# Derivada de 2ˣ e aˣ: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de 2ˣ é 2ˣ ln 2, e a de aˣ é aˣ ln a. Veja a demonstração escrevendo aˣ como e^(x ln a), exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-2-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 $$

## Visão geral

- **Derivada de 2ˣ:** $2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x$
- **Base qualquer:** $\dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ para $a > 0$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'$
- **Reescrita-chave:** $a^x = e^{x\ln a}$
- **Versão para integrais:** $\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $2^x$ é $2^x\ln 2$ e, para qualquer base $a > 0$, $\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$.
- A demonstração reescreve $a^x = e^{x\ln a}$ e usa a regra da cadeia.
- A base $e$ é o caso especial em que $\ln e = 1$, então o fator extra desaparece.
- Não confunda $2^x$ (expoente variável) com $x^2$ (base variável): suas derivadas são completamente diferentes.

A **derivada de $2^x$ é $2^x\ln 2$**. O mesmo padrão vale para toda base positiva:

$$\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,a^x = a^x\ln a$$

Como $\ln 2 \approx 0.693$, a inclinação de $2^x$ é sempre cerca de $69\%$ da sua altura.

## Gráfico de 2ˣ e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = 2ˣ e de sua derivada y = 2ˣ ln 2'
caption: 'A derivada tem a mesma forma de $2^x$, reduzida pelo fator $\ln 2 \approx 0.693$. Em $x = 0$ a função vale $1$ e a inclinação é $\ln 2$.'
x: [-4, 3.5]
y: [-1, 9]
functions:
  - expr: 2^x
    label: y = 2ˣ
  - expr: 2^x*ln(2)
    label: y = 2ˣ ln 2 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0.693, 'inclinação ≈ 0,693']
```

## Demonstração: reescrever na base e

Qualquer base positiva pode ser escrita como uma potência de $e$, porque $a = e^{\ln a}$:

$$a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{x\ln a}$$

Agora $\ln a$ é apenas uma constante, então a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) junto com a [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) dá

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln a} = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$$

Para $a = 2$ isso é $2^x\ln 2$. Para $a = e$ é $e^x\ln e = e^x$, e é por isso que $e$ é a base natural: é a única base sem fator extra.

## O tamanho do fator ln a

| Base $a$ | $\ln a$ | Derivada de $a^x$ |
| --- | --- | --- |
| $2$ | $\approx 0.693$ | $2^x\ln 2$ |
| $e$ | $1$ | $e^x$ |
| $3$ | $\approx 1.099$ | $3^x\ln 3$ |
| $10$ | $\approx 2.303$ | $10^x\ln 10$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\approx -0.693$ | $-\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2$ |

Para $0 < a < 1$, $\ln a$ é negativo, então $a^x$ é decrescente. Isso corresponde ao gráfico do decaimento exponencial.

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}$.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2$.

**Exemplo 4: regra do produto.** Para $f(x) = x\cdot 2^x$, a [regra do produto](/rules/product-rule) dá

$$f'(x) = 2^x + x\cdot 2^x\ln 2 = 2^x(1 + x\ln 2)$$

**Exemplo 5: taxa de crescimento.** Uma população $P(t) = 500\cdot 2^t$ dobra a cada unidade de tempo. Sua taxa de crescimento em $t = 3$ é $P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773$ por unidade de tempo.

## 2ˣ versus x²

| Função | Base | Expoente | Regra | Derivada |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2$ | variável | constante | regra da potência | $2x$ |
| $2^x$ | constante | variável | regra da exponencial | $2^x\ln 2$ |
| $x^x$ | variável | variável | derivação logarítmica | $x^x(\ln x + 1)$ |

Quando base e expoente variam ao mesmo tempo, nenhuma das duas regras funciona sozinha. Veja a [derivada de xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência: $x\cdot 2^{x-1}$.** É a regra errada para um expoente variável.
2. **Esquecer o $\ln 2$.** Isso só estaria certo para a base $e$.
3. **Escrever $\log 2$ em vez de $\ln 2$.** O fator é o logaritmo natural.

O caminho inverso, $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$, está na página da [integral de 2ˣ](/integrals/2-to-the-x). A função inversa, $\log_2 x$, é tratada na página da [derivada de log x](/derivatives/log-x). Veja também [funções exponenciais](/functions/exponential-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de 2^x?

A derivada de $2^x$ é $2^x\ln 2$, que é aproximadamente $0.693\cdot 2^x$.

### Qual é a derivada de a^x?

Para qualquer constante $a > 0$, $\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}10^x = 10^x\ln 10$ e $\frac{d}{dx}3^x = 3^x\ln 3$.

### Por que a derivada de 2^x não é x·2^(x−1)?

Essa é a regra da potência, que exige base variável e expoente constante. Em $2^x$ a base é constante e o expoente é a variável, então você usa a regra da exponencial.

### Qual é a derivada de 2^(3x)?

Pela regra da cadeia, $2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}$.