x\cot x$, a [derivada de cossec x](/derivatives/csc-x).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma soma.** $\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$. Igualando a $0$ obtemos $x = \pm 1$, onde $x + \frac{1}{x}$ tem seus pontos de virada.

**Exemplo 2: uma reta tangente.** Em $x = 2$, $y = \frac{1}{2}$ e a inclinação é $-\frac{1}{4}$:

$$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x}{4} + 1$$

**Exemplo 3: derivada segunda.** $\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Ela é positiva para $x > 0$ e negativa para $x < 0$, então o ramo da direita tem concavidade para cima e o da esquerda, concavidade para baixo.

## Erros comuns

1. **Responder $\ln x$ ou $\frac{1}{x^2}$.** A derivada é $-\frac{1}{x^2}$. A função $\ln x$ é a primitiva, não a derivada.
2. **Perder o sinal de menos.** $x^{-1}$ faz descer $-1$.
3. **Escrever $x^0$.** Diminuir $-1$ em uma unidade dá $-2$, não $0$.
4. **Esquecer $u'$.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{3x}$ é $-\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}$, não $-\frac{1}{9x^2}$.

O lado das integrais está na página da [integral de 1/x](/integrals/1-over-x), e a curva em si está na página da [função recíproca](/functions/reciprocal-function).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de 1/x?

A derivada de $\frac{1}{x}$ é $-\frac{1}{x^2}$, para todo $x \ne 0$.

### Qual é a derivada de 1/(2x)?

Escreva como $\frac{1}{2}x^{-1}$. A derivada é $-\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

### Qual é a derivada de 5/x?

É $5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$.

### Qual função tem derivada 1/x?

O logaritmo natural: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. É por isso que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.